复习案03 椭圆-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

复习案03 椭圆 【知识回顾】 一 、椭圆 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 常用结论： 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中： (1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－. 【重点题型剖析】 题型一 椭圆的定义 一、单选题 1．已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．8 B． C． D．与有关 2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则|=（    ） A． B．2 C． D． 3．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若是直角三角形，则的面积等于（    ） A． B． C．16 D．或16 5．点为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A．13 B．1 C．7 D．5 6．椭圆上一点P与焦点的距离为5，则点P与另一个焦点的距离为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（    ） A．2 B．2 C． D． 8．若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．的面积最大值为 C．点到直线距离的最大值为 D．的最大值为7 10．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（    ） A．若直线的斜率为，直线的斜率，则 B．若有且仅有两个不同的实数使得为等腰直角三角形，则 C．取值范围为 D．周长的最大值为8 11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为 C．点到原点的距离的最大值为5 D．椭圆的离心率为 12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 13．设椭圆的左、右焦点分别为，，则下列说法中正确的有（    ） A．离心率 B．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为 C．若是椭圆上的一点，则面积的最大值为2 D．若是椭圆上的一点，且，则面积为 三、填空题 14．已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为________. 15．点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________． 16．已知椭圆的左