【奥赛王】中考数学全国重点高中提前招生考试全真试卷03

全国重点高中提前招生考试全真试卷（三） (满分：120分时间：120分钟) 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.(黄网市2020年省级示范高中〈黄网中学、10县市区一中〉自主招生)已知a,b两数在数轴 上的位置如图3-1所示，则 b2-a+a2 +b-2ab a-b 的化简结果是 () a-1b0 十一 图3-1 A.a-b-1 B.a+b-1 C.-a+b+1 D.-a-b+1 2.(2020年华师一附中自主格生)已知函数y=x2+x-1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值 是-子，则m的取值范围是 () A.m≥-2 B.0≤m≤2 C.-2≤m≤-7 D.m≤- 3.(雅礼中学2019年高中自主招生)如图3-2，点E,F分别为正方形ABCD中AB,BC边的中 点，连接AF,DE相交于点G,连接CG,则cos∠CGD= () B.3 C.25 D⑤ 5 D B 图3-2 图3-3 图3-4 4.（安徽师大附中2019级高一自主招生)已知二次函数y=2x2+bx+1(b为常数)，当b取不 同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图33中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值 时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析 式是 A.y=-2x2+1 By=-21 C.y=-4x2+1 Dy=-2+1 5.(2020年长沙一中自主招生)如图3-4，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，点D是弧ABC的 中点，弦DE⊥AB,垂足为点F,DE交AC于点G,EH为⊙O的切线，交AC的延长线于点H, AF=3,FB=号，则am∠DEH= () 号 c 号 光光光光光 9 光米米米米 6.(华师一附中2019年高中招生考试)设a,b为整数，关于x的一元二次方程x2+(2a+b+ 3)x+(a2+ab+6)=0有两相等实根a,关于x的一元二次方程2ax2+(4a-2b-2)x+(2a -2b-1)=0有两相等实根B;那么以，B为实根的整系数一元二次方程是 () A.2x2+7x+6=0 B.x2+x-6=0 C.x2+4x+4=0 D.x2+(a+b)x+ab=0 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.(裹阳四中、五中2019年台主招生考沈)已知a+=4,则a-。的值是 8.（黄冈市2021年省级示范高中〈黄冈中学、10县市区一中〉自主招生)二元一次方程x+ my-m-2=0,m为任意整数，该方程对应的函数过一定点，则定点坐标为 T0102 图3-5 图3-6 图3-7 9.(复旦附中创新拔尖人才选拔考试)已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在 数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是 个. 10.（2020年谁北一中自主招生)如图3-5，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与 直线y=亭相切设三个半圆的半径依次为14，则当1=1时，= 11.（蚌埠市2019年高中创新潜质特长生测试理科素养)如图36，△ABC中，∠B=∠C,点P, Q分别在边AC和AB上，满足AP=PQ=QB=BC,则∠A= 12.（成都七中2019年外地生自主招生)如图3-7，PA切⊙0于点A,PE交⊙0于点F,E,过点 A作A1P0于点D,交O0于点B,连接DF,若nL40=号，PE=50,则限-一 三、解答题（每小题12分，共60分） 13.(上海复旦附中2019年自主招生)已知正整数x,y满足2xy+x+y=127,求x+y的值， 米米光光米10光米米米光 14.（绵阳中学2019年自主招生)如图3-8，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为 对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN,AM, CM. (1)求证：△AMB≌△ENB; (2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； (3)当AM+BM+CM的最小值为3+1时，求正方形的边长 图3-8 15.(2020年华师一附中自主招生)如图3-9，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，以AB为直径 的半圆O交AC于点D,点E是弧BD上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点 F,连接BE并延长交AC于点G (1)求证：△ADF≌△BDG: (2)取弧AE的中点H,若四边形OBEH为菱形，求∠EAB的大小： (3)若AB=4,且点E是BD上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长， G 0 图3-9 米米光光米11光米米米光 16.（成都七中2019年外地生自主招生)已知四边形ABCD中，点E,F分别为边AD和AB上的 点，连接BE,DF相交于点G,且满足∠ADF=∠ABE. (L)如图3-10①，若DE=BG=n,s∠AB=号，6E=3,求A的长（用含n的代数式表示）： (2)如图3-10②，若四边形ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG,AE=1,作点A关于BE 的对称点A,A'到CG的距离为32，求DE的长 图3-10 17.(黄冈市2020年省级示范高中〈黄冈中学、10县市区一中〉自主招生)如图3-11①，在平面 直角坐标系中，抛物线y=-了+了x+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线AD经 过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且点E的横坐标为5，连接AC H ① ② ③ 图3-11 (1)求直线AD的解析式； (2)如图3-11②，点F为第一象限内抛物线上的动点，过点F作FG∥y轴交直线AD于点 G,过点F作FH∥AC交直线AD于点H,当△FHG的周长最大时，求点F的坐标.此时， 点T为y轴上一动点，连接TA,TF,当|TA-TF最大时，求点T的坐标； (3)如图3-11③，点F仍为第一象限内抛物线上的动点，如(2)中条件得△FHG,边FH交x 轴于点M,点N为线段FG上一动点，将△FMN沿着MN翻折得到△PMN,当△PMN与 △FGH重叠部分图形为直角三角形，且PM=PG时，求线段FN的长 米米光光米12光米米米光个时，总费用为y万元.则y=1.5x+2.1(20-x)=-0.6x+ 42.-06<0,.y随x增大而减小，当x=9时，y的值最小 此时y=36.6(万元)，∴，当建造A型处理点9个，建造B型处 理点11个时最省钱； (2)由题意得，每吨垃圾的处理成本为y(元/吨)，当0≤x< 14时，士=号2-80x+5040,子>0，故士有最小值。 当=会=，塑=120（跑）时，士的最小值为 2￥3 240(元/吨)；当144≤x<300时，Y= x =女(10x+7200)= 10+20,当x=30(吨)时，士=250，即子>250（元/吨）. :240<250,故当x=120吨时，文的最小值为240元/吨 :每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且 A型处理点9个，建造B型处理点11个，∴每个A型处理点 9×1 每月处理量-9×1+1x1.2×120×9≈5.4（吨），故每个A型 处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理 成本最低 5 17.(1):一次函数y=是x+m的图象与x轴交于A(-1,0), 0=-子+mm=子y=子+c(0,） 5 :y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,C两点且对称轴是x=2, a-b+c=0, c=- A b=1, y= x2+x+4, b=2 5 -2 c=- 4 “m的值为，C,的函数表达式为y=-子+x+子 (2)要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小，连接BD 交x=2于点F,因为点B与点A关于x=2对称，根据轴对称 性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小，令y= -子2+x+子中的y=0,则x=-1或5，B(5,0), ~(0,登)直线D的解析式为y=高+完。 5 P(2,子）设过P(2,子)的直线MM的解析式为y= 低+6，则子-2k+6,b=子-2k,则直线M场的解析式 为y=+子-2k由 y=+子-2， =子r++得a- 4 5 x-8k=0,元1+x2=4-4k,xx2=-8k,1=kx1+ 2k=+子-2k,5%-2=k(名-名)M,M,= √(x1-2)2+(y1-y2)=√(x-x2)2+k(x-2)产= √1+√(x-x2)7=√/1+√(x+x2)2-4xx2= √1+K√(4-4k)2+32k=4(1+2),M1F= √G-2+(-)=√a-2+(+-2-） =√1+R√/(-2，同理M,F=√1+区√(2-2)7 .M1F·M2F=（1+k2)√(x1-2)(x2-2)=(1+k2) √[x12-2(x1+x2)+4]产= (1+k2）√-8k-2(4-4k)+4]=4(1+)=M1M2, 1 1 M F+M2F MM 六MF+M,F-M,F,M,F=M,F·M,F=l 光光米光光9 (3)设y2与y=-x的两交点的横坐标分别为x0,x,',抛物 线C:%=-子(x-b)2可看成由y=-冬2左右平移得 1 到，观察图象可知，随着图象向右移，。，x。'的值不断增大 .当1<x≤m,y2≥-x恒成立时，m最大值在xo'处取得，∴当 ,=1时，对应的0'即为m的最大值，将。=1代入 为=-子(-A)2=-得(1-A)2=4,A=3或-1（会）， 将h=3代人方=-子(x-A)2=-有-子(x-3)炉=-， .x0=1,.x'=9,.m的最大值为9. 全国重点高中提前招生 考试全真试卷（三） 1c提示：原式=a-b=0-b-a-ba-b-山|-l a-b I a-b a-b-11,由数轴可知a-b<0,原式=-(a-b-1)=-a+b+1. 故选C. 2C提示：函数y=+-1的对称轴为直线x=-分当 =时y有最小值，此时y=号子1=子函数 y=父+-1在m≤x≤1上的最小值是-子m≤-： 当x=1时，y=1+1-1=1,对称轴为直线x=-2, 1 六当x=-号-[1-(-子】=-2时，=1，函数y=2+ x-1在m≤≤1上的最大值是1，且m≤-分小-2≤m≤ 分故选C 3.D提示：连接DF,易证△AED≌△BFA,∠AGD=90°，又 ∠BCD=90°，∠DGF+∠BCD=180°，∴.点C,F,G,D四点共 圆∠c60=∠c,m∠cn0=品：店=停. 六cosLCGD= 51 4A提示：y=2x+饭+1顶点为(-冬，8g）即 8父，消去6，得)3-g。-2r+1 ∫x=-4, 8 8， 5.A提示：连接OE,则可得∠FOE=∠DEH,:AF=3,FB= 手MB=AP+BFP=号0B=2AB=g0F=0B- FB 各在△0BP中，BF=√OE-0F= √(g-(名=2 DE=m∠op=器- 6 6.A提示：依题意得(2a+b+3)2-4(a2+ab+6)=0,即(b+ 3)2=12(2-a）①，(4a-2b-2)2-8a(2a-2b-1)=0,即 (b+1)2=2a②，①+②×6得7b2+186-9=0,(b+3) (7b-3)=0,6,=号（含），62=-3，b=-3,a=2,两个方 程分别为2+4+4-0和4+12x+9=0a=-2,B=-子， 以α，B为根的整系数一元二次方程是2x2+7x+6=0. 85提示a+后=4a+。+2=16,a+子4， a a d++2=16d+=14(a-2-d+-2 米光光光光 192,a-↓=±12=±85 8.(2,1)提示：方程x+my-m-2=0可化为(x-2)+m(y- 1)=0,:对于任意实数m,直线x+my-m-2=0恒过定点， [子0放定点华标是2， 9.2提示：设直角三角形三边为a,b,c,且a<b<c,则 {626+.有-+eaem<2a+6+ √2)<2(b+b+V2b)=(22+4)b<7b,∴a<7,而ab=2(a+ b+c)>2(a+b+b),a>4,又：a为整数，a可取5或6.当 a=5时，c2-b2=25,(c+b)(c-b)=25×1,c=13,b=12符 合；当a=6时，36=(c+b)(c-b)=18×2,c=10,b=8符合题 意，综上(a,b,c)=(6,8,10)或(5,12,13). 10.9提示：由三个半圆依次与直线y= 3x相切并且圆心都在 轴上直线y=9:的倾斜角是3000，=21,0：= 2r2=001+T71+r2=3r1+r2,003=2r3,.2r2=3r1+2,∴.t2= 3r1..r1=1,.001=2,002=2r2=6r1=6,003=18,∴.r3= 9 11.20°提示：如图，过B作B0∥PQ,过P作P0∥AB,连接OC, 易证PQBO为菱形→OP=QP=AP,AB=AC,AP=BQ→AQ= PC,LA=LA0P=∠QB0=∠QPO=LOPC=7∠0PG→ △APQ≌△POC=OC=PQ=B0=BQ=BC→△BOC为正三角形 →∠OBC=∠OCB=BO=60°→∠QB0=∠PC0=∠A=20°. B 第11题图 第12题图 12提示：如图，连接0B,设0A=3a,0D=2,则A02- 0D,P0,P0=号a,PD=号a由切制线定理得PP·PE= PA2,由射影定理，得PA2=PD·PO,.PF·PE=PD·PO, 孺-0且∠DPp=∠0PE△PFD△P0E,8E DF 器品代入数搭解得PE5,PP3器=合 44PE=10 1B解，2y++y=27,y=贸1，可得≤纪，结合正整数 的条件，分析可得，当{，{5，{8： {2{8+y的值为8,27,15 14.(1):△ABE是等边三角形， ∴.BA=BE,∠ABE=60°， :∠MBN=60°，·∠MBN- ∠ABN=∠ABE-∠ABN即 ∠ABM=∠NBE,又，MB= NB,∴.△AMB≌△ENB(SAS); (2)①当点M落在BD的中点 时，A,M,C三点共线，AM+CM的值最小. ②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，AM+ BM+CM的值最小，理由如下：连接MN,由(1)知△AMB≌ △ENB,∴.AM=EN,:·∠MBN=60°，MB=NB,..△BMW是等 边三角形，∴BM=MN,'.AM+BM+CM=EN+MN+CM,根 据两点之间线段最短，得EN+MN+CM=EC最短，可证 △ABM≌△CBM,故∠BAM=∠BCM=∠BEN,EB=CB, 米光光光光9 ∴.∠BEC=∠BCE,:∠BCM=∠BCE,∠BEN=∠BEC,.M,N 可同时在EC上，，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+ BM+CM的值最小，即等于EC的长 (3)过E点作EF⊥BC交CB的延长线于点F,.∠EBF= 90-60°=30°，设正方形的边长为x,则BF=号x,EF=克. 在△EC冲，Br+FC=BC(告+(+ (W5+1)2,解得x=±√2（舍去负值），∴.正方形的边长为2 15.(1)证明：BA=BC,∠ABC=90°，.∠BAC=45°.AB是 ⊙0的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴.∠ADF=∠BDC= 90°，∴.LDAF+∠BGD=∠DBG+LBGD=90°，∴.∠DAF= ∠DBG.∠ABD+∠BAC=90°，∴.∠ABD=∠BAC=45 ∴.AD=BD,∴.△ADF≌△BDG(ASA); (2)解：连接OE,四边形OBEH为菱形，∴OB=BE.又OE= OB,∴.△OBE是等边三角形，.∠EB0=60°.又，∠AEB=90°， .∠EAB=30°； (3)解：连接OD,OE,:点E是弧⑦上靠近点B的三等分点， :∠D0B=号∠D0B,由(1)知△ADB是等腰直角三角形， .∠D0B=90°，.∠D0E=60°，.∠DBE=30.DG=BD· am30叉AB=4Bm=22DG=2万×5-2g5 3 16.(1)如图①，作GH⊥AD于点H,AI⊥BE于点I,GE=3, mLA5R=子B1=2,6H=反设A=3x,则EI=2x, Al=5x,..GI=3-2x,BI=BG+GI=n+3-2x,..DH=DE+ EH=n+2.∠ADF=∠ABE,.RL△GHDR△MIB,.B DH G即+2。=是，解得x=+3 脚n+3-2x√5x1 n+4AE=3x=3n+9, n+4 D E H A ② 第16题图 (2)如图②，连接AA'交BE于点M,连接AG,作A'N⊥CG于点 N,:在矩形ABCD中，G是BE中点，G在CD的中垂线上， ∴.GC=GD,.LGCD=LGDC,∴.LBCG=LADG=LABE= 90°-∠CBG,.∠BCG+∠CBG=90°，∴.CG⊥BE,又由已知 可得AM'⊥BE,A'N⊥CG,四边形MA'NG为矩形，.GM= AN=子E,设ME=,则AG=BC=6B=x+子E,Ar- AG-Gn=AE-EM,即AM=(x+子万可-（子万= 1-,解得=要BG=GB=ME+GM=巨BE=22 又：LABB=∠BCG,△cCB△MBE,g器-e,即 BC=2,解得BC=4,AD=BC=4,DE=AD-AE=4- 221 1=3. 17,解：(1)对于抛物线y=了+子+4，令y=0得y=弓 ++4=0,解得x=-3或4令x=0得y=4A(-3,0), B(4,0),c0,4.=5时，y=-号E(5,-号）设直 r-3k+b=0, 线AD的解析式为y=x+b,则有 54+6-号，解得 3 光米光光光 [-方'：直线0的解析式为y=-子-： b=-1, (2)如图①中，设F(m,了m+了m+4则c(m, -号m-1）,FG=-号m+子m+5,FPc/CD,F阳/AC .,∠FHG=∠CAD,∠FGH=∠CDA,∴.∠FGH,∠FHG是定 值.当FG最大时，△FGH的周长最短.：FG=-3m+ 子m+5=-子(m-1)2+9:-号<0，m=1时，FG 2 有最大值，此时F(1,4),作点F关于y轴的对称点F',连接 AF,延长AF交y轴于点T,此时ITA-TFI最大.：A(-3, 0),F(-1,4),∴直线AF"的解析式为y=2x+6,.点T坐标 为(0,6)： (3)①如图②中，当∠MNP=90°，重叠部分是△MNP是直角三角 形：△ma080-是：N:-宁+号m+4, P=P=G=子N=(-+ 3m+4}:2FW+ PG=2(-+写m+子(-+m+ 4=-子+子m+5,整理得92-5-6=0,解得m=号 或-3合去)m子×（多）+号×是+40 ②如图③中，当PM⊥GF时，重叠部分是△MNK是直角三角 形.KM:FK:FM=3:4:5,PM=PG,∴.PK:PG=2:5 KPK=VI2,(号m+1(-分m+号m+4 √2I:4,.(m+3):(m+3)(-m+4)=√/2T:4, 解得m=4-或-3（舍去）…队28石- 6363 FN:NK-FM:MK-5:3..FN10 12663 综上所述，当△PMN与△FGH的重叠部分图形为直角三角 形，且PW:PG时，线段PN的长为号第支5-号 63 2 y CI M个 OMB K R B D队H D队H 图① 图② 图③ 全国重点高中提前招生 考试全真试卷（四） 1.B提示：因为x-(-1)1+|x-3|=4,所以-1≤x≤3.当 x=3时，y=2x-1的最大值是5；当x=-1时，y=2x-1的最 小值是-3.故最大值与最小值的和是2. 2.C提示：当k=0时，不符合题意；当k≠0时，二次函数y= x2+(k-6)x+2>0,即函数图象与x轴无交点，.△=(k- 6)2-4×2k<0,解得(k-2)(k-18)<0,即2<k<18. 3.A提示：因为0A+0B=二2>0，所以(OA+0B)2 0A·OB=m+3>0, 20A·0B=25,[-(2m-1)]2-2(m2+3)=25,解得m=-3, m2=5,经检验△>0且01+0B>0,得m=-3. 4.A提示：因为AB+BC=9,设AB=m,则BC=9-m.当点M 在BC上时，则AB=m,BM=x-m,MC=9-x,NC=y,,MN⊥ MM,则∠MB=LNMC,m∠MB=mLMc,即器-器即 光光光光光 9 亡化简得y=六9-9，当=名 b m m (9+m12 9+m时，y=-9+mL L=4,解得m=5,则AM=5,BC= 4 m 4,S知形8Cm=20,故选A. 5.A提示：连接OE,OF,ON,OG,则易证四边形AFOE,FBG0是 正方形，∴AF=BF=AE=BG=2,∴.DE=3,又DM是OO的 切线，，DN=DE=3,MN=MG,∴.CM=5-2-MN=3-MN.在 Rt△DMC中，DM=CD2+CM,∴.(3+NM)2=(3-NM)2+ ,M=亭0M=3+号号故选A 4 6.A 7.3提示：5x2+4y2-8xy+2x+4=4(x-y)2+(x+1)2+3,当 x-y=0且x+1=0时，取最小值.最小值为3. 8.-38提示：原方程化为2x2+4x+8+a=0,当x=2时，a=-24, 符合题意；当x=-2时，a=-8,符合题意；当2x2+4x+(8+a)= 0,△=16-8(8+a)=0时，a=-6,符合题意，即a=-24,或-8， 或-6均符合题意.总和为(-24)+(-8)+(-6)=-38. 9.2√3提示：延长CG交AB于点H,:BE和D分别是边AC,BC上 的中线，∴点G是△ABC的重心，∴AG=2GD=4,BG=2CE=6,CG= 2GH. AD⊥BE,∴.LAGB=90.∴AB=√AG+BG=√4+6=2 又：H是AB的中点GH=74B=V瓜CG=20H=2厄 10.45 1.提示：AB=√6+8=10，：D点为AB的中点，AD= 16 5:△ABC≌△FmE,易证△AMD~△MC,品-2，即 0各解得m=只5m=子·5·=空 4=8, 1 .75 SAHCD =2 SAADH=16 12.-2018提示：(a208)2-(c20i8+o18)·a208+(cd)208-2018 =0,(b218)2-(c208+do8)·620i8+（cd)2os-2018=0,所以 a2018,b2018可以看作是关于x的一元二次方程x2-(c201+ d1)·x+(cd)208-2018=0的两个不相等的实数根，所以 a2.628=(cd)2o18-2018.原式=-2018. 1 +1。 解：h山合+a1+26i+。14之1 a a a+3如+2a+之+3设Na+2+3(a a +3+2≥3+2（当a=2时，取等号）0<六≤ a 5=3-22,s=1-≥1-(3-2=2i-2放当a 3+2√2 反，6=受时，S取得最小值为2反-2 14.解：(1)过点A作AH⊥x轴于点H.在Rt△AOH中， 1 0A=25,anLA0H=2AH=2,0H=4,A(-4,2). :A(-4,2)在y=冬的图象上，k=-8B(m,-4)在 y=-至的图象上m=2,则{必解得{化之： 2k+b=-4, 反比例函数的解析式为y=一8，一次函数的解析式为 y=-x-2; (2)由y=-x-2,令x=0,则y=-2;令y=0,则x=-2, D0,-2),c(-2,0x5aw=5m+5w=子x2x (4+2)=6,若点E在y轴上，设E(0,y),则DE=1y-（-2)1. 光米光光光