专题02 等差数列的前n项和的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第一册

专题02 等差数列的前n项和的六种题型 题型一：等差数列前n项和的基本计算 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 题型三：由前n项和表达式求数列通项公式 题型四：等差数列前n项和的性质 题型五：等差数列前n项和的单调性及最值问题 题型六：等差数列及求和的应用 题型一：等差数列前n项和的基本计算 1．记等差数列的前项和为，则（　　） A．130 B．135 C．145 D．150 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得：，再由等差数列的前项和得：， 故选：C. 2．设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求出，再结合等差数列的前项和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，， 解得， 则数列的前9项和为. 故选：C 3．等差数列前项和为，且，则（    ） A． B． C．52 D．104 【答案】C 【分析】通过通项公式将条件转化为关于首项和公差的等式，化简得到中间项的值，再利用等差数列前项和的性质计算. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， ，，，即. 等差数列前项和，而， 故. 故选：C 4．已知等差数列中，，则前项和的值为（  ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【分析】由等差数列求和公式和下标和性质即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 5．设为等差数列的前项和若，，则 【答案】63 【分析】根据题意和等差数列的前项和公式列出方程组，即可求出首项和公差，再求出． 【详解】解：设数列首项，公差， 由题意得，即， 解得， ． 故答案为：． 6．已知等差数列首项为，公差，则其前6项和 ． 【答案】36 【分析】根据条件及通项公式，可求得，代入求和公式，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 故答案为：36 7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】2025 【分析】设数列的公差为，利用等差数列的定义与求和公式推出数列为等差数列，根据题设条件求得，写出其通项公式，代值计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 由，得数列为等差数列，首项为，公差为， 由，则， 因此，所以. 故答案为：2025 8．等差数列中，前项和为，若，，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件求出，再由等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，， 得到，解得，所以， 故答案为：. 9．已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式求出，再解一元二次不等式，结合为正整数，即可得解. 【详解】（1）由可知，，， 联立两式，解得，故， 因此数列的通项公式为； （2）因为， 故即， 解得，故， 即满足条件的的值构成的集合为. 10．已知数列满足． (1)若为等差数列，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为等差数列，所以，又，则，即，解得． （2）①当为偶数时， ； ②当为奇数时， ． 注：本题第（2）问也可以利用隔项型递推公式求出通项再求和． 11．等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，即可求出，的值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入等差数列的求和公式，即可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，解得， 所以. （2）由（1）得，所以前n项和. 12．已知函数，将函数先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． (1)求的值域； (2)求的单调增区间； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）化简的表达式即可求得值域； （2）根据函数变换的概念求得的表达式后即可求解单调增区间； （3）根据n的奇偶性，求得的通项公式，再对分奇偶加起来即可． 【详解】（1） ， 的值域为． （2），时满足，其中， 解得，最小零点为时，， 依题意有， ，， 单调递增区间满足，， 单调递增区间为，． （3）由（2）可知满足，依据三角函数特性可知，一个周期内有两个零点，所以最小的两点零点为、，周期， 也即的奇数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列，的偶数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列， 也即，所以， ． 13．设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先将用公式求出的值，将整理得到，从而得到的值，再求出公差，利用代入和求出； （2）先由求出和，再按照和（）分情况讨论求出即可. 【详解】（1），，，，，，，，，，，，，，. （2），，， 当且时，， 当且时，， 当且时， ； 当且时， ， . 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 1．已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 2．单调递增的等差数列满足 ，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质以及绝对值的几何意义，分析，，的特点，进而确定公差的最小值以及的值. 【详解】设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，， 因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 3．已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【分析】利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可. 【详解】设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以. 故选：D. 4．在等差数列中，，设，则 . 【答案】 【分析】首先求出等差数列的通项公式，判断出正负项，进而化简求值. 【详解】因为在等差数列中，，所以公差， 所以. 由一次函数的性质可知当时，；当时，， 设等差数列的前项和为，则. 所以 . 故答案为：. 5．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 【答案】 【分析】先由解得，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由，即时，，时，， 所以 ． 故答案为：755. 6．设数列的通项为，则 ． 【答案】89 【分析】结合数列项的正负特点化简数列，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】由可知当时，，当时，． 则 ． 故答案为：89 7．在数列 中，已知 ，则 . 【答案】 【分析】首先求等差数列的通项公式，再去绝对值，根据求和公式，即可求解. 【详解】由，得， 所以数列是公差为4的等差数列，且， 所以，， 当时，，时，， 所以 . 故答案为： 8．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则 . 【答案】52 【分析】先确定的正负，再分和求出的表达式，代入计算即可； 【详解】令， 所以当时，，当时，， 所以，当时，； 当时， ， 所以， 故答案为：52. 9．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 10．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 11．记为等差数列的前项和，已知． (1)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值 (2)设，求. 【答案】(1)，的最大值为30，取得最大值时n为5或6 (2)120 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的通项公式，求和公式，联立可得和值，代入公式，可得，根据二次函数的性质，分析即可得答案. （2）由（1）得，，分析可得当时，，当时，，去掉绝对值，根据前n项和的定义，整理变形，结合求和公式，即可得答案. 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d，所以， 解得，所以， 则，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为，所以当或6时，有最大值，且最大值为30. （2）由（1）得，， 当时，，当时，， 所以 12．已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）根据等差数列求和公式可得，再根据的符号分析的最值； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 13．已知数列满足，设数列的前项和为， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前100项和； (3)求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）构造数列，知其前项和求通项，进而再求出； （2）根据题意，两项并一项，并项为常数列求和； （3）分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】（1）由 ， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）数列的前项和 . （3）由（1）可知 ， 则前项和为. 题型三：由前n项和表达式求数列通项公式 1．已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 2．已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与关系可化简已知等式证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可求得结果. 【详解】由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，. 故选：C. 3．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式及性质求出和，再将转化为，即可求解. 【详解】设数列的公差为， 数列是等差数列，， 解得，即，① ，，解得， 代入①中得，， ，，即， ，即，解得. 故选：A. 4．已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 【答案】C 【分析】由及已知，即可求. 【详解】由. 故选：C 5．数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（     ） A．是递减数列 B．数列的前 2025 项和为 2017 C． D．设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 【答案】D 【分析】根据作差求出的通项公式，即可判断A、C；再由并项求和法判断B；列出的前几项，再分析其余项的特征，即可判断D. 【详解】因为，当时， 当时， 所以， 经检验当时也成立，所以， 因为，所以， 所以是递减数列，故A正确； 因为， 记的前项和为， 则 ，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，， 又，所以，，，，， 当时，，，，所以， 所以当或时数列的前项和取最大值，故D错误. 故选：D 6．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 【详解】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 7．已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 8．已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为 ． 【答案】7 【分析】先由与的关系推导出数列为等差数列，再代入等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程组求解k即可. 【详解】 ， 即， 又成等差数列， 即， 故数列是公差为1的等差数列， 则，解得，． 故答案为：7. 9．记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】根据数列前n项和与通项公式的关系，求出数列通项公式，求出结果. 【详解】由可知，当时，， 当时，，符合通项公式，所以， 同理可得，所以． 故答案为：. 10．已知数列的前项和公式为，则的通项公式 . 【答案】 【分析】根据求解即可. 【详解】当时，； 当时，，符合. 所以. 故答案为： 11．已知数列的前项和为满足.则 ；设，求数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用“当时，”变形构造数列求；求出，利用等差数列前项和求. 【详解】当时，，当时，由有：， 所以， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. 即； ，所以数列为等差数列， 故答案为：； 12．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）由题意得：； 当时，，又，； 当且时，， 整理可得：， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列，. （2）由（1）得：， . 13．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，记，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系，即可证明是等差数列 （2）利用错位相减法求得，可以证明 【详解】（1））当时，，得， 当时，， 又，两式相减得，， 整理得， ∵，∴， ∴数列是首项为1，公差为的等差数列. （2）由（Ⅰ）可知，数列的通项公式为， 故， ∴①，②， ①－②得，， 故， ∴. 【点睛】. 14．已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）由与的关系式可得答案； （2）配方，结合二次函数最值可得答案. 【详解】（1）由 ，得 当 时，； 当 时，， 又 时，，符合上式， 故数列 的通项公式为 （）. （2）， 由于 为正整数，且 ，， 故 . 15．记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时， 而时，满足，. （2）因为， 所以 因为，所以，. 16．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式代入计算求解； （2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式； （3）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和为 17．已知数列的前n项和为，，． (1)求证：； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意得，，，两式作差即得答案； （2）对化简，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，① 所以，② ②－①得，③ 所以，④ ③－④得， 所以． （2）由（1）得数列是等差数列，在，取，得， 又，所以的公差， 所以， 所以， 所以 题型四：等差数列前n项和的性质 1．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论． 【详解】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， ，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B. 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列部分和的性质有为等差数列，结合等差中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题意为等差数列，则， 所以，则. 故选：C 5．记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据等差数列通项的基本量以及前项和的计算即可求解. 【详解】设数列的公差为d，因为，所以， 所以. 故选：B. 6．已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，以及前项和的性质，结合已知条件，计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 即，所以，所以. 故选：D 7．数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的特征设，，可得，,进而可得. 【详解】设数列，的前项和分别为，， 则，，故， 根据等差数列前项和的特征，不妨设，， ，, 故， 故选：D 8．在公差不为零的等差数列中，，则 ． 【答案】16 【分析】根据等差数列前项和的性质及下标和性质求解. 【详解】因为，所以， 所以，得. 故答案为：16. 9．若两个等差数列的前项和分别为，满足，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】因为数列均为等差数列， 所以. 故答案为： 10．数列的前项和为，且满足，，则可能的不同取值的个数为 ． 【答案】46 【分析】根据题意，得到，其中，得到，且奇偶交错出现，若为奇数，得到可取遍中的每一个奇数；若为偶数， 可取遍中的每一个偶数，再由，推得，进而得到当时，能取遍中的奇数，即可得到答案. 【详解】由数列的前项和为，且满足，， 可得，其中， 故，且奇偶交错出现， 若为奇数，由，可得对可取遍中的每一个奇数； 若为偶数，由，可得对可取遍中的每一个偶数， 又由， 当时，，考虑由调整为， 则对应的可增加，对诸（至少一个）调整为3后， 满足， 即， 从上述的调整过程可得能取遍中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性）， 当时，能取遍中的奇数，合计46个． 故答案为：46． 11．已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】由等差数列前项和的性质以及基本量的运算转化，再用表示，借助于两者之间的关系计算结果. 【详解】解：由数列前项和的性质可知：，即， 则. 故答案为： 12．已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】/ 【分析】设，其中，则，可得出，，即可得出的值. 【详解】因为是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若， 可设，其中，则， 所以， ， 故. 故答案为：. 13．在一个等差数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前和的片断和性质列式求解. 【详解】由等差数列前和的性质知，成等差数列， 即，，所以. 故答案为： 14．已知等差数列的前项和，，，则 ． 【答案】24 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：24. 15．已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设（为常数），则有，设， 可得，再根据对应项系数相等即可得证； （2）利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）证明：因为等差数列的通项公式是关于的一次式，前项和为关于的缺少常数项的二次式， 所以若数列是等差数列，则设（为常数）， 即， 设， 即，所以， 解得， 所以， 故“”是“若数列是等差数列，则也是等差数列”的充分条件． （2）解：若， 则， 所以 ． 16．已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1) (2) (3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【详解】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则 ，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． 17．已知等差数列的前n项和是，，． (1)求数列的通项公式； (2)若成立，求正整数m，k的值． 【答案】(1) (2)，或，． 【分析】（1）设出公差建立方程组，解出即可得通项公式； （2）由（1）的通项公式化简可得，根据，所以，对分类讨论，即可得出结果. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意有， 解得，，所以， 故数列的通项公式为； （2）由 ， 有，可得， 因为，所以， 因为，所以或或， ①当时，可得，满足题意； ②当时，可得，由m为正整数，不合题意,舍； ③当时，可得，满足题意， 综上：，或，． 题型五：等差数列前n项和的单调性及最值问题 1．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，项的正负得出结论． 【详解】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以该数列单调递减，且, 所以当时，取得最大值． 故选：A． 2．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 3．已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴ ， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 4．已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】设出公差，结合等差数列求和公式计算可得，再用与表示出后，结合二次函数性质即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 化简得，即， 则 ， 由，则当时，取最大值. 故选：B. 5．已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 6．设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解． 【详解】由，得，又，所以， 等差数列的公差， 即是递减数列，由，得， 所以时，， 由，得， 所以当时，的最小值为30. 故选：C. 7．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意判断出，从而判断出数列的前11项为负，从第12项开始为正，由此可判断出答案. 【详解】因为是等差数列，，所以， 因为，所以，所以公差， 即为递增数列； 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：C. 8．对于数列，定义为数列的 “优值”.已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用递推关系可得，利用等差数列的求和公式可得数列的前项和为，根据对任意的恒成立，对分类讨论利用数列的单调性得出结果即可． 【详解】由，， 当时，，时，由， 得， ，， 而满足，故对任意的，. 数列的前项和为 ， 对任意的恒成立，， 则，化简整理得， 即，则， 得到， 左右两侧同除化为， 当时，，， 当时恒成立，当时，，， 综上可得实数的取值范围为，故A正确． 故选：A． 9．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则的不可能取值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，利用作差法求出的通项公式，即可得到为等差数列，依题意可得，，即可求出的取值范围. 【详解】由题意，，则， 当时，， 两式相减得：，所以，， 当时，上式对也成立， 故，则，所以数列为等差数列， 故对任意的恒成立可化为，； 即，解得，结合四个选项，BCD符合的取值， 故选：A． 10．已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于（   ） A．1 B．20 C．10 D．19 【答案】D 【分析】根据已知条件，判断出的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得. 【详解】因为数列是等差数列， 则，即， 又因为，且数列的前n项和有最大值，则， 可得，， 故取得最小正值时n等于. 故选：D. 11．已知数列的通项公式为，前项和为，则的最大值为 ． 【答案】35 【分析】首先根据通项公式判断为等差数列，再利用的公式求得为二次函数的性质，结合，即可求得的最大值. 【详解】因为数列的通项公式为，所以为等差数列，且； 所以，根据二次函数的性质可得，当时，取得最大值，又因为，所以当时，取得最大值； 12．已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先明确数列的通项公式，再明确数列的前5项为负数，可得最小，再利用等差数列的求和公式求值. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以. 由即 . 又，所以当时，. 所以最小，且. 故答案为： 13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 【答案】9 【分析】根据等差数列的性质推出，，即可得解. 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 14．数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则最小值为 . 【答案】 【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， 由，，可得， 解得，， ， 因，故当或时，的最小值为 故答案为： 15．已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据的取值正负判断出的最大值，再根据等差数列的前项和公式求得结果. 【详解】因为，当 时，，当 时，， 所以的最大值为， 故答案为：. 16．若数列满足 ，，，设数列的前项和为，则当取最大值时， . 【答案】5或6 【分析】利用等差中项可得数列为等差数列，进而求出公差、、，结合的函数特性可得或的正负性也可行. 【详解】因为 ，所以数列为等差数列，设公差为d 因，，则公差， 法一：所以， 因函数的对称轴为， 所以当取最大值时，或6 法二：， 则时，；时，；时， 所以当取最大值时，或6. 故答案为：5或6 17．已知数列中，，，则数列的前项和的最大值等于 . 【答案】 【分析】分析可知，数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出该数列的前项和，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】当时，，且， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 则数列的前项和为， 因，故当或时，取得最大值. 故答案为：. 18．已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ． 【答案】 16 【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以，， 当时，的最大值为, 故答案为：，16. 19．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差后，借助等差数列求和公式与基本量计算即可得； （2）借助等差数列求和公式与作差法计算即可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； （2）， 则，又，故使成立的的最大值为. 20．设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 21．设等差数列的前项和为，已知． (1)若，求的通项公式； (2)若对于任意，都有，求公差的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质计算可得，可求通项公式； （2）依题意可得，，再由得出不等式可求得公差的取值范围． 【详解】（1）易知，所以． 因为，所以公差． 得． （2）因为对任意，都有， 所以，，得，． 由（1）知，所以，， 解得； 即公差的取值范围为. 22．已知数列的前n项和为，点在直线上，． (1)求数列的前n项和以及数列的通项公式； (2)若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入直线得出，由与的关系求解通项公式即可； （2）由得出，则当，2，3时，，当时，，即可求解的最小值． 【详解】（1）由题意知，则， 当时，， 当时，， 因为符合， 所以． （2），令， 所以当，2，3时，，当时，， 故． 23．设是等差数列的前n项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项的和； (3)是否存在，使得?若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程解出，再写出通项公式； （2）由（1）得，利用裂项相消法可求； （3）先求数列的前项和求出使成立的的所有取值，再按和两种情况分析的符号，结合的单调性即求出的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为 由，得，解得. . （2）由（1）得，， . （3）由（1）得， 由 得 ， ∵当时， 当时，；当时， ∴当或或或时，有最大值. 因为当时，， 而随增大而增大；随增大而减小. 所以的最大值为. 题型六：等差数列及求和的应用 1．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式列式，再利用单调性确定答案. 【详解】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和， 则，显然数列是递增数列， ，由，得， 所以该会场的座位至少有21排. 故选：B 2．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 3．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C 4．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 5．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【答案】D 【分析】根据给定条件，列式求出等差数列的公差，进而求出目标值. 【详解】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D 6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 .    【答案】 【分析】设第层有和球，根据题意求出和，再根据和可得答案. 【详解】设第层有和球，则，，，，， 所以当时， ， 当时，也适合上式， 故， 所以这层三角垛的球数之和为 ， 因为 ，所以单调递增， 当时，，剩余球数为个， 当时，， 所以剩余球数的最小值为个. 故答案为：. 7．中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    【答案】 63 405 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】由题可知从第1圈到第9圈的石板数形成等差数列，且首项，公差， 则第7圈的石板数为，前9圈的石板总数为． 故答案为：63；405． 8． 2024年11月17日，我国自主设计建造的大洋科考钻探船“梦想”号在广州正式入列，标志着我国深海探测关键技术装备取得重大突破．假设在“梦想”号的某次试钻中钻探深度需达11000米，钻探进度如下：第1天钻探深度为600米，受海底地质条件的影响，之后每天的钻探深度较前一天都有所减少，且每5天的日钻探深度的减少量增加4米．具体为：第天每天钻探深度比前一天减少5米，第天每天钻探深度比前一天减少9米，，依次类推，则要完成钻探任务至少需要的天数为 ． 【答案】23 【分析】解法一：设每天的钻探深度构成数列的前项和为，第至天为第个阶段，第个阶段的钻探深度和为，将原问题转化为“分段等差数列”求和的问题，故只要找到每段等差数列的中项，分析“相邻中项”的递推关系即可；解法二：根据题意列表直接计算即可. 【详解】解法一：设每天的钻探深度构成数列的前项和为，第至天为第个阶段，第个阶段的钻探深度和为， 则，第个阶段每天钻探深度比前一天减少的量为， 由题意知是公差为的等差数列， 所以，即只要找到每段等差数列的中项即可， 因为当时，第段中项到第段中项相差， 当时，， 当时，，， 当时，，，， 同理可得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 因为，， 所以，， 所以要完成任务，至少需要钻探23天． 解法二：设每天的钻探深度构成数列，每5项为一个阶段，第个阶段的钻探深度和为，列表如下． ， ，，所以要完成钻探任务，至少需要23天， 故答案为：23 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 【答案】 【分析】设从上到下各节的容积依次构成等差数列的公差为则,用首项和公差表示上两式，求出首项和公差，再利用通项公式即可求出. 【详解】设从上到下各节的容积依次构成等差数列，公差为， 则由题, 故, 解得:, 所以, 故答案为: . 10．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日． 【答案】 25 8或13 【分析】对于①，连续打卡5天的积分：直接使用等差数列求和公式计算；对于②，未打卡日期的确定：假设他连续打卡天，第天中断了，通过求和公式计算确定或12即得. 【详解】对于空①，连续打卡5天的总积分 连续打卡的积分规律为：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此类推. 这实际上是一个首项为1、公差为2的等差数列. 前5天的总积分为： 对于空②，确定未打卡的日期 若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列， 且首项为1，公差为2，第天所得积分为． 假设他连续打卡天，第天中断了，则他所得积分之和为： ，化简得， 解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日． 故答案为：25；8或13 11．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则 .    【答案】2 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式计算求解即可. 【详解】设向外每层雕孔依次增加固定的数量为，所以每层雕孔数为等差数列， 所以由6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，得出，所以， 所以，所以，因为6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，所以或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 故答案为：2. 12．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. (1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； (2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 【答案】(1) (2)这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大 【分析】（1）由题意可知，每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，所以可以设出纯收益和使用年数n的关系式； （2）根据年平均收益函数表达式，借助基本不等式即可求出最大值. 【详解】（1）由题意知：每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以， （2）年平均收入为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大. 13．请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合诗中文字有对称性和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】根据题意，结合诗中文字有对称性和等差数列的求和公式， 可得： （个）. 14．2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元． (1)问创新公司第几年开始获利？ (2)经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？ 【答案】(1)3； (2)7年，120万元. 【分析】（1）根据给定信息，构造等差数列，利用等差数列前项和公式求出利润关于关系式，再列出不等式求解即得. （2）由（1）求出年平均利润的关系式，再求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，每年的创新费用构成以120万元为首项，40万元为公差的等差数列， 前年的利润， 由，得，解得，而，则， 所以创新公司第3年开始获利. （2）由（1）知，经过年创新公司获得的年平均利润为： ，当且仅当，即时取等号， 所以经过7年创新公司获得的年平均利润最大，最大年平均利润是120万元. 15．已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【答案】(1)31.5 (2)今年起第27个季度 【分析】（1）前20季度营业额构成首项为1.1，公差为0.05的等差数列，则总和为，计算即可. （2）因为第n季度的营业额为：，第n季度的利润为：，解不等式即可. 【详解】（1）依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列， 前20季度营业额之和为：（亿）. （2）设2024年起第n季度（）满足条件，依题意， 第n季度的营业额为：， 第n季度的利润为：， 依题意：，解得：. 即今年起第27个季度的利润首次超过该季度营业额的18%. 16．用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱？ (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？ 【答案】(1)527.5元； (2)12025元. 【分析】（1）根据给定条件，构建数列，计算前3项，得出规律并计算第10项即可. （2）利用（1）的信息求出数列的通项，再求出项数及总和即得. 【详解】（1）设每月付款依次构成数列，， 则，， ，…， 显然，， 故第10个月应交付527.5元． （2）由（1）可得， 则为等差数列，且，数列前20项的和为， 所以， 所以买家用电器实际花了12025元． 17．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm（如图）．已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？    【答案】100m． 【分析】根据给定条件，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前n项和公式求总和. 【详解】卫生纸的厚度为0.1mm，由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95， 因此各圈的周长分别为，，…，， 显然各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列， 设圈数为n，则，解得， 于是各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为400的等差数列， 根据等差数列的求和公式，得，， 所以满盘时卫生纸的长度约为100m. 18．某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30000平方米的宿舍楼（每层的建筑面积相同）．已知土地的征用费为2250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1．5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米．试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出其最少费用．（总费用为建筑费用和征地费用之和）． 【答案】当这幢宿舍楼楼层数为15时，总费用最少为2505万元． 【分析】设楼高为层，求出征地面积、征地费用、各楼层建筑费用，从而可得总费用，再利用基本不等式，即可求得最小总费用． 【详解】设楼高为n层，总费用为y万元， 则征地面积为（平方米），征地费用为万元， 各楼层建筑费用和为万元， 总费用为 （万元）， 当且仅当，即时，上式取等号， ∴当这幢宿舍楼楼层数为15时，总费用最少为2505万元． 42 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列的前n项和的六种题型 题型一：等差数列前n项和的基本计算 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 题型三：由前n项和表达式求数列通项公式 题型四：等差数列前n项和的性质 题型五：等差数列前n项和的单调性及最值问题 题型六：等差数列及求和的应用 题型一：等差数列前n项和的基本计算 1．记等差数列的前项和为，则（　　） A．130 B．135 C．145 D．150 2．设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 3．等差数列前项和为，且，则（    ） A． B． C．52 D．104 4．已知等差数列中，，则前项和的值为（  ） A．40 B．30 C．20 D．10 5．设为等差数列的前项和若，，则 6．已知等差数列首项为，公差，则其前6项和 ． 7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 8．等差数列中，前项和为，若，，则 . 9．已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 10．已知数列满足． (1)若为等差数列，求； (2)若，求． 11．等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 12．已知函数，将函数先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． (1)求的值域； (2)求的单调增区间； (3)求数列的前项和． 13．设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 1．已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 2．单调递增的等差数列满足 ，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 4．在等差数列中，，设，则 . 5．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 6．设数列的通项为，则 ． 7．在数列 中，已知 ，则 . 8．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则 . 9．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 10．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 11．记为等差数列的前项和，已知． (1)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值 (2)设，求. 12．已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 13．已知数列满足，设数列的前项和为， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前100项和； (3)求数列的前20项和. 题型三：由前n项和表达式求数列通项公式 1．已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 2．已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 4．已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 5．数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（     ） A．是递减数列 B．数列的前 2025 项和为 2017 C． D．设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 6．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列前项和为，则 . 8．已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为 ． 9．记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 10．已知数列的前项和公式为，则的通项公式 . 11．已知数列的前项和为满足.则 ；设，求数列的前项和 . 12．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 13．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，记，证明：. 14．已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 15．记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 16．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 17．已知数列的前n项和为，，． (1)求证：； (2)若，求数列的前n项和． 题型四：等差数列前n项和的性质 1．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 6．已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 8．在公差不为零的等差数列中，，则 ． 9．若两个等差数列的前项和分别为，满足，则 . 10．数列的前项和为，且满足，，则可能的不同取值的个数为 ． 11．已知为等差数列的前项和，若，则 . 12．已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 13．在一个等差数列中，，则 ． 14．已知等差数列的前项和，，，则 ． 15．已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 16．已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 17．已知等差数列的前n项和是，，． (1)求数列的通项公式； (2)若成立，求正整数m，k的值． 题型五：等差数列前n项和的单调性及最值问题 1．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 3．已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 5．已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 7．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（    ） A． B． C． D． 8．对于数列，定义为数列的 “优值”.已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则的不可能取值为（ ） A．2 B． C． D． 10．已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于（   ） A．1 B．20 C．10 D．19 11．已知数列的通项公式为，前项和为，则的最大值为 ． 12．已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为 . 13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 14．数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则最小值为 . 15．已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为 . 16．若数列满足 ，，，设数列的前项和为，则当取最大值时， . 17．已知数列中，，，则数列的前项和的最大值等于 . 18．已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ． 19．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 20．设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 21．设等差数列的前项和为，已知． (1)若，求的通项公式； (2)若对于任意，都有，求公差的取值范围． 22．已知数列的前n项和为，点在直线上，． (1)求数列的前n项和以及数列的通项公式； (2)若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值． 23．设是等差数列的前n项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项的和； (3)是否存在，使得?若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，请说明理由. 题型六：等差数列及求和的应用 1．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 2．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 4．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 5．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 .    7．中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    8． 2024年11月17日，我国自主设计建造的大洋科考钻探船“梦想”号在广州正式入列，标志着我国深海探测关键技术装备取得重大突破．假设在“梦想”号的某次试钻中钻探深度需达11000米，钻探进度如下：第1天钻探深度为600米，受海底地质条件的影响，之后每天的钻探深度较前一天都有所减少，且每5天的日钻探深度的减少量增加4米．具体为：第天每天钻探深度比前一天减少5米，第天每天钻探深度比前一天减少9米，，依次类推，则要完成钻探任务至少需要的天数为 ． 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 10．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日． 11．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则 .    12．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. (1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； (2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 13．请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 14．2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元． (1)问创新公司第几年开始获利？ (2)经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？ 15．已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 16．用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱？ (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？ 17．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm（如图）．已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？    18．某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30000平方米的宿舍楼（每层的建筑面积相同）．已知土地的征用费为2250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1．5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米．试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出其最少费用．（总费用为建筑费用和征地费用之和）． 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $