精品解析：河北省秦皇岛市第三中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第一学期 第二次月考高二 数学试卷A 命题人：赵秀梅 注意事项： 1、考试范围：选择性必修第一册、选择性必修第 二册第四章等差数列 2、考试时间：120分钟 3、试卷总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线经过两直线和的交点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（ ） A. 11 B. 22 C. 24 D. 44 5. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线倾斜角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部答对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 可以为空间的一组基底 10. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 弦的最大值为4 C. 存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每题6分，共15分） 12. 已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 _________. 13. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 14. 已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合. （1）求抛物线C的方程; （2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为，求直线l的斜率. 18. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第一学期 第二次月考高二 数学试卷A 命题人：赵秀梅 注意事项： 1、考试范围：选择性必修第一册、选择性必修第 二册第四章等差数列 2、考试时间：120分钟 3、试卷总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，， 由为双曲线的焦点，得， 所以，故渐近线方程为. 故选：C 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则的中点坐标为， 且，则， 所以所求圆的方程为， 故选：A. 3. 若直线经过两直线和的交点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 4. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（ ） A. 11 B. 22 C. 24 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】分别将选项中的数换，得到的等式，计算的值，若，则此数是数列中的项，否则，不是数列中的项. 【详解】解得，故A错误； 解得，故B正确； 解得，故C错误； 解得，故D错误． 故选:B． 5. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 6. 已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 7. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合题意可得，求解不等式即得圆的半径的范围. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 故需，解得. 故选：B. 8. 已知抛物线C：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线倾斜角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件求出点的坐标，然后利用两点的斜率公式求解直线的斜率，最后利用同角三角函数的关系求解倾斜角的正弦值即可. 【详解】已知抛物线，可得：抛物线的焦点为，准线方程为， 因此可得：准线与轴的交点为. 不妨假设点在第一象限，由于，可得：直线的斜率为， 即，又， 联立，得：，即， 解得：或， 当时，，即， 设直线的倾斜角为，则， 由，且，又，得：. 当时，，即， 则，同理可得：. 综上所述可得：则直线倾斜角的正弦值为. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部答对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 可以为空间的一组基底 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量的模长公式可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用空间基底的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，则，C错； 对于D选项，设，即， 所以，解得，故， 故、、共面，即不能为空间的一组基底，D错. 故选：AB. 10. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对直线方程进行整理变形即可得出过定点，利用直线一般方程中的系数的关系即可得出直线关系和倾斜角的范围. 【详解】对于选项A，整理直线方程：，则，解得，即过定点，故A正确； 对于选项B，整理直线方程：，当，即时，的倾斜角为直角，故B错误； 对于选项C，代入，可得直线，，显然，故C正确； 对于选项D，若，则，解得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 弦的最大值为4 C. 存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点与离心率求出椭圆方程为：，再根据椭圆性质，直线与椭圆的位置关系对选项逐一判断即可． 【详解】由题知椭圆焦点在轴上，又直线过点，所以，即， 又，椭圆方程为：． 对于A，椭圆短轴长为，故A正确； 对于B，联立，消去整理得：恒成立， 设，则， ，因为，故，无最大值，故B不正确； 对于C，若为直径的圆恰好过点，则， 即， 即， 即解得：， 故存在实数，使得以为直径的圆恰好过点，C正确； 对于D，若，即， 故，解得：，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每题6分，共15分） 12. 已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 _________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为： 13. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 14. 已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆心坐标为，由两圆外切则圆心距，利用两点间距离公式列方程，再由三点共线，根据列方程，结合两个方程求解出的坐标. 【详解】设的圆心坐标为， 由圆方程得到其圆心为，； 因为圆与圆外切于点，所以， 即，即， 又因为三点共线，所以，故，得代入，得到， 所以. 又因为圆与圆外切于点， 所以与在原点同侧，所以 ，所以， 当时，，此时. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标及平面的法向量，进而可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合. （1）求抛物线C的方程; （2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为，求直线l的斜率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由双曲线方程及焦点坐标求出，再由题意求出抛物线方程. （2）由（1）设出点的坐标，再利用斜率坐标公式列式求解. 【小问1详解】 由双曲线的一个焦点为，得，解得， 抛物线的焦点为，依题意，，解得， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）设，由弦AB的中点的横坐标为，得， 所以直线l的斜率. 18. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可. （2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可. （3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可. 【小问1详解】 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. 【小问2详解】 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设直线l的方程为，，， 由得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点. 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （3）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【小问1详解】 由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. 【小问2详解】 由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. 【小问3详解】 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $