2026年河南三门峡市卢氏县第七协作区二模数学试题

**基本信息** 2026年中考数学二模卷以石墨烯科技、红色研学等真实情境为载体，通过选择（10题30分）、填空（5题15分）、解答（8题75分）覆盖实数、函数、几何变换等核心知识，凸显数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型意识）的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、科学记数法等|第2题石墨烯科学记数法体现科技前沿，第8题红色研学概率渗透文化传承| |填空题|5/15|因式分解、几何折叠等|第14题正方形折叠考查空间观念，第15题动态几何问题发展创新意识| |解答题|8/75|二次函数应用、统计等|22题喷水池问题通过建模考查模型意识，23题综合实践以几何变换与最值发展推理能力|

2026年中考学科适应性第二次调研 数学 (满分：120分考试时间：100分钟) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列实数中最大的是 A号 B.元 C.√15 D.1-41 2.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度 应是0.0000098m,0.0000098用科学记数法表示是 () A.0.98×10-5 B.9.8×10-6 C.9.8×10-5 D.9.8×105 3.将直角三角板按照如图方式摆放，直线a∥b,∠1=130°，则∠2的度数为 A.60° B.50° C.45° D.40° 4.如图1，该几何体是由6个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A两次平移后（如图 2),所得几何体的视图 () 图1 图2 A.主视图改变，俯视图改变 B.主视图不变，俯视图不变 C.主视图改变，俯视图不变 D.主视图不变，俯视图改变 2x-a<0, 5.若关于x的不等式组 22+ 的解集只有3个整数解，则α的取值范围是 A.10<a≤12 B.10≤a<12 C.9≤a<10 D.9<a≤10 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点，连接EF.若 EF=2√2，BD=3,则菱形ABCD的面积为 ( A瓦 B.3√2 C.6√2 D.12√Z 1.若关于x的一元二次方程x2+3x十m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为 A.-9 B-号 c号 D.9 8.为培养学生爱国主义情怀，某校决定从“新县大别山革命老区”“焦裕禄纪念园”“红旗渠风景区”三处 红色基地中随机选取两处组织学生开展研学活动，则恰好选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪 念园”的概率是 () A司 B号 c D 9.如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为 弧BB',若∠BAC=60°，AC=3,则图中阴彤部分的面积是 () 1品 B受 c D.3π 10,某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 R(Ω)（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U换算为人的质量m(kg),已知U随着 R的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3.则下列说法不正确的是（) UoNA (10. 418,5 (30,4) (50.3) (90,2) (210.) 何息窗 R1与m之间满足R,=一2m十240(0≤m≤120) 306090150 210R/n 图3 图1 图2 A.在一定范围内，U越大，R,越小 B.当U=3V时，R1的阻值为50 C.当踏板上人的质量为90kg时，U。=2V D.若电压表量程为0~6V(0≤U。≤6)，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.分解因式：8ab3c+2ab= 12.为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进人了最 后的决赛.如图是他们6次的测试成缋，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则 应选 .（填“小洋”或“小亮”) 个成绒/分 100 80 60 燧 40 20 0 123456次数 6x+my=3,① 13.在解关于x,y的二元一次方程组 时，若①十②可以直接消去一个未知数，则m,n 2x+ny=-6,② 之间的数量关系可以用等式表示为 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A的坐标为(0,2)，E是线段BC上一点，且∠AEB= 67.5°，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为 0 15.如图，已知△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4,D为BC边上一点.点B关于直线AD的对称点为 点B,连接B'C,将B'C绕点B'逆时针旋转45°，过点C作其垂线交于点E,得到等腰直角△BCE. 那么在点D运动过程中，当点E恰好落在BC上时，BD的长为 :当AE最长时，BD的长 为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：2-2-|5-4|+√（-4)2； ②)化简年÷(e-2。 17.（9分)暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成 绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直 方图. 测试成绒角形统计图 测试成绩频数分布直方图 个频数 D 45 E A8% 0 30% 18% B 050570503030s成球分 A 0 其中A组的频数a比B组的频数b小15.请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取 、名学生，a的值为 (2)在扇形统计图中，n= ,E组所占百分比为 %; (3)补全频数分布直方图； (4)若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数. 18.(9分)如图，反比例函数y=(x>0)过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作BC1 x轴交反比例函数图象于点B. (1)填空：反比例函数的解析式为 ,直线AC的函数解析式为 ,点B的坐标是 (2)在平面内存在点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形. ①在图中用直尺和2B铅笔画出所有符合条件的平行四边形； ②根据所画图形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标， 19.(9分)如图，在正方形ABCD中，BC=2BE=4. (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作AE的垂线，交AB于点F(不写作法，保留作 图痕迹)； (2)连接EF,求EF的长 20.(9分)如图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别）， 其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm,识别的最远水平距离 OB=150 cm. 仰角15° 抵像头马…水平线 俯角15 图1 图2 (1)欢欢站在离摄像头水平距离130cm的点C处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），那么欢欢的 身高约是多少厘米？ (2)身高148cm的乐乐，头部长度为17cm,踮起脚尖可以增高4cm.他需要站在距离点O多远的 区域内才能被识别到？请计算说明.（精确到0.1cm,参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27) 21.(9分)某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设过程中，需要 采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和 3台三明治机需395元. (1)求每台煎蛋器和三明治机的价格； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半.请你给 出最节省费用的购买方案， 22.(10分)如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水 头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m,水柱落地处离 池中心8m. (1)求水管OA的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8m的景观射灯EF,且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱， 求景观射灯EF与OA之间的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为10m,已知水管升高后，喷水头喷 出的水柱形状和对称轴不变，则水管OA要升高多少？ 0 23.(10分)综合与实践 (1)操作探究 如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=5,AB=2,分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD和 等边三角形ACE,连接CD,BE ①请找出图1中与BE相等的线段，并说明理由； ②线段BE长的最大值为 (2)拓展应用 如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动 点，且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值； (3)知识迁移 如图3，在△ABC中，AB=1,BC=3,D为AC外-点，DA LAC,DA=2AC,连接BD,CD,求BD的最 大值，并说明理由。 九年级数学参考答案 1.D2.B3.D4.D5.A6.C7.C8.B9.C10.C 11.2ab(4bc+1)12.小克13.m+n=014.（-√2,2-√2) 15.4√一42√3+2解析：如图1，当点E恰好落在BC上时，连 接AB. B B' 图1 .'∠BAC=120°，AB=AC, ∴.∠B=∠ACB=30°. .'AB=AC,AB=AB',..AB'=AC, ∴.∠AB'C=∠ACB'. ,∠ECB'=∠EB'C, ∴∠AB'E=∠ACE=30°. 测试成绩频数分布直方图 由对称性，得∠AB'D=∠B=30°， 频数 ∠DB'E=60°. 60 60 设EC=EB'=x, DE=√5EB'=V5x) 5 D .DB'=2EB'=2x, 0f.--- 27 c .BD=DB'=2x, 6 12 B :.BC=BD+DE+EC=3x+3x. ■B AB=4,∴.BC=V5AB=4V3, 30.560.570.580.590.51005成绩/分 .3x+5x=4V3, (4)1500×60+5=660(人). .x=2V3-2, 150 答：成绩在80分以上的学生约有660人. .BD=2x=4V5-4. 如图2，△B'EC为等腰直角三角形， 18.(1)y=2 x y=-台x+86,2) ∴点E在直径为B'C的以中点O为圆心的圆上运动. (2)①如图，分别以AB,AC和BC为对角线画出平行四边形 B'C为直径，AE为直径时，AE最大， 故O为AE中点. 则A,C,E,B'四点共圆. ⊙O交BC于D,连B'D. D ②由图知，点D的坐标为(3,6)或(3,2)或(9，一2). 图2 19.解：(1)如图所示，直线DF即为所求作： ,四边形ACEB'为正方形， ∴∠ADB'=∠ACB=45°. B'C为直径，∴∠BDC=90°， .∠ADB=45. 过点A作AR⊥BC, △ARD为等腰直角三角形 AB=4, (2)连接EF ..BC=3AB=43, :四边形ABCD是正方形， ..BR=RC=23, ∴AD=AB=BC=4,∠B=∠BAD=90°， AR=合AB=2RD=AR=2, ∠AFD+∠ADF=90°. :DF⊥AE, ..BD=BR+RD=23+2. ∠AFD+∠FAE=90°， 16解：1原式=宁-4+5+4 ∴∠ADF=∠FAE, .△ADF≌△BAE(ASA), =7+5, ∴.AF=BE=2, ∴.BF=AB-AF=2 (2)原式=a+b)(a-b÷a2-2ab+6 又∠B=90°. a(a+b) a =a+b)(a-b) ∴.EF=√2BE=2VE. a aa+o2·a-6 20.解：(1)过点C作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点E,D,交 ⊙1 水平线于点F. a-6 仰角15°E 17.解：(1)：A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频串比 B组的频率小18%-8%=10%， 摄像头A i-水平线 .本次共抽取的学生有15÷(18%一8%)=150（名）， 俯角15D a=150×8%=12: (2②360*×需=360×40%=14，即m=14, 故E组所占百分比为1-8%-18%-30%-40%=4%， 777777777 (3)b=a十15=27， C组的频数为150×30%=45，E组的频数为150X4%=6, 在R△AEF中，tan∠EAF=E辈， AF' 补全期数分布立方图如图所示： .EF=AF·tan15°≈130X0.27=35.1(cm), 由题意，知∠AOB=∠OAF=∠FCO=90°， 23.解：(1)①CD=EB.理由如下： ,四边形AOCF是矩形， ,△ABD与△ACE是等边三角形， ∴.CF=OA=160cm, .AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°， ∴.CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm), ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, .欢欢的身高约是195.1cm, 即∠CAD=∠EAB. (2)乐乐踮起脚尖后需要站在距离点O不小于92.6cm且不大 (AD=AB, 于150cm的区域内才能被识别到. 在△CAD与△EAB中，K∠CAD=∠EAB, 理由：如图，若乐乐站在点G处踮起脚尖时头的下部正好位于 LAC-AE, 俯角线上，过点G作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点M, .△CAD≌△EAB(SAS),∴.CD=EB, N,交水平线于点P, ②7： 仰角15° (2)如图1，将△APM绕者点P顺时针旋转90'得到△NPB,连 M 接BM,AN. 摄像头A川 5…水平线 俯角15 则GN=148+4-17=135(cm), 此时PN=160-135=25(cm), 图1 在R△APN中，tan∠NAP=, AP 由旋转，得BN=AM,△APN是等腰直角三角形， .AP=_NP .PN=PA=2,线段AM长的最大值等于线段BN长的最 an15≈0,27≈92.6(cm）. 25 大值. 即乐乐踮起脚尖后筋要站在距离点O约不小于92.6cm且不大 :点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)， 于150cm的区域内才能被识别到： ∴0A=2,OB=5,∴.AB=3. 21解：(1)设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是 当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为 y元. AB+AN. 根据题意，得 十68，群得{id。 在Rt△APN中，AN=√PW+PAF=2VE, y=110. .AM的最大值为2√瓦+3； 容：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元； (2)设购买m台煎蛋器，则购买(50一m)台三明治机. (3)BD的最大值为1+√.理由如下： 根据题意，和50-m≥号m,解得m≤9 如图2，过点A作AE⊥AB,使AE=AB=1,取AC的中点O,连 接EO并延长至点F,使OF=OE,连接CF. 设学校采购这两种机器所儒总费用为w.元，则w=65m十 0 110(50-m), 即w=-45m+5500. -45<0, w随m的增大而诚小. 又：m为正整数， .当m=33时，w取得最小值，此时50一m=50.一33=17， 图2 最节省费用的购买方案为购买33台放蛋器，17台三明治机. 2解：(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(3,5)，点B的坐标为(8,0). DA⊥AC,AE⊥AB, .设抛物线的解析式为y=a(x一3)2+5(a≠0). ∠BAE=∠CAD=90°， 把点B的坐标代人，得25a+5=0. ∴∠BAE+∠EAD=∠CAD+∠EAD,即∠BAD=∠EAO. 解得a=一0.2. :0为AC的中点，A0=号AC y=-0.2(x-3)2+5. 当x=0时，y=3.2. :DA=合AC,AD=A0, 水管OA的长度为3.2m: :AB=AE,∴.△ABD≌△AEO(SAS), (2)当y=1.8时，1.8=-0.2(x-3)2+5. .BD=EO. 解得x1=7,x:=一1（不合题意，舍去）. (OA=OC, 景观射灯EF与OA之间的水平距离为？m: 在△OAE和△OCF中，{∠AOE=∠COF, (3)设升高水管后，水挂所在的抛物线的解析式为y=一0.2(x 3)+h. OE=OF, 经过点(10,0)， △OAE≌△OCF(SAS),.AE=CF=1. OE=OF,∴.EF=2OE=2BD, .-0.2X49+h=0, .当BD最大时，EF最大. 解得h=9.8, y=-0.2(x-3)2+9.8. 当点E,A,C,F在同一条直线上时，EF最大，此时∠BAC=90°， 当x=0时，y=8, ∴AC=√BC-AB=√3-下=2√2， .8-3.2=4.8(m), ∴EF=AE+AC+CF=2+2√E, …水管OA要升高4.8m .BD的最大值为1+√2. 2026年中考学科适应性第二次调研 数学 (满分:120分 考试时间:100分钟) 一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1.下列实数中最大的是 ( ) A. B.π C. D.|-4| 2.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.000 009 8m,0.000 009 8用科学记数法表示是 ( ) A. B. C. D. 3.将直角三角板按照如图方式摆放，直线a∥b，∠1=130°，则∠2的度数为 ( ) A.60° B.50° C.45° D.40° 4.如图1，该几何体是由6个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A 两次平移后(如图2)，所得几何体的视图 ( ) A.主视图改变，俯视图改变 B.主视图不变，俯视图不变 C.主视图改变，俯视图不变 D.主视图不变，俯视图改变 5.若关于x的不等式组 的解集只有 3个整数解，则a的取值范围是 ( ) A.10<a≤12 B.10≤a<12 C.9≤a<10 D.9<a≤10 6.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接 EF.若 则菱形ABCD的面积为 ( ) A. B. C. D. 7.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为 ( ) A.-9 B. C. D.9 8.为培养学生爱国主义情怀，某校决定从“新县大别山革命老区”“焦裕禄纪念园”“红旗渠风景区”三处红色基地中随机选取两处组织学生开展研学活动，则恰好选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪念园”的概率是 ( ) A. B. C. D. 9.如图，将含60°角的直角三角板 ABC绕顶点A 顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点 B 经过的路径为弧BB',若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是 ( ) A. B. C. D.3π 10.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R₁(Ω)(如图1)，当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U₀换算为人的质量m(kg)，已知U₀随着R₁的变化而变化(如图2)，R₁与踏板上人的质量m的关系见图3.则下列说法不正确的是( ) A.在一定范围内，U₀越大，R₁越小 B.当 时,R₁的阻值为50 Ω C.当踏板上人的质量为90 kg时， D.若电压表量程为 为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115 kg 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.分解因式： 12.为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛.如图是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 .(填“小洋”或“小亮”) 13.在解关于x，y的二元一次方程组 时，若①+②可以直接消去一个未知数，则m，n之间的数量关系可以用等式表示为 . 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的点 A的坐标为(0，2)，E是线段 BC上一点，且 67.5°,沿 AE折叠后 B 点落在点 F 处,那么点 F 的坐标为 . 15.如图,已知△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,D为 BC边上一点.点 B关于直线AD的对称点为点 B',连接B'C。将 B'C绕点 B'逆时针旋转45°,过点 C作其垂线交于点 E,得到等腰直角△B'CE.那么在点 D运动过程中，当点 E恰好落在BC上时，BD的长为 ；当AE最长时，BD的长为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16.(10分)(1)计算: (2)化简: 17.(9分)暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数，满分为100 分)，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图. 其中A组的频数a比B组的频数b小15.请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取 名学生，a的值为 ； (2)在扇形统计图中， ，E组所占百分比为 %； (3)补全频数分布直方图； (4)若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在 80分以上的学生人数. 18.(9分)如图，反比例函数 过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作BC⊥x轴交反比例函数图象于点 B. (1)填空：反比例函数的解析式为 ，直线 AC的函数解析式为 ，点B的坐标是 ； (2)在平面内存在点 D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形. ①在图中用直尺和2B铅笔画出所有符合条件的平行四边形； ②根据所画图形，请直接写出符合条件的所有点 D 的坐标. 19.(9分)如图,在正方形 ABCD中,BC=2BE=4. (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点 D作AE 的垂线，交AB于点 F(不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接 EF,求 EF 的长. 20.(9分)如图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头 A 的仰角、俯角均为 摄像头高度 OA=160cm,，识别的最远水平距离OB=150cm. (1)欢欢站在离摄像头水平距离130 cm的点C处，恰好能被识别(头的顶部在仰角线)，那么欢欢的身高约是多少厘米? (2)身高148 cm的乐乐，头部长度为17 cm，踮起脚尖可以增高4 cm.他需要站在距离点O多远的区域内才能被识别到?请计算说明.(精确到0.1cm，参考数据： 21.(9分)某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元. (1)求每台煎蛋器和三明治机的价格； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半.请你给出最节省费用的购买方案. 22.(10分)如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心 8 m. (1)求水管OA 的长度; (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8m的景观射灯 EF，且景观射灯的顶端 F 恰好碰到水柱，求景观射灯 EF 与OA 之间的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为10 m，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管OA 要升高多少? 23.(10分)综合与实践 (1)操作探究 如图1，点A 为线段BC 外一动点，且.BC=5,AB=2,，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图1中与 BE相等的线段，并说明理由； ②线段 BE长的最大值为 ； (2)拓展应用 如图2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB外一动点，且. ，请直接写出线段AM长的最大值； (3)知识迁移 如图3,在△ABC中,AB=1,BC=3,D为AC外一点, 连接BD,CD,求BD的最大值，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $