【奥赛王】中考数学全国重点高中提前招生考试全真试卷05

全国重点高中提前招生考试全真试卷（五） (满分：120分时间：120分钟) 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.（成都七中2019年外地生自主招生考试)若a= 2+万+56=2+6-1而，则g的值为() 5 方 B. C.1 D.- 1 “2+3 6+√10 2.(四川大学附中2019年自主招生考试)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2x+2- 2t+4=0的两实数根，则(m+2)(n+2)的最小值是 ( A.7 B.11 C.12 D.16 3.(宁波市意溪中学提前招生)如图5-1，在⊙C中，DE⊥AB于点E,EH⊥CD于点H,设AE=a, BE=b,则长度为2b的线段是 () A.CH B.HE C.CE D.HD a I M 图5-1 图5-2 图5-3 4.(2020年成都七中自主招生)如图5-2，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成如图的矩形，设 a=1,则这个正方形的面积为 ( A.7+35 B.3+ 2 C.5+1 2 2 D.(1+2)2 5.(2020年宁波一中自主格生)如图53，正方形ABCD的顶点A在第二象限y=的图象上， 点B,点C分别在x轴，了轴负半轴上，点D在第一象限直线了=x的图象上，若S=子，则 k的值为 A.-1 c.- D.-2 6.（黄冈市省级示范高中〈黄冈中学、10县市区一中〉自主招生)如图54，正 方形ABCD的边长为2，点E,F分别是边AB,BC的中点，点P是DF上的 动点，=，S=y,则y与x的函数图象大致是 图5-4 米光米光光17 光米米米米 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.(华中师大一附中高中自主格生)已知关于x的方程-】-x=x+1无解，则a的值 x-2x+1x2-x-2 为 8.(黄网市2019年省级示范高中（黄网中学、10县市区一中〉自主招生）已知。+京。+B, 114 则(-( 209 2020 9.(2020年泉州侨光中学自主招生)如图5-5，在直角坐标系中，点A,B分别在x轴和y轴上， 品=子，LA0B的角平分线与0A的垂直平分线交于点C,与AB交于点D,反比例函数y: 0A=3 k的图象过点C,当以CD为边的正方形的面积为号时，k的值为 图5-5 图5-6 图5-7 10.（黄冈市省级示范高中（黄冈中学、10县市区一中〉自主招生）如图5-6，在平面直角坐标系 中，四边形ABCD是平行四边形，顶点B在反比例函数y=-2(x<0)上，点A在反比例函 数y=(x>0)上，点C,D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积是 11.（黄冈市2020年省级示范高中（黄冈中学、10县市区一中〉自主招生）设实数x,y,z满足x +y+z=1,则M=xy+2yz+3zx的最大值为 12.（黄冈市2020年省级示范高中（黄冈中学、10县市区一中）自主招生）如图5-7，在锐角三角 形ABC中，AB=8,△ABC的面积为40，BD平分∠ABC,若M,N分别是BD,BC上的动点， 则CM+MN的最小值为 三、解答题（每小题12分，共60分）】 13.（蛛埠市2019年高中创新潜质特长生招生)(1)设n为正整数，求证：n2+(n+1)2+n2(n +1)2是完全平方数； (②)计第：++1+层++1+…+ 2019+2020+1. 米米光光米18光米米米光 14.（黄网市2021年省级示范高中〈黄冈中学、10县市区一中有主招生)已知函数y=x2+ 2px-2,当-2≤x≤0时的最小值为M. (1)求M关于p的函数解析式； (2)当M=-3时，求函数y=x2+2x-2,在-2≤x≤0时的最大值. 15.（青岛二中自主招生)△ABC中，∠A,LB,∠C的对边分别为a,b,c,函数y=(a+b+c)x2 -2V而x+a+b-c)的最小值为0，且c0s4,osB是关于x的方程(m+5)2-(2m- 5)x+m-8=0的两根 (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求实数m的值； (3)若此三角形外接圆面积为27，求△ABC内接正方形的边长。 米米光光米19光米米米光 16.(成都实脸外国语学校高中自主招生)如图5-8，四边形ABCD内接于圆O,AC⊥BD,求证： 点O到四边形ABCD各边的距离之和等于四边形ABCD周长的一半. 图5-8 17.(2020年泉州侨光中学自主招生)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2. (1)如何将抛物线C,平移得到抛物线C2? 4 (2)如图5-9①，抛物线C,与x轴正半轴交于点A,直线y=-3x+b经过点A,交抛物线 C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C,于点Q, 连接AQ. ①若AP=AQ,求点P的横坐标； ②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标. (3)如图5-9②，△MNE的顶点M,N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME,NE 与抛物线C2均有唯一公共点，ME,NE均与y轴不平行.若△MWE的面积为2，设M,N 两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系. ① ② 图5-9 米米光光米20光米米米光由SM=3SA0m,可得7×1y-(-2)1×4=3×6, 解得y=7或-11，∴点E的坐标为(0,7)或(0，-11)；若点E 在x轴上，设E(x,0),则CE=1x-(-2)1. 由S6m=3S0a,可得号×1x-(-2)1×4=3×6.解得x= 7或-11，.点E的坐标为(7,0)或(-11,0).故点E的坐标 为(0,7)或(0，-11)或(7,0)或(-11,0). 15.解：(1)设s为a2-b2与a2的最大公约数，则a2-b2=5, a2=sw,w,是正整数，.a2-(a2-b2)=b2=s(v-u),可见s 是b2的约数，a,b互质，a2,b互质，可见s=1.即a2-b 与a2互质，同理可证a2-62与b2互质； (2)由题知：ma2=(m+116)b2,m(a2-b2)=116b,.(a2- b2)=11662.(a2-b2,b2)=(a2,62)=1,.(a2-62)=116, a2-b2是116的约数，116=2×2×29，a2-b2=（a-b) (a+b),而a-b和a+b同奇偶性，且a,b互质，.a2-2要 么是4的倍数，要么是一个大于3的奇数，∴.(a-b)(a+b)= 29或(a-b)(a+b)=116,∴.a-b=1,a+b=29或a-b=1, a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29,解得 只有一组解符合条件，a=15,b=14,∴.m(152-142)=116× 14,m=4×142=784,.k=784×152=176400; (3)设a=5x,b=5y,即x,y的最大公约数为1，则m(a2-b2)= 11662,即m(25x2-25y2)=116(5y)2,∴.m(x2-y2)=116(y)2. x,y互质，则有：m=2×72,x=15,y=14,a=75,b=70, m=784,k=784×752=4410000. 16.解：(1)如图①，连接EF..·AB=AC,AD为BC边上的中线， ∴AD LBC,∠BAD=∠CAD,:∠ADB=90°，点E在半圆D 上，LBEF=∠BDA=45,BC是直径，∠BBC= 90,LAEB=90LBEF=7LBEA,EF平分∠BBA, ,F点是△ABE的内心 第16题图 (2)方法一：如图②，过F作FH⊥AE,FN⊥BE,垂足分别为 H,N,.EF平分∠AEB,∴.FH=FN,由题意得∠FAH=∠FGN, ∴.Rt△AHF≌Rt△GNF,∴.AF=FG. 方法二：如图②，连接AG,:∠AFG=∠AEC=90°，∴.A,F,E, G四点共圆，∴，∠FEB=∠FAG=45°，∴.AF=FG. (3)如图③，在AE上截取AM=EG,连接FM,EF,ED,过E作 EK⊥AD于K,由题意△AMF≌△GEF,∠AFM=∠GFE, ∠MFE=90,△MFE为等腰RT△，ME=AB-EG=2年 17 E即2，DB=DF=1,解△DEF得BK=音，K= 17 △MKE△M0c,船-得A=子因此G=号 2 17.解：(1)将A(-1,0),C(0,)代人抛物线y=2+25x 3x+c (a≠0)，则有 ∫a2 3 +c=0,解得 、 3 c=5, c=3; (2)由(1)得抛物线解析式y=-:+2+厅，点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，C(0,W5),∴D(2,√3)， 阴=5，令y=0,即-+25+5=0，解得=-1， x2=3,.A(-1,0),B(3,0).又AE⊥AC,EH⊥AH,△AC0 △24浩-器即号高解得8=.则0E=2 光光米光光9 (3)找点C关于DE的对称点N(4,W3),找点C关于AE的对 称点G(-2,-√5)，连接GW,交AE于点F,交DE于点P,即 G,F,P,N四点共线时，△CPF的周长=CF+PF+CP=GF+ PF+PN最小直线Gy的解析式y=-①， 3 由2)得62，-同A(-1,0)直线征的解折式y=-会： rx=0, -5②，联立①，②解得 3 3 0M1轴，将=2代人y=吾：-中，得P(2,号) F(0,-）卢P(2,号)的水平距离为2，过点M作y轴 的平行线交P于点Q,设点M(m,-m2+2马+小则 m1-m).sm5m sw子×0×2=0=(-2+2+同司 (停m-)-9+9+9-(a+ :一9<0当m=分时，△MPF面积有最大值为 175. 173 12 全国重点高中提前招生 考试全真试卷（五） 1.B提示：a-万+3+ √3 后，b=2(2+5-W5), 音n++5凤6宝 1 1 2.D提示：(m+2)(n+2)=2(m+n)+mn+4,由m+n=2, m=2-2t+4,可得原式=(t+1)2+7,因为△=(-2)2-4(2- 2t+4)≥0，所以t≥2，当t=2时，(t+1)2+7最小值为16. 3.D提示：由射影定理，得DE=√ab,DE2=DH·CD. 4,A提示：根图形和题意有(a+b)2=b(a+2b),a=1,则有 (1+6)2=6(1+26).解得6-5，放正方形的面积为(1+ 5745放选 5.B提示：过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG 交y轴于点H,易证△DHM≌△DEN(ASA),∴S△DHW=S△ws, S影=子=Sane=DH×DB,DH=DB=5同理可 2 证：△MD≌△BCA≌△C0B≌△DIC,0C=D=5=AP= BC,CH=254G-5-060=5点A的坐标 3 为(-524=-5x25号故选B 6.C 7.1,2,4提示：方程(2-a)x=2,当a=2时无解；当x=2时，a= 1;当x=-1时，a=4,x=2或-1是增根，原方程无解. 8.0或-2提示：由已知，得(a2+b)2=4a2b2,(a2-b2)2=0, ∴a2=b2,∴.a=b或a=-b.当a=b时，原式=0.当a=-b 时，原式=-2. 9.14提示：由题意，设0A=3a,则0B=4a,则A(3a,0),B(0, 4 4a),求得直线AB的解析式为y=-3x+4a,:直线CD是 光米光光光 ∠AOB的平分线，则直线OD的解析式是y=x,联立 12 +如·解得 a, v2。则D点的坐标是 y=7a, (号。，号）小又：0A的中垂线的解析式是x=子，则C点的 坐标是（名，子）则k=冬。，：以cD为边的正方形的面积 为号，且cm=-户+0-=2（号。-2， 则2（号。-=手解得心=乡=号×曾=4 10.5提示：设4(a,子）B(6,-子)sm=(a-b)·2。 3-是-子…-动=2 1.子提示：x+y+2=1,g=1--,M=y+2如+ 3zx=xy+2y(1-x-y）+3x(1-x-y）=xy+2y-2xy-2y2+ 3x-3x2-3xy=-3x2-4xy-2y2+2y+3x=-2(x+y)2+ 2+0-2*=-2[x+-(+w+-] 子M=y+2加+3江的最大值为子 12.10提示：过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作 MN⊥BC于V,':BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,MW⊥BC于 N,.MN=ME..∴.CE=CM+ME=CM+MW的最小值： ~SAm=40,4AB=87x8xCB=40CB=10. 13.獬：(1)n2+(n+1)2+n2(n+1)2=[n(n+1)]2+2n(n+1) +1=[n(n+1)+1]2是完全平方数； 1 1 2:√斤+a+1-√ n+1)+n2+m(n+1)☑ n2(n+1)2 /[1+n(n+1) 1 =√r(n+1 -=1+ n(n+1) =1+1.1 nn+1' /1.1 1.1 1 六√+室+1+√空+苹+1++√208+20m+1 (+片）(1+）+(1+ 1 =1×209+(十-2)-2092 2020 14.解：(1)y=x2+2px-2=(x+p)2-p2-2,当-2≤x≤0时，① 当-p<-2,即p>2时，函数最小值M=2-4p;②当0≤p≤2 时，函数最小值M=-p-2;③当p<0时，函数最小值M=-2, r2-4p,(p>2), ∴.M关于p的函数解析式为M= -p2-2,(0≤p≤2)， -2,(p<0), (2由M=-3知，B-3或经-3，六1， y=x2+2x-2=(x+1)2-3,当-2≤x≤0时，函数最大 值为-2. 15.(1)证明：由题意，得4ac-&_2a+b+o(a+b-c）-(2画2 4a 4(a+b+c) 0,化简，得(a+b)2-c2=2ab,a2+62=c2,.△ABC是直角三角形 图① 图② 第15题图 (2)解：c0s2A+cos2B=1,.(cosA+cosB)2-2c0s4·cosB= 米光光光光9 1o4+am8-034am8-3(2m-5P 2(m-8)(m+5)=(m+5)2,m1=4(舍)，m2=20,.m=20. (3)解：设边为c,则（台-兰6=5，由2）得a=m 3 4 25x-35x+12=0,4=弓南=于如图①，设DE=x,则AD= 4-e/c器-0青-=号@，如国②， xCN,CNF/ABACCB, 2 小器-袋设球=子2,2-=2y=号 60 △MBC内接正方形的边长为号或号 16.证明：如图，分别取AB,BC,CD,DA的 中点E,F,G,H,连接OE,OF,OG,OH, 则根据垂径定理，OE⊥AB,OF⊥BC H 0G⊥CD,OH⊥AD,0E,0F,OG,OH分 /0. 别为点O到AB,BC,CD,DA的距离， 由已知AC⊥BD,设垂足为点I,连接 D0并延长交⊙0于点J,连接AJ,则 ∠DW=90,则0HL分AM,在Rt 第16题图 △DAJ与Rt△DIC中，∠AJD=∠ACD=∠ICD,∴，Rt△DAJ∽ △Rt△DlC,∴.∠ADJ=∠CDI,又∠ADJ=∠ACJ,∠CDI= ∠CDB=∠CAB,.LACJ=∠CAB,又LAJC=∠CAB,AC= CA,△AUC≌△CBA(AMS),J=CB又0H=AU, 0H=之BC.同理可证0B=分CD,0F=之AD,0G=号 AB,0E+0F+0C+0n=之(AB+BC+GD+AD),即点0 到四边形ABCD各边的距离之和等于四边形ABCD周长的 一半. 17.解：(1)y=(x-1)2-4向左平移1个单位长度，再向上平移 4个单位长度即可得到y=x2; (2)如题图(1)，①设抛物线C,与y轴交于C点，直线AB与y 轴交于D点，Cy=(x-1)2-4,.A(3,0),C(0,-3). 直线y=-号x+b经过点A,b=4.D(0,4).P= AQ,PQ∥y轴，∴.P,Q两点关于x轴对称，设D(0,4)关于x轴 的对称点为D',则D'(0,-4),∴.直线AD'的解析式为y= 「y=x2-2x-3, 油=号-4，得=3=宁宁 g-4,由 ,=0=号P点横坐标为子：②设P(m,4-号 1 Q(a,-2m-3),A=P0,(2-子m-7）=(m 3+4-…m--7m-3-1 m<3-层+子m+7=子(3-m）m=-子或m=3 （舍)，P点横坐标为-子； (3)设经过M与E的直线解析式为y=k(x-m)+m2, 六化-m)+,期有-a+加--0a=-4m +4m=(k-2m)2=0,.k=2m,∴.直线ME的解析式为y= 2mx -m, 同理：直线E的解析式为y=2-,E(士”，m） 之(m2-m)+(m2-m)]x(m-）-含(2-m)x (02-2(m-m)×(m-02）=2(m-- m,=4,(m-n)3=8,m-n=2 2 6 光米光光光