第4章 数列（单元测试·基础卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知等差数列满足，则的值为 ． 2．已知数列满足，则 . 3．已知等差数列前项和为，则 . 4．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 5．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 6．已知数列中，，，那么该数列通项公式 7．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 8．已知数列满足对任意的正整数有成立，且，则 . 9．已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 10．在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货.如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余 元.（精确到1元） 11．在数列中，，，，则的前n项和的最大值为 ． 12．记等比数列的前项和为，若，下列四个命题：①是递减数列；②有最大项；③是递增数列；④有最小项．其中真命题的序号是 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为（，），已知，，按规则有（，），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ） A．31 B．16 C．11 D．7 14．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 15．下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（   ） A． B． C． D． 16．已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且    命题B： ②：命题A：等比数列且        命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 18．（14分）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 19．（14分）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 参考数据： 20．（18分）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 21．（18分）已知定义在上的函数满足（其中为正常数）． (1)若，且为奇函数，求的值： (2)若，且（且．证明：存在，使得函数为周期函数． (3)若，且当时，．设（为正整数），求使得都小于2025的最大正整数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知等差数列满足，则的值为 ． 【答案】4 【详解】设数列的公差为，则由可得：， 即，故. 故答案为：4. 2．已知数列满足，则 . 【答案】4100626 【详解】因为， 所以， ∴. 故答案为：. 3．已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 4．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：48. 5．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 6．已知数列中，，，那么该数列通项公式 【答案】 【详解】由可得，， 因，故数列是首项为3，公比为3的等比数列， 则，即得. 故答案为：. 7．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 8．已知数列满足对任意的正整数有成立，且，则 . 【答案】 【详解】由题知，又，则， 即数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列， 所以， 则，得到，所以， 故答案为：. 9．已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】因为数列为等差数列， 所以，则， 由可以判断数列是单调递增数列， 所以， ， 所以，且，且； 即数列，当时，；当时，；当时，. 所以， 即当的前项和最小时，的取值集合为. 故答案为：. 10．在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货.如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余 元.（精确到1元） 【答案】32000 【详解】设，从10月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，， ，同理可得， 所以， 而，所以数列是等比数列，公比为1.2， 所以，即， 所以， 总利润为. 故答案为：32000. 11．在数列中，，，，则的前n项和的最大值为 ． 【答案】53 【详解】由，可得， 令，所以，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，即， 又由，，，…，， 将以上个等式左、右两边分别相加得， 所以，，经检验满足上式，故， 当时，，即单调增； 当时，，即单调递减数列， 因为，， ，， 所以的前项和的最大值为． 故答案为：. 12．记等比数列的前项和为，若，下列四个命题：①是递减数列；②有最大项；③是递增数列；④有最小项．其中真命题的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】设等比数列的公比为,因为， 所以，且， 对于①，当时，是递减数列，，是摆动数列，故①错误； 对于②，当时，是递减数列，最大项为， 当，是摆动数列，， 所以数列的奇数项为正，偶数项为负，最大项为第一项，故②正确； 对于③，，且，则，所以， 因为单调递减，所以单调递增， 所以单调递增，故③正确； 对于④，当时，是递减数列，有最小项，没有最大项， 当，是摆动数列，因为，所以数列奇数项为正，偶数项为负，且单调递减， 所以数列有最小项为最大项为，故④正确. 故答案为：②③④. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为（，），已知，，按规则有（，），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ） A．31 B．16 C．11 D．7 【答案】D 【详解】由题意，，，（，），解下第4个圆环，则， 即，而，因此， 所以解下第4个圆环最少需要移动的次数为7. 故选：D 14．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 15．下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项：，则与同号，又，所以，所以 不成立，故A错误； B选项：，所以与同号，令，解得：，则，故B错误； C选项：，， 且令，解得：，所以不成立，故C错误； D选项：，所以，，解得：，即成立，故D正确. 故选：D 16．已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且    命题B： ②：命题A：等比数列且        命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 【答案】B 【详解】已知均为正整数. ①：若，设等差数列的公差为. 则，所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若，则. 若数列为等差数列，设公差为.即. 当时，，即. 当时，恒成立，所以不一定成立，不一定成立. 若数列不是等差数列，如数列各项为：1，2，3，3，2，1.，此时数列不是等差数列且 . 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. ②：若数列是等比数列，设公比为，由 得：. 所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若. 若数列为等比数列，设公比为，则. 因为，所以. 当时，，所以 ； 当时，恒成立，不一定成立 ； 若数列不是等比数列，如：数列各项均为零，则恒成立，不能推出数列等比且r+t=2s 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 【详解】（1）因为数列为等差数列，故当时，，所以，则恒成立；……（7分） （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，则，所以 故数列一定是等差数列.……（14分） 18．（14分）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为.……（7分） （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以.……（14分） 19．（14分）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 参考数据： 【详解】（1）个月后，本息和为， 个月后，本息和为， 以此类推，个月后，本息和为， 所以个月能获得利息元.……（7分） （2）设按季结算的利率为， 个季度后，本息和为， 个季度后，本息和为， 以此类推，个季度后，本息和为， 所以个季度能获得利息， 由， 得，即， 所以. 所以当每季度利率至少为时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.……（14分） 20．（18分）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为.……（6分） （2）由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以.……（12分） （3）由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13.……（18分） 21．（18分）已知定义在上的函数满足（其中为正常数）． (1)若，且为奇函数，求的值： (2)若，且（且．证明：存在，使得函数为周期函数． (3)若，且当时，．设（为正整数），求使得都小于2025的最大正整数． 【详解】（1）当时，，即周期为2， ∴①， 又∵为奇函数，∴②， 结合①②两式得．……（6分） （2）证明：当时，， 而，代入得， 当时，即时，有， 从而，此时是周期为4的周期函数．……（12分） （3）当时，， 当时，， 则，， ， 令，， 则， 因为， 所以， 而， 又 ， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，显然该数列为递增数列， 令，解得最大值为10， 所以， 又， ， ， 所以最大值为32．……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 4 2. 4100626 3. 2 4. 48 5. 6. 7. 8. 9. 10. 32000 11. 53 12. ②③④ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D A D B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）因为数列为等差数列，故当时，，所以，则恒成立；……（7分） （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，则，所以 故数列一定是等差数列.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为.……（7分） （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）个月后，本息和为， 个月后，本息和为， 以此类推，个月后，本息和为， 所以个月能获得利息元.……（7分） （2）设按季结算的利率为， 个季度后，本息和为， 个季度后，本息和为， 以此类推，个季度后，本息和为， 所以个季度能获得利息， 由， 得，即， 所以. 所以当每季度利率至少为时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为.……（6分） （2）由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以.……（12分） （3）由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）当时，，即周期为2， ∴①， 又∵为奇函数，∴②， 结合①②两式得．……（6分） （2）证明：当时，， 而，代入得， 当时，即时，有， 从而，此时是周期为4的周期函数．……（12分） （3）当时，， 当时，， 则，， ， 令，， 则， 因为， 所以， 而， 又 ， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，显然该数列为递增数列， 令，解得最大值为10， 所以， 又， ， ， 所以最大值为32．……（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知等差数列满足，则的值为 ． 2．已知数列满足，则 . 3．已知等差数列前项和为，则 . 4．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 5．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 6．已知数列中，，，那么该数列通项公式 7．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 8．已知数列满足对任意的正整数有成立，且，则 . 9．已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 10．在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货.如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余 元.（精确到1元） 11．在数列中，，，，则的前n项和的最大值为 ． 12．记等比数列的前项和为，若，下列四个命题：①是递减数列；②有最大项；③是递增数列；④有最小项．其中真命题的序号是 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为（，），已知，，按规则有（，），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ） A．31 B．16 C．11 D．7 14．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 15．下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（   ） A． B． C． D． 16．已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且    命题B： ②：命题A：等比数列且        命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 18．（14分）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 19．（14分）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 参考数据： 20．（18分）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 21．（18分）已知定义在上的函数满足（其中为正常数）． (1)若，且为奇函数，求的值： (2)若，且（且．证明：存在，使得函数为周期函数． (3)若，且当时，．设（为正整数），求使得都小于2025的最大正整数． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $