专题01 等差数列的通项公式和性质的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第一册

专题01 等差数列的通项公式和性质的六种题型 题型一：判断、证明数列是等差数列 题型二：等差中项的求解和应用 题型三：求等差数列的通项公式 题型四：利用等差数列的性质计算 题型五：等差数列的单调性和项的最值 题型六：等差数列的实际应用 题型一：判断、证明数列是等差数列 1．已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 3．已知数列是无穷数列，则 “，”是“数列 为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列满足，那么（    ）是等差数列 A． B． C． D． 5．若数列，是等差数列，公差分别为，，则数列，是不是等差数列？如果是，公差是多少？ 6．已知数列满足：且，求证：为等差数列． 7．在数列中，，且．证明：是等差数列. 8．已知数列满足.求证：是等差数列，并求的通项公式； 9．已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 10．已知数列满足．证明：数列是等差数列； 题型二：等差中项的求解和应用 1．方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 2．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 3．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 4．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 5．若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（    ） A．24 B．20 C．18 D．15 8．已知的三个内角A，B，C成等差数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知三个数19，，31是等差数列，则 . 10．若是，的等差中项，则 . 11．与的等差中项是 ． 12．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 13．已知数列是等差数列，且，．设与的等差中项为，与的等差中项为，求． 题型三：求等差数列的通项公式 1．已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足：， ()，则数列的通项公式为(　　) A． B． C． D． 3．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ） A． B． C． D． 5．已知在等差数列中，且，则数列的通项公式 ． 6．在等差数列中，，，（），则 ． 7．已知数列满足，则 ． 8．记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 10．在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ；的最小值为 . 11．已知数列满足，则 . 12．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 13．对于数列，记，，称数列为数列的差分数列. (1)已知，证明：的差分数列为等差数列； (2)已知的差分数列为，，求的通项公式. 14．数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 15．设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 题型四：利用等差数列的性质计算 1．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 2．在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 3．等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 4．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 5．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 6．在等差数列中，已知，则 . 7．在等差数列中，，，则＝ 8．在等差数列中，，，且，为 . 9．在等差数列中，若，则 ． 10．设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 11．已知数列{}满足，，且. (1)若，求，，. (2)证明：数列为等差数列； (3)设数列的通项公式为.若数列{}为等差数列，求. 12．（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 13．在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 14．已知数列是等差数列，若，，且，求k的值． 题型五：等差数列的单调性和项的最值 1．已知无穷等差数列的公差为，则“”是“存在无限项满足”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 7．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 8．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 9．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ． ①；②单调递增． 10．已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 11．已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 题型六：等差数列的实际应用 1．通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 3．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 4．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 5．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张. 第一组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第二组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5； 第三组的卡牌左上角都标 3，右下角分别标上3，4，5、6. 将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回地抽取3张，其中满足左上角数字依次不减小，且右下角数字依次构成等差数列的不同的抽取方式有 种. 1 3 5 2 4 6 A A BC A A C B BC AB B C C AB C 1 2 3 A A ABC B BC 2 3 4 A A ABC B BC C C B B BC C C 3 4 5 A A BC B BC C C B B BC C C C C C 4 5 6 ABC C C AB B A A 5 4 3 B B BC C C C C C 4 3 2 A A AB B B 3 2 1 A A A 6．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 7．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 8．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为 升． 9．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）块，则中层有扇面形石板 块 10．已知三角形的三边长成等差数列，周长为，面积为，求三边的长． 11．如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．    28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差数列的通项公式和性质的六种题型 题型一：判断、证明数列是等差数列 题型二：等差中项的求解和应用 题型三：求等差数列的通项公式 题型四：利用等差数列的性质计算 题型五：等差数列的单调性和项的最值 题型六：等差数列的实际应用 题型一：判断、证明数列是等差数列 1．已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由已知可得数列是公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式即可求得. 【详解】因为，所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 故选：D. 2．已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 3．已知数列是无穷数列，则 “，”是“数列 为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 由的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数， 所以数列为等差数列，故充分性成立； 若数列为等差数列，则 ， 即，，故必要性成立； 所以“，”是“数列为等差数列”的充要条件. 故选：C 4．已知数列满足，那么（    ）是等差数列 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件进行转化，从而求得正确答案. 【详解】由得， ∴，， 故，即有， 故数列是等差数列. 故选：D 5．若数列，是等差数列，公差分别为，，则数列，是不是等差数列？如果是，公差是多少？ 【答案】是等差数列，公差为；是等差数列，公差为 【分析】根据等差数列的定义进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由， 即是公差为的等差数列； 由 ， 即是公差为的等差数列. 6．已知数列满足：且，求证：为等差数列． 【答案】 【解析】略 7．在数列中，，且．证明：是等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】根据等差数列的定义求解即可. 【详解】因为在数列中，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列． 8．已知数列满足.求证：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 【分析】将两边取倒数，得到，结合等差数列的定义即可证明，再求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则. 9．已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据递推关系可求，； （2）将题设的递推关系整理为后可证明是等差数列，从而可求的通项公式. 【详解】（1）依题意，，， 所以，， 所以，. （2）依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 10．已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】令，然后根据已知条件结合等差数列的定义证明即可. 【详解】证明：令，又，则有 ， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 题型二：等差中项的求解和应用 1．方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理求出方程的两根，再根据等差中项的定义即可得解. 【详解】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 2．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 3．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 4．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】A 【分析】根据等差数列性质计算即可. 【详解】在等差数列中，因为， 所以， 所以. 故选：A 5．若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】因为、、成等差数列，则. 故选：A. 6．已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求解可得，然后根据等差中项的性质，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 设a，b的等差中项为， 根据等差中项的定义，有. 故选：B. 7．已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（    ） A．24 B．20 C．18 D．15 【答案】B 【分析】先根据等差数列通项公式得出，再根据数列也是等差数列列式计算得出，进而求解. 【详解】数列是公差不为0的等差数列，设公差为， 因，则， 因为数列也是等差数列， 则，即， 化简得，则， 故. 故选：B. 8．已知的三个内角A，B，C成等差数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由A，B，C成等差数列得到，再利用求解； 【详解】解：因为A，B，C成等差数列， 所以．又， 解得， 所以， 故选：C． 9．已知三个数19，，31是等差数列，则 . 【答案】5 【分析】由已知结合等差中项公式即可求解. 【详解】因为三个数19，，31成等差数列， 所以 . 故答案为：5 10．若是，的等差中项，则 . 【答案】 【分析】根据等差中项的性质得到方程，解得即可. 【详解】解：因为是，的等差中项， 所以，所以. 故答案为： 11．与的等差中项是 ． 【答案】/ 【分析】根据等差中项的性质求解即可. 【详解】解：设与的等差中项是， 则 故答案为： 12．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 13．已知数列是等差数列，且，．设与的等差中项为，与的等差中项为，求． 【答案】 【分析】根据等差中项的性质求出，即可. 【详解】因为，，且与的等差中项为， 所以， 又与的等差中项为，所以， 所以. 题型三：求等差数列的通项公式 1．已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项解得，可得等差数列的首项为，公差为2，进而可得通项公式. 【详解】因为，，为等差数列， 则，解得， 可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2， 所以此数列的通项为. 故选：B. 2．已知数列满足：， ()，则数列的通项公式为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得数列为等差数列，进而即得. 【详解】∵， 所以，又， ∴是以为首项，1为公差的等差数列， ∴， 所以. 故选：A. 3．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把变形得到，再由等差数列的定义即可求出通项公式. 【详解】由得， 令，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 所以. 故选：B 4．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式. 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以通项公式为. 故选：B 5．已知在等差数列中，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】利用等差数列基本量的计算求得公差，可求通项公式. 【详解】设等差数列公差为，由题意：， 又，所以，则； 故等差数列的通项公式为. 故答案为：. 6．在等差数列中，，，（），则 ． 【答案】0 【分析】利用等差数列定义求出公差，代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 即，解得； 所以. 故答案为：0 7．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】变形给定的递推公式，利用构造法求出通项. 【详解】由，得，即， 因此数列是首项为，公差为1的等差数列，， 所以. 故答案为： 8．记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】变形得到，从而是等差数列，利用等差数列通项公式得到，从而得到答案. 【详解】由 ， 得，故数列是等差数列． 所以，所以． 故答案为： 10．在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的首项和公差即得其通项；继而由题设可得，利用累加法求出，最后根据二次函数的单调性即得的最小值. 【详解】由条件得，故， 即，可得， 可得 ， 故，为开口向上的二次函数，对称轴， 又因为为正整数，故的最小值为. 故答案为： 11．已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解. 【详解】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 12．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 13．对于数列，记，，称数列为数列的差分数列. (1)已知，证明：的差分数列为等差数列； (2)已知的差分数列为，，求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义证明. （2）利用裂项法，结合累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以. 所以是等差数列. （2）由， 得. 又因为， 所以当时， ， 当时，也满足上式， 所以. 14．数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可得证； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得解. 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 15．设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，两式相减可得 ，两式平方可得结论； （2）利用等差数列的通项公式结合（1）得：，配方求解可得，判断，可得结论. 【详解】（1）当时，，整理，又，所以. ，，， ，. ，数列为等差数列，首项为2，公差为4. （2）由（1）得：，，，. 由求根公式可知，. 题型四：利用等差数列的性质计算 1．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 2．在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质得，解得， 又因为，，解得. 故选：D. 3．等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【分析】根据等差中项即可求解. 【详解】由等差中项可得 又，故公差为， 故选：A 4．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 5．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 【答案】C 【分析】设数列，的公差分别为，根据等差数列的通项公式列式求解即可. 【详解】因为数列，是项数相同的等差数列，设公差分别为， 则， 所以数列是公差为的等差数列， 又，，，所以， 所以数列是常数列， 所以数列的第100项， 故选：C 6．在等差数列中，已知，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 7．在等差数列中，，，则＝ 【答案】78 【分析】利用等差数列的等和性可得可计算. 【详解】在等差数列中，， 则. 故答案为：. 8．在等差数列中，，，且，为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质得到公差，然后求. 【详解】设等差数列公差为，则，所以， . 故答案为：. 9．在等差数列中，若，则 ． 【答案】60 【分析】结合等差数列的性质可求，从而可求代数式的值. 【详解】∵在等差数列中，，∴，解得， ． 故答案为：60 10．设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值. 【详解】因为为等差数列，所以， 所以，，， 因为，所以， 整理得：，即， 因为，所以，根据等差数列的性质，有： ， ， 所以. 故答案为： 11．已知数列{}满足，，且. (1)若，求，，. (2)证明：数列为等差数列； (3)设数列的通项公式为.若数列{}为等差数列，求. 【答案】(1). (2)证明见解析. (3). 【分析】（1）由，并结合，，求，同理可求； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件，证明，结合等差数列定义证明结论； （3）由（2）知，数列是公差为等差数列，得 ，又因为，即.由数列为等差数列，则，再使用余弦的和差化积公式即可求解. 【详解】（1）依题意，当时，则， 又，故，所以. 又，所以符合题意. 同理，， 又，得或， 又，所以符合题意. 由， 因为，得， 又，所以符合题意. （2）因为，所以，或（不合题设，舍）， 所以或， 即或， 因为， 所以， ， 所以， 所以或或， 又， 所以， 则， 所以， 所以数列是公差为的等差数列. （3）由（2）知，数列是公差为的等差数列. 所以， 又因为， 所以. 又因为数列为等差数列， 所以， 所以， 即， 又因为， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，由条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 12．（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 【答案】（1）恒成立；（2）数列一定是等差数列 【分析】根据等差数列的定义验证（1）（2）结论即可. 【详解】（1）因为数列为等差数列，故当时，，所以，则恒成立； （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，则，所以 故数列一定是等差数列. 13．在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 【答案】(1)9 (2)16 【分析】根据等差数列的性质：若，则求解. 【详解】（1）在等差数列中, ∴， ∴， ∴ . （2）∵， ∴. ∴. 14．已知数列是等差数列，若，，且，求k的值． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，可得， 所以，则，即，解得． 题型五：等差数列的单调性和项的最值 1．已知无穷等差数列的公差为，则“”是“存在无限项满足”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的单调性，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由等差数列的公差为，则数列为递增数列， 所以存在无限项满足成立，即充分性成立； 反之：由等差数列的公差为，在数列为单调数列， 若存在无限项满足成立，则数列为递增数列，则，即必要性成立， 所以“”是“存在无限项满足”充要条件. 故选：C. 2．已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性. 【详解】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B 3．在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定 【详解】若，则，，所以，是递增数列； 若是递增数列，则，，推不出， 则“”是“是递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 4．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 5．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性判断公差范围，根据已知求的关系，用通项表示出即可求解. 【详解】∵等差数列单调递增，∴， ∵，即，即， ∴． 故选：B 6．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 7．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 8．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 9．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ． ①；②单调递增． 【答案】（符合此种形式即可） 【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案. 【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得： ， 即， 再根据②可知，公差，显然（）满足题意. 故答案为：（符合此种形式即可） 10．已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析，； (2)，最大项为，最小项为. 【分析】（1）通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式； （2）利用的通项公式求出数列的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值；或利用函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，又， 所以， ∴数列是以1为公差的等差数列； 又∵，， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴，； （2）∵， 所以， ∴作函数的大致图象，    ∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为； 另解：因为， 当时，数列是递减数列，且，， 当时，数列是递减数列，且， 所以在数列中，最大项为，最小项为. 11．已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1)证明见解析 (2)；最小项为. 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 题型六：等差数列的实际应用 1．通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 3．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D 4．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 5．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张. 第一组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第二组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5； 第三组的卡牌左上角都标 3，右下角分别标上3，4，5、6. 将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回地抽取3张，其中满足左上角数字依次不减小，且右下角数字依次构成等差数列的不同的抽取方式有 种. 【答案】50 【分析】根据题意，通过对公差所有可能2，，0，1，进行讨论，使用列举法，即可求解. 【详解】为方便讨论，将左上角的1，2，3改记为A，B，C，对公差讨论 当时，共10种： 1 3 5 2 4 6 A A BC A A C B BC AB B C C AB C 当时，不可能； 当时，共2种：3，3，3和4，4，4； 当时，共29种，分别如下： 1 2 3 A A ABC B BC 此时有5种； 2 3 4 A A ABC B BC C C B B BC C C 此时有9种； 3 4 5 A A BC B BC C C B B BC C C C C C 此时有9种； 4 5 6 ABC C C AB B A A 此时有6种 当时 6，5，4 是1种 5 4 3 B B BC C C C C C 此时为4种； 4 3 2 A A AB B B 此时有3种； 3 2 1 A A A 此时有1种，总计有50种 故答案为：50. 6．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【答案】65 【分析】探索，，，，的关系，确定的值. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以 ，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： 7．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 8．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为 升． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用等差数列中项性质即可求解. 【详解】由题意竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 且只有，，，，，，共项， 因为，， 所以，又因为，解得. 故答案为：. 9．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）块，则中层有扇面形石板 块 【答案】 【分析】设上、中、下三层的石板块数分别为、、，由题意可知、、成等差数列，利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】设上、中、下三层的石板块数分别为、、，由题意结合等差数列片段和的性质可知、、成等差数列， 所以，，解得. 故答案为：. 10．已知三角形的三边长成等差数列，周长为，面积为，求三边的长． 【答案】，， 【分析】根据等差数列将三角形三边长设为，，，由三角形周长列式计算出，再由三角形面积计算出边上的高，然后利用勾股定理列方程，化简计算得，从而得三角形三边长. 【详解】由题意，设三角形三边长分别为，，， 所以，解得， 又因为该三角形面积为，如图，设边上的高为 所以，得，由勾股定理得 ， 平方并化简得， 从而得，解得， 所以三角形三边长为，，. 11．如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．    【答案】． 【分析】解法一：设公差为d，根据题意求得，进而求得的值； 解法二：由等差数列为，结合等差中项公式，即可求解. 【详解】解法一：由题意，可得． 设公差为d，则，解得． 因此， ， ． 因此，其余三级的宽度分别为． 解法二：因为等差数列为，共5项． 又因为，所以，即． 类似地，， 所以． 因此，其余三级的宽度分别为． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $