专题02 圆的方程（18大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题02 圆的方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 考点一：求圆多种方程的形式 【例1】（2025·高二·贵州遵义·期末）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】（2025·高二·广东·期中）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·贵州遵义·月考）已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·天津·月考）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 考点二：直线系方程和圆系方程 【例2】（2025·高二·陕西西安·月考）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程 . 【变式2-1】经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【变式2-2】（2025·高二·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 【变式2-3】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 考点三：与圆有关的轨迹问题 【例3】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【变式3-1】（2025·高二·北京·月考）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【变式3-2】（2025·高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【变式3-3】（2025·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 考点四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【例4】（2025·高二·广西河池·月考）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高二·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高二·广东江门·月考）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点五：点与圆的位置关系判断 【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式5-1】（2025·高二·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【变式5-2】（2025·高二·江苏盐城·期中）设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【变式5-3】（2025·高二·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点六：数形结合思想的应用 【例6】（2025·高二·辽宁·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高二·北京·期中）已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·辽宁·月考）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（   ） A． B．2 C． D．3 考点七：与圆有关的对称问题 【例7】圆关于直线对称，则 ． 【变式7-1】（2025·高二·山东潍坊·期中）圆关于直线对称，则的最小值是 【变式7-2】若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为 . 【变式7-3】（2025·高二·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为 ，若圆关于直线对称，则 . 考点八：圆过定点问题 【例8】（2025·高二·湖北武汉·月考）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【变式8-1】（2025·高二·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则 . 【变式8-2】（2025·高二·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【变式8-3】（2025·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 考点九：直线与圆的位置关系的判断 【例9】（2025·高二·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【变式9-1】（2025·高二·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式9-2】（2025·高二·江苏·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【变式9-3】（2025·高二·广东佛山·月考）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 考点十：弦长与面积问题 【例10】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【变式10-1】（2025·高二·江苏·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【变式10-2】（2025·高二·河南驻马店·期末）已知点是圆：外一点，以为直径的圆与圆相交于，两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·高二·河南·月考）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 考点十一：切线问题、切线长问题 【例11】（2025·高三·湖北·月考）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·高二·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式11-3】（2025·高二·江苏·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 考点十二：切点弦问题 【例12】（2025·高二·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式12-1】（2025·高二·贵州铜仁·期中）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·高二·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2025·高二·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 考点十三：圆上的点到直线距离个数问题 【例13】（2025·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·高二·广东河源·期末）若圆上到直线的距离为的点恰好有3个，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式13-2】（2025·高二·海南·期中）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点十四：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 【例14】（多选题）（2025·高二·安徽·月考）已知动点满足，则（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式14-1】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·月考）已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ）. A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长最小值为 D．若点在圆上，则的取值范围为 【变式14-2】（多选题）（2025·高二·山东济南·月考）已知圆，点为直线上任意一点，过点的直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值为2 B．没有最大值 C．有最小值为 D．有最大值 【变式14-3】（多选题）（2025·高二·云南曲靖·期中）设圆，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则下列结论正确的为（    ） A．P可能为AB中点 B．的最小值为3 C．的面积最小值为 D．的面积最大值为 考点十五：圆与圆的位置关系 【例15】（2025·高二·贵州遵义·月考）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【变式15-1】（2025·高二·江苏·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式15-2】（2025·高二·广西·月考）圆D：和圆E：位置关系是（    ） A．外切 B．相交 C．外离 D．内含 【变式15-3】（2025·高二·福建厦门·月考）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 考点十六：两圆的公共弦问题 【例16】（2025·高二·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（2025·高二·江苏·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（2025·高二·江苏·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【变式16-3】（2025·高二·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 考点十七：两圆的公切线问题 【例17】（2025·高二·广东·期中）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式17-1】（2025·高二·安徽·月考）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式17-2】（2025·高二·浙江·月考）已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式17-3】（2025·高二·河南南阳·月考）已知圆，圆，则两圆的公切线有（   ）条 A． B． C． D． 考点十八：阿氏圆 【例18】（2025·高二·北京东城·期中）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】（2025·高二·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，若点是满足的阿氏圆上的动点，点为双曲线右支上的动点，点是它的左焦点，则的最小值为（   ）． A．1 B．1 C．1 D．1 【变式18-2】（2025·高二·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式18-3】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·高二·辽宁·月考）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 2．（2025·高二·江苏·期末）已知直线：恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 3．（2025·高二·江苏·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·河北承德·月考）若直线与直线交于点，且直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·安徽·月考）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（多选题）（2025·高二·河北承德·月考）已知圆和直线，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线与圆相交，且弦长为 C．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D．过点且与圆相切的直线有且仅有条 8．（2025·高二·上海·月考）若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 9．（2025·高二·福建·月考）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 10．（2025·高二·上海·月考）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 11．（2025·高二·福建·月考）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 12．（2025·高二·天津滨海新·月考）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 13．（2025·高二·重庆·月考）已知直线，． (1)求过直线与的交点，且与直线平行的直线l的方程； (2)求过点，，且圆心在直线上的圆C的方程． 14．（2025·高二·江苏·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 15．（2025·高二·江苏·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 16．（2025·高二·贵州遵义·月考）已知圆，过坐标原点O作圆C的切线，切点分别为，． (1)求的值； (2)求直线的一般式方程． 17．（2025·高二·河北承德·月考）在平面直角坐标系中，已知过点且斜率为的直线与圆相交于两点． (1)求直线的方程； (2)求弦的长度． 18．（2025·高二·安徽·月考）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 考点一：求圆多种方程的形式 【例1】（2025·高二·贵州遵义·期末）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可设圆心，且半径为， 又圆心到直线的距离为， 因为直线被圆M截得的弦长为， 所以或， 所以圆心且半径为，或圆心且半径为， 所以圆M的方程为或. 故选：A 【变式1-1】（2025·高二·广东·期中）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程是. 故选：B 【变式1-2】（2025·高二·贵州遵义·月考）已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，直线的方程为，即， 圆可化为， 故圆心，半径为， 设点关于直线对称的点为， 则，，解得， 因为圆与圆关于直线对称，所以， 又圆的半径为，故圆的标准方程为. 故选：C 【变式1-3】（2025·高二·天津·月考）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 考点二：直线系方程和圆系方程 【例2】（2025·高二·陕西西安·月考）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程 . 【答案】 【解析】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 【变式2-1】经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【答案】或 【解析】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 【变式2-2】（2025·高二·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 【答案】 【解析】因点B，C是直线与圆的交点， 则设过B，C的圆的方程为：，代入， 则，则过过点A，B，C的圆的方程是： . 故答案为： 【变式2-3】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 考点三：与圆有关的轨迹问题 【例3】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【解析】（1）因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 【变式3-1】（2025·高二·北京·月考）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【解析】（1）因为以点为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径为点到直线的距离，即， 所以圆的方程为 （2）设圆心到过点的动直线的距离为， 由（1）知， 因为，故，所以 当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时圆心到的距离为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为 此时圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或 （3）根据题意设，线段的中点， 所以根据中点公式有：，即， 因为， 所以，即 所以线段的中点的轨迹方程为. 【变式3-2】（2025·高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【解析】（1）设圆心的坐标为， 则有， 整理求得，故圆心为， 半径r满足， 则圆P的方程为. （2）设线段中点，， 由可知，， ∵点C在圆上运动，∴， ∴的轨迹方程为. ∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【变式3-3】（2025·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【解析】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 考点四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【例4】（2025·高二·广西河池·月考）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（2025·高二·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【变式4-2】（2025·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【变式4-3】（2025·高二·广东江门·月考）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 考点五：点与圆的位置关系判断 【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解析】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：B . 【变式5-1】（2025·高二·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解析】， 在圆外， 故选：C. 【变式5-2】（2025·高二·江苏盐城·期中）设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【解析】因直线与圆相交， 则圆心到的距离，化简得， 即动点的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆的外部（不含圆弧）， 故点在圆的外面. 故选：B. 【变式5-3】（2025·高二·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 考点六：数形结合思想的应用 【例6】（2025·高二·辽宁·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 即直线过定点， 由可得， 即或， 作直线与曲线的图像， 由圆心到直线的距离可得或（舍去）， 即切线的斜率，同理可得， 又，所以，, 由图象可知，当或时，直线与曲线有2个交点， 故选：D 【变式6-1】（2025·高二·北京·期中）已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即，圆心为， 直线过定点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离， 解得或（舍）， 当直线过原点和定点的斜率为1， 结合图像可知k的取值范围为． 故选：A． 【变式6-2】（2025·高二·辽宁·月考）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式6-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 考点七：与圆有关的对称问题 【例7】圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【解析】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 【变式7-1】（2025·高二·山东潍坊·期中）圆关于直线对称，则的最小值是 【答案】 【解析】由可得标准方程为9，即圆心为， 因为该圆关于直线对称，则直线经过圆心， 即，整理得， 则， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是. 故答案为： 【变式7-2】若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】由，得，其圆心为， 因为该圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 所以， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为. 故答案为： 【变式7-3】（2025·高二·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为 ，若圆关于直线对称，则 . 【答案】 【解析】圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 考点八：圆过定点问题 【例8】（2025·高二·湖北武汉·月考）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【答案】或 【解析】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 【变式8-1】（2025·高二·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则 . 【答案】3 【解析】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 【变式8-2】（2025·高二·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【解析】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 【变式8-3】（2025·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 考点九：直线与圆的位置关系的判断 【例9】（2025·高二·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】因点在圆内，则， 则点到直线的距离， 则直线与圆相离. 故选：C 【变式9-1】（2025·高二·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 【变式9-2】（2025·高二·江苏·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【解析】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式9-3】（2025·高二·广东佛山·月考）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 可得，所以直线与圆相切. 故选：B. 考点十：弦长与面积问题 【例10】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【解析】由，得， 则圆的圆心到直线的距离为， 则． 故选：A 【变式10-1】（2025·高二·江苏·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【解析】将圆变为标准方程可得， 圆心坐标为，半径为， 设圆心到直线的距离为d，则， 又直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 所以，解得或. 故选：C 【变式10-2】（2025·高二·河南驻马店·期末）已知点是圆：外一点，以为直径的圆与圆相交于，两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆：， 因为，所以，，， 因为以为直径的圆与圆相交于，两点， 所以，， 又，， 所以， 所以. 故选：C. 【变式10-3】（2025·高二·河南·月考）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】C 【解析】圆化成标准方程为， 圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径． 当时，面积取得最大值， 则最大值为． 故选：C. 考点十一：切线问题、切线长问题 【例11】（2025·高三·湖北·月考）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的外接圆方程设为， ， 解得， 外接圆方程为，即， 故外接圆的圆心坐标为，半径， 故外接圆在处切线方程为， 又，令得，，∴， ∴在处切线方程为， 又，令，得，∴， ∴直线，即. 由题意可知点三点在同一条直线上， ∴三角形的Lemoine线的方程为． 故选：B 【变式11-1】（2025·高二·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 【变式11-2】过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径， 由，即原点在圆外，而圆心到轴距离， 因此过原点与此圆相切的直线斜率存在，设切线方程为， 由，解得或，则或， 所以所求切线方程或. 故选：A 【变式11-3】（2025·高二·江苏·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 考点十二：切点弦问题 【例12】（2025·高二·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 【变式12-1】（2025·高二·贵州铜仁·期中）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且， 所以，而， 当直线时， ，此时最小， 而，则，故，即， 由，解得，此时， 以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即， 两圆的方程相减可得，即为直线的方程. 故选：A 【变式12-2】（2025·高二·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 【变式12-3】（2025·高二·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 考点十三：圆上的点到直线距离个数问题 【例13】（2025·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 即过定点， 由可得， 即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合. 故选：B 【变式13-1】（2025·高二·广东河源·期末）若圆上到直线的距离为的点恰好有3个，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆到直线的为的点恰好有3个，则，可得. 故选：A. 【变式13-2】（2025·高二·海南·期中）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 故需，解得. 故选：B. 【变式13-3】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径，直线即， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个， 如图： 得圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 考点十四：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 【例14】（多选题）（2025·高二·安徽·月考）已知动点满足，则（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】可整理为，设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的轨迹长度即为圆的周长，，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为，故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故，， 因此的最大值为，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【变式14-1】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·月考）已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ）. A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长最小值为 D．若点在圆上，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，直线的方程可化为，由可得， 所以直线过定点，A对； 对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点， 当时，此时取最大值，即， 故圆心到直线距离的最大值是，B错； 对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则， 当取最大值，取最小值，则， 故直线被圆截得的弦长最小值为，C对； 对于D选项，如下图所示： 由题意可知，圆的圆心为，且该圆的半径为， 由圆的几何性质可得，， 即，故，D对. 故选：ACD. 【变式14-2】（多选题）（2025·高二·山东济南·月考）已知圆，点为直线上任意一点，过点的直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值为2 B．没有最大值 C．有最小值为 D．有最大值 【答案】AB 【解析】过点作圆的切线，为切点， 则由切割线定理知， 又原点到直线的距离为，故， 故的最小值为； 又没有最大值，则没有最大值，故选项A，B正确. 故选：AB 【变式14-3】（多选题）（2025·高二·云南曲靖·期中）设圆，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则下列结论正确的为（    ） A．P可能为AB中点 B．的最小值为3 C．的面积最小值为 D．的面积最大值为 【答案】AD 【解析】由，故在圆内，则P可能为AB中点，A对， 由的圆心，半径， 所以，要使最小，只需， 此时，B错， 在中，而， 所以，且，显然可以取到， ，C错，D对. 故选：AD 考点十五：圆与圆的位置关系 【例15】（2025·高二·贵州遵义·月考）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】B 【解析】圆的圆心为半径为 ，圆的圆心为半径为 ， 则 ，， 因为 ，所以圆与圆相交. 故选：B. 【变式15-1】（2025·高二·江苏·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 【变式15-2】（2025·高二·广西·月考）圆D：和圆E：位置关系是（    ） A．外切 B．相交 C．外离 D．内含 【答案】A 【解析】两圆的圆心分别为，，，， . 故选：A. 【变式15-3】（2025·高二·福建厦门·月考）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 所以，解得. 故选：A 考点十六：两圆的公共弦问题 【例16】（2025·高二·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题,圆，圆心，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 【变式16-1】（2025·高二·江苏·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 【变式16-2】（2025·高二·江苏·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【解析】由题意有：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，故AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，故D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，故C正确. 故选：C. 【变式16-3】（2025·高二·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】即①，②， ①－②化简可得直线的方程为. 故选:A. 考点十七：两圆的公切线问题 【例17】（2025·高二·广东·期中）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由可得， 即点与点到直线的距离都为， 分别以、为圆心，作半径为的圆、圆， 由，故两圆外离，则两圆共四条公切线， 由图可得，两圆公切线都不过原点，故有对这样的实数对， 使得点与点到直线的距离都为. 故选：D. 【变式17-1】（2025·高二·安徽·月考）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【解析】圆，圆心，半径. 圆16，圆心，半径. 所以， 则， 则两个圆相交，所以两圆的公切线有2条． 故选：C． 【变式17-2】（2025·高二·浙江·月考）已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆圆心坐标为，半径为2； 圆圆心坐标为，半径为. 因为圆与圆有3条公切线，所以两圆外切，所以. 故选：C. 【变式17-3】（2025·高二·河南南阳·月考）已知圆，圆，则两圆的公切线有（   ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将圆化为标准式，得圆心，半径； 圆化为标准式，得圆心，半径. 圆心距， 因为，即， 故两圆相交，则这两圆的公切线有条. 故选：B. 考点十八：阿氏圆 【例18】（2025·高二·北京东城·期中）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图所示，以中点为坐标原点，方向为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，， 设，则，， 由动点与，距离之比为， 则， 化简可得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以当，，不共线时，点到直线的距离， 则， 即面积的最大值为， 故选：D. 【变式18-1】（2025·高二·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，若点是满足的阿氏圆上的动点，点为双曲线右支上的动点，点是它的左焦点，则的最小值为（   ）． A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】B 【解析】设， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心2为半径的圆， 双曲线的左焦点，右焦点为， 则 ， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式18-2】（2025·高二·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 【变式18-3】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 1．（2025·高二·辽宁·月考）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】设，由题意得，， 则 ． 当且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为 故选：A． 2．（2025·高二·江苏·期末）已知直线：恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由，整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆：的圆心，半径， 如图，，直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 所以面积的最大值为. 故选：D. 3．（2025·高二·江苏·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【解答过程】已知的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得，且与全等， 则四边形的面积为， 又由垂径定理可知：⊥，则四边形的面积为， 所以，其中， 即， 要使得最小，只需要最小， 显然当⊥直线时，最小，即最小值为， 此时. 故选：C. 4．（2025·高二·江苏·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故， 故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，所以， 所以. 故选：C. 5．（2025·高二·河北承德·月考）若直线与直线交于点，且直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心坐标，半径为， 则圆心到直线的距离为． 因为截得的弦长为，所以根据勾股定理得，解得， 因为，所以， 所以，，联立解得， 所以． 故选：A． 6．（2025·高二·安徽·月考）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 7．（多选题）（2025·高二·河北承德·月考）已知圆和直线，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线与圆相交，且弦长为 C．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D．过点且与圆相切的直线有且仅有条 【答案】ABD 【解析】对于选项A，由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为4，故A正确； 对于选项B，由题意，圆的圆心到直线的距离为， 因为，所以直线与圆相交， 所以弦长为，故B正确； 对于选项C，设圆心关于直线的对称点， 由直线，得其斜率为，故， 又对称点的中点在直线上，所以， 化简得，即． 又由得，即，整理为； 联立，解得：． 因此，圆的圆心为，方程为16，故C错误； 对于选项D，点到圆心的距离：，所以点在圆外． 所以，过点且与圆相切的直线有且仅有条，故D正确． 故选：ABD 8．（2025·高二·上海·月考）若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 【答案】或 【解析】因为直线截圆所得的弦长是8， 而圆的半径为5，那么根据勾股定理，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离为，化简得， 解得或. 故答案为：10或-68 9．（2025·高二·福建·月考）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 又由，可得圆心，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，可得， 因为关于，则， 则， 因为，所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 10．（2025·高二·上海·月考）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 【解析】（1）圆的方程变成标准方程为. 当过点且与圆C相切的直线斜率不存在时，直线方程为. 此时圆心到直线的距离为，等于半径，所以该直线与圆相切，符合题意； 当过点且与圆C相切的直线斜率存在时，直线方程为，即. 则有圆心到直线的距离为，即. 解得，所以此时直线方程为. 综上，符合题意的直线方程为或. （2）直线，变形得，该直线过定点. 圆心到该直线的距离为，所以直线与圆相交或相切. 11．（2025·高二·福建·月考）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 【解析】（1）由题可设，由得，解得. 所以圆心，半径. 所以圆的方程为. （2）设，则. . 即为定值. 12．（2025·高二·天津滨海新·月考）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以，解得； （2）由题意可知，， 所以， 当取最小值时，也最小， 当时，直线， 此时，所以； （3）因为， 所以，即或， 当时，为等边三角形， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 当时，此时为等腰三角形，且， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 综上：直线的方程为，. 13．（2025·高二·重庆·月考）已知直线，． (1)求过直线与的交点，且与直线平行的直线l的方程； (2)求过点，，且圆心在直线上的圆C的方程． 【解析】（1）由解得，，即直线与的交点为， 直线的斜率为，直线的斜率， 直线的方程为，即：． （2）设圆的方程为， 则由题意有，解得，， 所以，圆的方程为 14．（2025·高二·江苏·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由 .所以四边形面积的最小值为. 15．（2025·高二·江苏·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【解析】（1）圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. （3）圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 16．（2025·高二·贵州遵义·月考）已知圆，过坐标原点O作圆C的切线，切点分别为，． (1)求的值； (2)求直线的一般式方程． 【解析】（1）圆的圆心，半径，， 连接，由切圆于，得， ，所以. （2）依题意，点共圆，其直径为，该圆方程， 即，而圆的方程化为， 两圆方程相减得直线方程：. 17．（2025·高二·河北承德·月考）在平面直角坐标系中，已知过点且斜率为的直线与圆相交于两点． (1)求直线的方程； (2)求弦的长度． 【解析】（1）由点斜式方程得，即． （2）圆的圆心为，半径． 圆心到直线的距离． 因为弦长公式， 所以代入条件可知：， 所以弦的长度为． 18．（2025·高二·安徽·月考）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【解析】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心. 因为圆经过点和，所以， 所以， 解得，所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为，所以点在圆外. 设过点的直线为， 当斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以不是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，整理得. 解得或， 所以切线方程为或. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $