重难点突破05 “四心”的向量表示与奔驰定理+等和线（寒假预习讲义，串知识+6大题型精讲+过关）高一数学沪教版

重难点突破05 “四心”的向量表示与奔驰定理+等和线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：必备核心知识 1.三角形四心的定义与向量表达 （1）重心（G） 定义：三角形三条中线的交点，也是重心（质量均匀时的受力中心） 核心向量性质：（充要条件）；（O为平面内任意点） 坐标性质：若、、，则 比例性质：重心分中线比为（，D为BC中点）；重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍 （2）外心（O） 定义：三角形三条垂直平分线的交点，也是外接圆圆心 核心向量性质：（R为外接圆半径，充要条件）；（垂直平分线性质） 坐标性质：外心是垂直平分线的交点，可通过求两条垂直平分线方程联立求解 特殊三角形：直角三角形外心在斜边中点，锐角三角形外心在三角形内，钝角三角形外心在三角形外 （3）内心（I） 定义：三角形三条角平分线的交点，也是内切圆圆心 核心向量性质：（a、b、c分别为BC、AC、AB的边长，充要条件）； 坐标性质：（加权平均坐标） 比例性质：内心到三边距离相等（等于内切圆半径r）；角平分线分对边比为邻边比（，D为BC上的内心投影） （4）垂心（H） 定义：三角形三条高线的交点 核心向量性质：、、（高线垂直性质，充要条件）；（欧拉公式推论，O为外心） 特殊三角形：直角三角形垂心在直角顶点，锐角三角形垂心在三角形内，钝角三角形垂心在三角形外 欧拉关系：欧拉公式，锐角三角形中在内部，在内部，在上且 2.奔驰定理（面积与向量关系） 核心公式：对于平面内任意一点P，若A、B、C不共线，则（点P在内部） 拓展公式（点P在外部）：对应区域面积取负，即（具体符号由P所在区域决定） 简化应用：若P为特殊点（四心），可直接代入得四心的向量性质（如重心时，即得） 3.等和线定理（向量系数和问题） 定义：在平面内，若（、为不共线基底），则所有满足（k为常数）的点P都在过点O且与平行的直线上，该直线称为“等和线” 核心结论： 当等和线过O点时，，此时P与O重合， 当等和线过A点时，，此时， 当等和线过B点时，，此时， 等和线与平行，且k的值与等和线到O点的距离成正比（k越大，距离越远，同向时k为正，反向时k为负） 知识点2：必备实用解法 1.四心问题解题方法 （1）重心问题：坐标法+向量分点法 步骤：①若已知三点坐标，直接用重心坐标公式求解；②若已知向量关系，利用转化为目标向量；③涉及中线比例时，用分点公式（D为BC中点） 名师技巧：强调“重心问题优先建系”，通过坐标将向量问题转化为代数计算，降低抽象性 （2）外心问题：垂直向量法+距离公式法 步骤：①利用垂直平分线性质，列向量垂直方程（如）；②若已知边长，用距离公式列方程；③直角三角形直接用斜边中点为外心的性质快速求解 技巧总结“外心问题关键抓垂直与等距”，优先处理特殊三角形（直角、等腰） （3）内心问题：角平分线定理+加权向量法 步骤：①已知边长时，用角平分线定理求分点比例，再用向量分解；②涉及内切圆半径时，结合面积公式（p为半周长）关联向量条件；③建系时用内心坐标公式直接代入计算 名师技巧：推荐“内心问题用加权向量快速定位”，避免复杂的角平分线方程求解 （4）垂心问题：垂直向量点积法+欧拉公式法 步骤：①核心是利用，将高线转化为向量点积为0的条件；②已知外心时，用欧拉公式快速关联垂心与外心；③直角三角形直接用直角顶点为垂心的性质 技巧总结“垂心问题优先找垂直向量”，避免直接求高线方程的繁琐计算 2.奔驰定理解题方法 步骤：①判断点P与的位置关系（内部/外部），确定面积符号；②将已知向量关系与奔驰定理公式对比，建立面积比例关系；③利用面积比例求解未知量（如点的坐标、向量系数） 名师技巧强调“奔驰定理是面积与向量的桥梁”，遇到三角形内点的向量系数问题，优先想到奔驰定理，可快速简化计算 简化应用：若已知，则 3.等和线定理解题方法 步骤：①确定基底、（不共线），将目标向量表示为的形式；②找到对应的等和线，分析等和线的平移方向（同向/反向）；③根据图形边界条件（如点P在某线段上），确定k的最值或取值范围 名师技巧：总结“等和线解题三步骤：定基底、找等和线、求k范围”，遇到向量系数和问题，直接用等和线平移法，无需复杂代数运算 拓展技巧：若基底不是从O点出发，先将向量转化为共起点基底（如，可转化为，此时，等和线对应） 知识点3：常见实际误区 1.四心向量表达式混淆 误区：将重心的与内心的混淆，忽略内心表达式中的边长权重；将垂心的错记为 规避：结合定义记忆，重心是平均向量（无权重），内心是加权平均（权重为边长），垂心是高线垂直（对应边的向量点积为0）；用特殊三角形验证（如等边三角形四心重合，代入表达式验证） 2.奔驰定理符号错误 误区：忽略点P的位置（内部/外部），统一用正面积代入公式，导致结果错误；将奔驰定理中的面积比例与向量系数比例搞反 规避：先画图判断P在内部还是外部，内部所有面积为正，外部对应区域面积为负；牢记“向量系数比等于对应面积比”（） 3.等和线基底与方向错误 误区：等和线定理应用时，基底不共起点仍直接套用公式；混淆等和线的k值符号（同向为正，反向为负）；忽略点P的边界限制，导致k范围求解错误 规避：应用等和线前，务必将向量转化为共起点基底；通过图形判断等和线与基底的方向关系，确定k的符号；结合题目中“点P在某线段上”“在某三角形内”等条件，确定等和线的平移边界 4.特殊三角形四心性质误用 误区：将直角三角形的外心（斜边中点）错记为直角顶点；将钝角三角形的外心、垂心当成在三角形内部；忽略等边三角形四心重合的性质，进行复杂计算 规避：牢记特殊三角形四心位置：直角三角形外心在斜边中点、垂心在直角顶点；锐角三角形四心均在内部；钝角三角形外心和垂心在外部；等边三角形四心重合，可直接用重心性质求解 5.向量点积与垂直关系混淆 误区：在垂心问题中，将错写为；忽略向量点积为0是垂直的充要条件，仅用几何直观判断垂直，导致漏解 规避：明确“高线垂直”是顶点与对边的垂直，对应向量是“顶点到垂心的向量”与“对边向量”的点积为0；所有垂直关系均需转化为向量点积为0的代数条件，避免几何直观的误差 【题型1 重心】 例1．在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则 . 例2．已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 变式1．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式2．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【题型2 外心】 例1．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．设是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式1．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【题型3 内心】 例1．已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足 ，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 例2．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 变式1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【题型4 垂心】 例1．在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 例2．在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 变式1．已知H是的垂心，满足，且，则 ． 【题型5 奔驰定理】 例1．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例2．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 变式1．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 变式2．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．若O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【题型6 等和线】 例1．已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设，则的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 例2．已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 变式1．如图，直角梯形中，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 .（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有1个； ③能使取最大值的点有且只有1个； ④能使取最大值的点有无数个. 一、三角形四心核心 心类型 定义 核心向量式 关键性质 重心（G） 中线交点 ； 坐标为三点平均；分中线比 外心（O） 垂直平分线交点 直角三角形外心在斜边中点 内心（I） 角平分线交点 坐标为边长加权平均；到三边距离相等 垂心（H） 高线交点 （同理） 欧拉公式： 二、奔驰定理核心 核心公式（P在内）： 应用：向量系数比=对应面积比 三、等和线定理核心 定义：中，对应与平行的直线 核心结论： ：过O点；：过A/B点 与等和线到O的距离成正比 四、解题方法精髓 1.四心：重心用坐标法；外心抓等距/垂直；内心用加权向量；垂心抓点积为0 2.奔驰定理：向量系数→面积比 3.等和线：定基底→找等和线→求k范围 五、记忆要点 四心向量式勿混淆（内心带边长权重） 奔驰定理注意P的位置（内外面积符号） 等和线需共起点基底 一、单选题 1．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 2．若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（　　） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 3．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 4．在中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，O为的外心，且有，，若，，则（    ） A．1 B．-2 C．0 D． 5．已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 6．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 二、填空题 8．下列叙述正确的是 . ① 为的重心，. ②为的垂心； ③ 为的外心； ④ 为的内心 9．设P是所在平面内的一点，若，且.则点P是的 .（填“中心”、“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”） 10．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 11．在中，内角所对的边分别为是 的外心，，则的面积为 ． 12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有 ． ①   ② ③     ④ 13．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是 ． ①    ②    ③        ④ 14．点是的重心，点，分别在边和上，且满足，其中.若，与的面积之比是，则 . 15．在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则 ． 16．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 17．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ． 18．如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有 . 三、解答题 19．已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足，求证：点的轨迹一定经过的重心． 20．如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破05 “四心”的向量表示与奔驰定理+等和线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：必备核心知识 1.三角形四心的定义与向量表达 （1）重心（G） 定义：三角形三条中线的交点，也是重心（质量均匀时的受力中心） 核心向量性质：（充要条件）；（O为平面内任意点） 坐标性质：若、、，则 比例性质：重心分中线比为（，D为BC中点）；重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍 （2）外心（O） 定义：三角形三条垂直平分线的交点，也是外接圆圆心 核心向量性质：（R为外接圆半径，充要条件）；（垂直平分线性质） 坐标性质：外心是垂直平分线的交点，可通过求两条垂直平分线方程联立求解 特殊三角形：直角三角形外心在斜边中点，锐角三角形外心在三角形内，钝角三角形外心在三角形外 （3）内心（I） 定义：三角形三条角平分线的交点，也是内切圆圆心 核心向量性质：（a、b、c分别为BC、AC、AB的边长，充要条件）； 坐标性质：（加权平均坐标） 比例性质：内心到三边距离相等（等于内切圆半径r）；角平分线分对边比为邻边比（，D为BC上的内心投影） （4）垂心（H） 定义：三角形三条高线的交点 核心向量性质：、、（高线垂直性质，充要条件）；（欧拉公式推论，O为外心） 特殊三角形：直角三角形垂心在直角顶点，锐角三角形垂心在三角形内，钝角三角形垂心在三角形外 欧拉关系：欧拉公式，锐角三角形中在内部，在内部，在上且 2.奔驰定理（面积与向量关系） 核心公式：对于平面内任意一点P，若A、B、C不共线，则（点P在内部） 拓展公式（点P在外部）：对应区域面积取负，即（具体符号由P所在区域决定） 简化应用：若P为特殊点（四心），可直接代入得四心的向量性质（如重心时，即得） 3.等和线定理（向量系数和问题） 定义：在平面内，若（、为不共线基底），则所有满足（k为常数）的点P都在过点O且与平行的直线上，该直线称为“等和线” 核心结论： 当等和线过O点时，，此时P与O重合， 当等和线过A点时，，此时， 当等和线过B点时，，此时， 等和线与平行，且k的值与等和线到O点的距离成正比（k越大，距离越远，同向时k为正，反向时k为负） 知识点2：必备实用解法 1.四心问题解题方法 （1）重心问题：坐标法+向量分点法 步骤：①若已知三点坐标，直接用重心坐标公式求解；②若已知向量关系，利用转化为目标向量；③涉及中线比例时，用分点公式（D为BC中点） 名师技巧：强调“重心问题优先建系”，通过坐标将向量问题转化为代数计算，降低抽象性 （2）外心问题：垂直向量法+距离公式法 步骤：①利用垂直平分线性质，列向量垂直方程（如）；②若已知边长，用距离公式列方程；③直角三角形直接用斜边中点为外心的性质快速求解 技巧总结“外心问题关键抓垂直与等距”，优先处理特殊三角形（直角、等腰） （3）内心问题：角平分线定理+加权向量法 步骤：①已知边长时，用角平分线定理求分点比例，再用向量分解；②涉及内切圆半径时，结合面积公式（p为半周长）关联向量条件；③建系时用内心坐标公式直接代入计算 名师技巧：推荐“内心问题用加权向量快速定位”，避免复杂的角平分线方程求解 （4）垂心问题：垂直向量点积法+欧拉公式法 步骤：①核心是利用，将高线转化为向量点积为0的条件；②已知外心时，用欧拉公式快速关联垂心与外心；③直角三角形直接用直角顶点为垂心的性质 技巧总结“垂心问题优先找垂直向量”，避免直接求高线方程的繁琐计算 2.奔驰定理解题方法 步骤：①判断点P与的位置关系（内部/外部），确定面积符号；②将已知向量关系与奔驰定理公式对比，建立面积比例关系；③利用面积比例求解未知量（如点的坐标、向量系数） 名师技巧强调“奔驰定理是面积与向量的桥梁”，遇到三角形内点的向量系数问题，优先想到奔驰定理，可快速简化计算 简化应用：若已知，则 3.等和线定理解题方法 步骤：①确定基底、（不共线），将目标向量表示为的形式；②找到对应的等和线，分析等和线的平移方向（同向/反向）；③根据图形边界条件（如点P在某线段上），确定k的最值或取值范围 名师技巧：总结“等和线解题三步骤：定基底、找等和线、求k范围”，遇到向量系数和问题，直接用等和线平移法，无需复杂代数运算 拓展技巧：若基底不是从O点出发，先将向量转化为共起点基底（如，可转化为，此时，等和线对应） 知识点3：常见实际误区 1.四心向量表达式混淆 误区：将重心的与内心的混淆，忽略内心表达式中的边长权重；将垂心的错记为 规避：结合定义记忆，重心是平均向量（无权重），内心是加权平均（权重为边长），垂心是高线垂直（对应边的向量点积为0）；用特殊三角形验证（如等边三角形四心重合，代入表达式验证） 2.奔驰定理符号错误 误区：忽略点P的位置（内部/外部），统一用正面积代入公式，导致结果错误；将奔驰定理中的面积比例与向量系数比例搞反 规避：先画图判断P在内部还是外部，内部所有面积为正，外部对应区域面积为负；牢记“向量系数比等于对应面积比”（） 3.等和线基底与方向错误 误区：等和线定理应用时，基底不共起点仍直接套用公式；混淆等和线的k值符号（同向为正，反向为负）；忽略点P的边界限制，导致k范围求解错误 规避：应用等和线前，务必将向量转化为共起点基底；通过图形判断等和线与基底的方向关系，确定k的符号；结合题目中“点P在某线段上”“在某三角形内”等条件，确定等和线的平移边界 4.特殊三角形四心性质误用 误区：将直角三角形的外心（斜边中点）错记为直角顶点；将钝角三角形的外心、垂心当成在三角形内部；忽略等边三角形四心重合的性质，进行复杂计算 规避：牢记特殊三角形四心位置：直角三角形外心在斜边中点、垂心在直角顶点；锐角三角形四心均在内部；钝角三角形外心和垂心在外部；等边三角形四心重合，可直接用重心性质求解 5.向量点积与垂直关系混淆 误区：在垂心问题中，将错写为；忽略向量点积为0是垂直的充要条件，仅用几何直观判断垂直，导致漏解 规避：明确“高线垂直”是顶点与对边的垂直，对应向量是“顶点到垂心的向量”与“对边向量”的点积为0；所有垂直关系均需转化为向量点积为0的代数条件，避免几何直观的误差 【题型1 重心】 例1．在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则 . 【答案】4 【分析】利用重心性质表示出，利用向量数量积定义即可求得结果. 【详解】因为为重心，则有， 又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为, 根据数量积的几何意义得 故， 又因为,两式平方相加得， 故,所以. 故答案为： 例2．已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线，经过整理得到，将其代入，经过整理得到，，利用向量减法的三角形法则得到，取的中点，由向量加法的平行四边形法则得到，将其代入得到，动点的轨迹必经过的重心. 【详解】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心. 故选：D. 变式1．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 变式2．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 【题型2 外心】 例1．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可. 【详解】∵，由正弦定理， 得， 即， 而，所以， ∵， 由正弦定理，得， ∴，而， ∴，∴， 因为，所以，∴． 设的外接圆半径为，则， ∴，而， ∴， 故选：C 例2．设是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：D 变式1．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】取中点D，根据条件化简得，所以点P在中垂线上，所以，所以为三边中垂线交点，即为的外心. 【详解】    如图，取中点D， . ， ， ， ， ， 点P在中垂线上. ，又， 所以 为的外心. 故选：A. 变式2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 【题型3 内心】 例1．已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足 ，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】本题可通过向量的线性运算，将的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹经过的特殊点. 【详解】设的中点为， 则， ∵， ∴， 而， ∴三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心， 故选：C. 例2．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】为的中点，由得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故选：B 变式1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 可得，解得， 因为，所以； 如图所示，设，延长交于点， 则， 所以，同理可得， 过点作， 则 又由，所以, 所以，可得， 即， 因为为的外心，设的内切圆的半径为， 可得， 可得，即， 又因为，即，可得， 由正弦定理得, 又因为，可得，因为且，所以，可得， 所以，可得，. 故选：D. 变式2．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 【题型4 垂心】 例1．在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确. 故选：A. 例2．在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 变式1．已知H是的垂心，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算，可得，两边点乘及由垂心向量公式得解. 【详解】由，得， 化简得，再左右点乘及垂心向量公式得 ，故. 故答案为：. 【题型5 奔驰定理】 例1．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 例2．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解. 变式1．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 变式2．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．若O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论，可判断C正确；选项D，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得D错误； 【详解】对于A：如下图所示，    假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C：由四边形内角和可知，，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以，同理得，， 则， 令， 由，则， 同理：，， 综上，， 根据奔驰定理得，即C正确. 对于D：由可知，， 又，所以 由可得，； 所以，即D错误； 故选：D. 【点睛】关键点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可. 【题型6 等和线】 例1．已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设，则的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】解：由题意可知，为外接圆的圆心，如图所示， 在圆中，劣弧所对的圆心角为，点为定点，点为优弧上的动点， 则点满足题中的已知条件，延长交于点， 设，由题意可知：， 由于三点共线，据此可得：， 则，则的最大值即的最大值， 由于为定值，故最小时，取得最大值， 因为，所以当时，最小，取得最小值， 此时，为等边三角形 所以． 故选A． 【点睛】本题主要考查向量基本定理的应用，利用三点关系，得到是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 例2．已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图:    设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于, 过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,, ,其中,又, 所以, 当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,, 当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题. 变式1．如图，直角梯形中，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 .（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有1个； ③能使取最大值的点有且只有1个； ④能使取最大值的点有无数个. 【答案】③④ 【详解】解：当在边上时，如图，取中点O，连接OC，则 设，， ， ， 当在边上时，，， 当在边上时，设，， ， ， ，， ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故错误； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故正确； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，及分类讨论思想，是一道难度较大的题目. 一、三角形四心核心 心类型 定义 核心向量式 关键性质 重心（G） 中线交点 ； 坐标为三点平均；分中线比 外心（O） 垂直平分线交点 直角三角形外心在斜边中点 内心（I） 角平分线交点 坐标为边长加权平均；到三边距离相等 垂心（H） 高线交点 （同理） 欧拉公式： 二、奔驰定理核心 核心公式（P在内）： 应用：向量系数比=对应面积比 三、等和线定理核心 定义：中，对应与平行的直线 核心结论： ：过O点；：过A/B点 与等和线到O的距离成正比 四、解题方法精髓 1.四心：重心用坐标法；外心抓等距/垂直；内心用加权向量；垂心抓点积为0 2.奔驰定理：向量系数→面积比 3.等和线：定基底→找等和线→求k范围 五、记忆要点 四心向量式勿混淆（内心带边长权重） 奔驰定理注意P的位置（内外面积符号） 等和线需共起点基底 一、单选题 1．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【详解】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 2．若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（　　） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】 解：因为， 所以， 所以O为的外心； 因为， 所以（）＝0， 即＝0，所以MB⊥AC， 同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB， 所以M为的垂心； 因为， 所以， 设AB的中点D，则， 所以 ， 所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且， 所以N为△ABC的重心． 故选：D． 3．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断. 【详解】解：根据题意，，即， 所以，则向量在向量上的投影为的一半， 所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上， 所以点O为该三角形的外心． 故选：B． 4．在中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，O为的外心，且有，，若，，则（    ） A．1 B．-2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据已知，利用正弦定理、余弦定理、圆的性质以及向量的运算进行计算求解. 【详解】由题可知，，由正弦定理有： 所以，即， 因为，所以，由正弦定理有：， 又，所以，所以， 因为，所以，因为，所以， 因为O为的外心，取中点，所以，根据圆的性质可知，直线过点, 如图，在中可知，，又正弦定理有：，即， 所以，所以与相互平分，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以，故B，C，D错误. 故选：A. 5．已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又 ， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 6．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项. 【详解】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得 ， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 7．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得 ，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 二、填空题 8．下列叙述正确的是 . ① 为的重心，. ②为的垂心； ③ 为的外心； ④ 为的内心 【答案】（1），（2） 【详解】试题分析：① 为的重心，特别地为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；，等于已知AD是中BC边的中线. ②为的垂心； 是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心. ③ 为的内心；向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）. ④ 为的外心. 考点：平面向量基本定理及三角形性质 9．设P是所在平面内的一点，若，且.则点P是的 .（填“中心”、“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”） 【答案】外心 【分析】首先取中点，连接，根据向量的运算得到线段的中垂线上，根据，得到线段的中垂线上，从而得到答案. 【详解】取中点，连接，如图所示： 所以 ，即点在线段的中垂线上， 又因为，所以点在线段的中垂线上， 所以为的外心. 故答案为：外心 10．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【分析】为的中点，由，得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 11．在中，内角所对的边分别为是 的外心，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式，正弦定理及半角公式可得出，再根据向量数量积公式得到，以及余弦定理得到，最后由面积公式即可求解. 【详解】因为 ，故由 得 ，由正弦定理得 ，又 ，故 ，因为 ，所以 ，故 ，所以 ． 因为 ， 所以 ． 在 中余弦定理得， ， 所以 ． 所以 的面积为 ． 故答案为： 12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有 ． ①   ② ③     ④ 【答案】①③④ 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果. 【详解】对于①，重心为G，有， 故，故①正确； 对于②，外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别是AB、AC的中点，有， ∴，故②错误； 对于③，由欧拉线定理得，即，又有， 故 ，即，故③正确； 对于④，由得，故， 所以，故④正确. 故答案为：①③④. 13．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是 ． ①    ②    ③        ④ 【答案】①③④ 【分析】根据欧拉线定理可判断①；利用向量的加、减运算可判断②；利用向量的数量积可判断③；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断④． 【详解】解：对于①，由题意得，即，故①正确； 对于②，由是的重心，设为中点，可得， 所以，故②错误； 对于③，过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图， 易知，分别是，的中点， 则 ，故③正确； 对于④，因为为的重心， 所以， 故， 所以由欧拉线定理可得， 所以，故④正确， 故答案为：①③④． 14．点是的重心，点，分别在边和上，且满足，其中.若，与的面积之比是，则 . 【答案】或. 【分析】由题意得，然后分别用表示，再由三点共线（已知可得）列方程求解． 【详解】因为且，所以三点共线， 是的重心，则， ， 由得，所以，， ， 所以，解得或． 故答案为：或. 15．在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用倍角公式及诱导公式，得到，从而有，延长交于，利用重心的性质得到，利用向量的中线公式得到，再由余弦定理，即可求解. 【详解】因为，则，即， 解得或，又，所以， 又点是的重心，且，如图，延长交于，则为中点，且， 又，则， 所以，解得， 在中，由余弦定理，得到， 解得，    故答案为：. 16．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 17．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】过点作，交的延长线于点，结合已知得，问题化为求最大值，作，利用相似得，进而得最大，即可得. 【详解】如图1，过点作，交的延长线于点， 由，则， 由共线得，可得． 当最大时，取到最大值，此时， 如图2．作，又，则，即， 由，即，则四边形为平行四边形，故， 易知，可得，， 而，，得， 所以， 因此的最大值为3． 故答案为：3      18．如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有 . 【答案】①②④ 【分析】对于①:利用重心的性质 代入即可. 对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点， 所以,， 同理可得、， 所以 ，又因为 所以.①正确. 对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确. 对于③：因为，所以,,, 所以, 化简得：， 又因为不共线. 所以， .③错误. 对于④：因为是的外心，，所以,，, 因为，则， 化简得： ,由题意知不同时为正. 记 , 则， 因为 所以.④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向. 三、解答题 19．已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足，求证：点的轨迹一定经过的重心． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件结合向量减法计算化简，结合中线性质得出即可证明． 【详解】因为 所以， 所以， 即， 所以， 设，则， 即． 因为经过的中点，三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心． 20．如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    【答案】2 【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可． 【详解】设与相交于点，可得． 因为三点共线，所以． 因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，, 所以,此时， 所以的最大值为2． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $