第04讲 正弦函数的图像与性质（寒假预习讲义，3大知识+11大题型+过关测）高一数学沪教版

第04讲 正弦函数的图像与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：正弦函数的图像 一、核心知识点：正弦函数图像的绘制方法 1.几何法（精确作图） 推导过程：利用单位圆中的正弦线来绘制正弦函数（）的图像，步骤如下： 1.作单位圆：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作半径为1的单位圆. 2.等分单位圆：从单位圆与轴正半轴的交点开始，将单位圆平均分成12等份，对应角度分别为. 3.作正弦线：过每个等分点作轴的垂线，垂足为轴上对应的角度点，垂线段的长度（向上为正，向下为负）即为该角度的正弦值，这些垂线段就是正弦线（如角度的正弦线是从到的线段）. 4.平移正弦线：在轴上，将区间也平均分成12等份，对应标注各角度值，把每个角度对应的正弦线平移到轴上相应的角度位置，使正弦线的起点与该角度点重合，终点即为正弦函数图像上的点. 5.连线：用光滑的曲线将所有正弦线的终点依次连接，得到在上的图像. 6.拓展到全体实数：根据诱导公式（），将上的图像沿轴正、负方向每次平移个单位长度，即可得到（）的完整图像，称为正弦曲线. 2.五点法（快速作图） 推导过程：观察在上的图像，发现有5个关键点决定了图像的基本形状，这5个点分别是图像的起点、最高点、零点、最低点、终点，通过描出这5个点并光滑连线，可快速画出正弦函数的简图，步骤如下： 1.确定关键点：在内，5个关键点的坐标为、、、、. 2.描点：在平面直角坐标系中准确描出这5个点. 3.连线：用光滑的曲线将5个点依次连接，得到上的正弦函数简图. 4.拓展：同样利用周期性平移，得到全体实数范围内的正弦曲线. 二、易错辨析 易错点1：用五点法作图时，混淆关键点坐标.例如将误写为，或遗漏角度的周期性.辨析：牢记5个关键点的“横标等差、纵标特征”——横标间隔，纵标依次为0、1、0、-1、0，对应图像的升降、极值位置. 易错点2：几何法作图时，将正弦线的方向或长度搞错.辨析：正弦线的方向由角度所在象限决定（第一、二象限为正，第三、四象限为负），长度等于对应角度正弦值的绝对值，且最大长度为1（单位圆半径）. 易错点3：平移图像时，平移单位错误.例如认为平移个单位即可重复图像.辨析：正弦函数的最小正周期是，只有平移（）个单位，图像才会完全重合. 三、概念比较：几何法与五点法的区别与联系 比较维度 几何法 五点法 精度 高，可精确画出每一点的位置 低，仅能画出近似简图 步骤复杂度 复杂，需作单位圆、正弦线、平移等多步 简单，仅需找5个关键点、描点连线 适用场景 理解正弦函数图像的起源、精确研究局部性质 快速解题、粗略分析函数变化趋势 联系 五点法的5个关键点本质是几何法中“正弦线端点的特殊位置”，两者均基于正弦函数的周期性和值域限制 四、重点记忆+常考结论 重点记忆：5个关键点的坐标是核心，必须熟练默写：、、、、. 常考结论1：正弦曲线是“波浪线”，关于原点对称，在和之间波动，无间断点. 常考结论2：用五点法画（）在上的图像时，关键点坐标为、、、、（代换法推导）. 知识点2：正弦函数的性质 一、核心知识点：正弦函数的核心性质（以，为例） 1.定义域与值域 推导过程： 定义域：由正弦函数的定义（任意角的正弦值均可通过单位圆或三角函数线确定）可知，可取任意实数，故定义域为. 值域：从单位圆的正弦线分析，正弦线的长度最大为单位圆半径1，最小为-1，且能取到区间内的所有值，因此值域为；当且仅当（）时，；当且仅当（）时，. 2.周期性 推导过程： 周期定义：对于函数，若存在非零常数，使得对任意定义域，都有，则为函数的周期. 正弦函数的周期性：由诱导公式（）可知，均为的周期；进一步观察图像，发现不存在比更小的正周期，因此最小正周期. 3.奇偶性 推导过程：根据奇偶性的定义，判断与的关系.对于，，由诱导公式可知，且定义域关于原点对称，因此是奇函数，其图像关于原点中心对称. 4.单调性 推导过程：结合正弦曲线的升降趋势分析： 在内，正弦曲线从上升到，再下降到，最后上升到，因此单调递增区间为，单调递减区间为. 结合周期性拓展到全体实数：将上述区间沿轴平移（），得到：单调递增区间为（）；单调递减区间为（）. 5.对称性 推导过程：结合奇偶性和图像特征分析： 中心对称：由奇偶性可知，是奇函数，其图像关于原点中心对称；结合周期性拓展，所有对称中心坐标为（），即对于任意，点是函数图像的对称中心. 轴对称：观察正弦曲线，在处，图像左右对称，且时函数取得最大值1；结合周期性拓展，所有对称轴方程为（），即对于任意，直线是函数图像的对称轴. 二、易错辨析 易错点1：混淆正弦函数的对称中心和对称轴.例如将对称中心误记为对称轴，或把对称轴误记为对称中心.辨析：对称中心是函数图像绕该点旋转180°后与原图像重合的点（在x轴上），对称轴是函数图像沿该直线折叠后与原图像重合的直线（垂直于x轴），可结合图像辅助记忆. 易错点2：单调性区间书写不规范.例如遗漏，或把闭区间写成开区间.辨析：正弦函数在单调区间的端点处连续，端点属于单调区间，因此需用闭区间；不可遗漏，否则仅表示一个周期内的单调区间. 易错点3：求最值时忽略.例如仅写出时，未考虑周期性.辨析：正弦函数的最值在每个周期内均会出现，因此需加上（）表示所有取最值的x值. 易错点4：判断奇偶性时忽略定义域对称性.例如认为（）是奇函数.辨析：奇偶性的前提是定义域关于原点对称，不关于原点对称，因此该区间内的正弦函数不具有奇偶性. 三、概念比较：正弦函数性质的关联与区别 性质类型 核心特征 关联性质 周期性 图像周期性重复，最小正周期 单调性、对称性均具有周期性，可由一个周期内的性质拓展到全体实数 奇偶性 关于原点中心对称， 是中心对称性的特殊情况（对称中心为原点） 单调性 在特定区间内单调升降，区间间隔 单调区间的端点对应函数的最值点，与值域直接相关 对称性 既有中心对称，又有轴对称 轴对称的对称轴均过函数的最值点，中心对称的对称中心均在x轴上 四、重点记忆+常考结论 重点记忆1：正弦函数（）的核心性质汇总：定义域，值域，最小正周期，奇函数，单调递增区间（），单调递减区间（），对称中心（），对称轴（）. 重点记忆2：取最值的条件：（）；（）. 常考结论1：若，则（）；若，则（）；若，则（）. 常考结论2：正弦函数在一个周期内的图像与x轴有3个交点，分别为、、，对应全体实数范围内的交点即为对称中心（）. 常考结论3：利用单调性比较大小：同名正弦函数值比较大小，需将自变量转化到同一单调区间内，再根据单调性判断.例如比较与，可将和转化到（单调递减区间），因，故. 知识点3：正弦型函数核心性质 一、核心知识精讲 基础铺垫：正弦型函数的图像是由经“伸缩、平移”变换得到.其性质与参数、、、密切相关.各参数几何意义：（振幅）影响图像纵向伸缩.（角频率）决定周期.（相位）影响左右平移.（纵向平移量）决定图像上下位置. （一）周期性 1.定义：对于函数.若存在非零常数.使得对定义域内任意.都有.则称为函数的一个周期；其中最小的正数称为最小正周期（高频考点.需熟记）. 2.核心公式：最小正周期 3.推导思路：由基本函数的最小正周期为.当变为（横坐标伸缩变换）时.周期变为原来的倍.故得. 4.典例点拨：求的最小正周期. 解析：由公式得. （二）单调性 1.解题核心：“整体换元法”——将视为整体变量.转化为基本函数的单调性问题求解. 2.基础依托：的单调区间（） 增区间：；减区间： 3.求解步骤： ①当时.直接解不等式： 增区间：（）.整理得的范围； 减区间：（）.整理得的范围； ②当时.先提取负号将化为正数（如）.再求反向单调区间（原函数增区间对应转化后函数的减区间）. 4.典例点拨：求的增区间. 解析：先转化为.求原函数增区间即求的减区间. 解不等式（）.得（）.即为原函数增区间. （三）奇偶性 1.前提条件：函数定义域必须关于原点对称（若定义域不关于原点对称.函数一定是非奇非偶函数.此为易错点）. 2.判定结论（）： ①奇函数：满足.等价条件为.此时函数可化为； ②偶函数：满足.等价条件为.此时函数可化为； 3.典例点拨：判断的奇偶性. 解析：定义域为（关于原点对称）..满足偶函数条件.故为偶函数.验证：.而是偶函数. （四）对称性 正弦型函数图像既是轴对称图形.也是中心对称图形.对称性可通过“整体换元”结合的对称性推导. 1.对称轴（过函数最值点的直线）： 推导：由的对称轴为（）.令.解得对称轴方程：（） 2.对称中心（函数图像与平衡线的交点）： 推导：由的对称中心为（）.令.解得对称中心坐标：（） 3.典例点拨：求的对称轴和对称中心. 解析：①对称轴：令.解得（）； ②对称中心：令.解得.纵坐标为.故对称中心为（）. 二、易错警示（高频易错点突破） （一）周期性常见错误 1.公式遗漏绝对值：误将周期记为.忽略的正负性；正确公式必须带绝对值.周期恒为正数. 2.周期定义理解偏差：认为“存在某个满足即可”.实际需对定义域内所有成立. 3.复合函数周期错判：如的周期为（是原正弦函数周期的一半）.易误记为. （二）单调性常见错误 1.忽略符号影响：当时.未反转不等式方向.导致单调区间求解错误. 2.未结合定义域限制：求解出的单调区间需是函数定义域的子集.若有定义域范围（如）.需截取对应部分. （三）奇偶性常见错误 1.跳过定义域判断：直接代入判断.忽略定义域是否关于原点对称. 2.颠倒奇偶性条件：误将作为奇函数条件.作为偶函数条件. （四）对称性常见错误 1.混淆对称轴与对称中心条件：误将对称轴条件记为.对称中心条件记为. 2.忽略对称中心纵坐标：误将对称中心纵坐标记为.实际应为纵向平移量. 三、核心速记手册 （一）必背公式 1.最小正周期： 2.单调区间（，）：增区间：；减区间： 3.奇偶性条件（）：奇函数：；偶函数： 4.对称性（）：对称轴：；对称中心： （二）关键结论 1.与周期成反比：越大.周期越小；越小.周期越大. 2.的正负不影响单调区间的位置.仅影响函数值的增减幅度. 3.对称轴必过函数最值点（或）.对称中心必在平衡线上. 【题型1 五点法作正弦（型）函数图像】 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）利用正弦线画出，的图像. （2）结合，的图像，最高点__________，最低点__________，与轴的交点__________，__________，__________. 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出，的简图. 变式1．（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出函数 的简图；并说明该图像如何由正弦曲线的相关部分通过图像变换得到. 【题型2 含绝对值的正弦函数图像】 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 例2.（23-24高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 变式2．（2024高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【题型3 求正弦（型）函数的单调性】 例1．（23-24高三上·上海·期末）已知. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调减区间. 例2.（25-26高三上·上海闵行·期中）求函数在的单调递增区间 . 变式1．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 变式2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ． 【题型4 解正弦不等式（求正弦型函数的定义域）】 例1．（24-25高一下·上海杨浦·月考）函数的定义域与值域的交集为 . 例2.（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 ． 变式1．（23-24高一上·河北邢台·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）函数的定义域为 ． 【题型5 求正弦（型）函数的值域】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 例2.（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 变式1．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 变式2．（24-25高一下·上海·期中）函数，的值域为 ． 【题型6 由正弦（型）函数的值域最值求参数】 例1．（25-26高三上·上海·期中）已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 . 例2.（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 换元法求正弦（型）函数的最值】 例1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ． 例2.（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是 ． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 . 【题型8 求正弦（型）函数的奇偶性】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 例2.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 变式2．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【题型9 求正弦（型）函数的周期性（注意含绝对值类型）】 例1．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 . 例2.（25-26高三上·上海·期中）函数的最小正周期为 . 变式1．（24-25高一·上海·课堂例题）函数的最小正周期是 ． 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期. (1)； (2)； (3). 【题型10 求正弦（型）函数的对称轴，对称中心】 例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 例2.（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 . 变式1．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．（24-25高一下·上海·月考）函数图像的对称轴方程是 . 【题型11 正弦（型）函数的零点/方程的根与不等式】 例1．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的解析式并求其单调递减区间； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 例2.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 变式1．（24-25高二下·上海·月考）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)设，若关于的方程在上有唯一解，求的取值范围． 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 一、核心知识框架 （一）正弦函数的图像 1.绘制方法 几何法：单位圆→正弦线→平移→连线（精确作图） 五点法：关键五点、、、、→描点→连线（快速作图） 2.图像特征：波浪线，关于原点对称，在之间波动，周期重复 （二）正弦函数的性质（，） 1.定义域： 2.值域：，最值条件： （） （） 3.周期性：最小正周期，周期通式（，） 4.奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称 5.单调性（）： 递增区间： 递减区间： 6.对称性（）： 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴 二、核心考点梳理 1.图像绘制：用五点法快速画指定区间内的正弦函数简图 2.性质应用： 求最值及对应的取值集合 判断单调性及求解单调区间 利用奇偶性、周期性化简或求值 判断对称性（对称中心、对称轴） 3.比较大小：利用单调性比较同名正弦函数值的大小（转化到同一单调区间） 4.解方程：求解（）的解 三、易错提醒（核心记忆要点） 1.五点法关键点坐标不可混淆，平移单位为（） 2.单调区间、对称中心/轴需标注，不可遗漏 3.判断奇偶性需先验证定义域关于原点对称 4.比较大小需先将自变量转化到同一单调区间 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·月考）已知函数，下列选项中错误的是（   ）. A．函数在上为严格增函数 B．对任意，都有 C．函数在上的值域是 D．若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为 3．（25-26高三上·上海·期中）数学中一般用表示，中的较小值.关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称： ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中是真命题的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（24-25高一上·上海·课前预习）在正弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 5．（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是 . 6．（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 . 7．（24-25高三上·上海·月考）方程，其中，则方程的解为 ． 8．（24-25高一下·上海·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数．在中，，且，则 ． 10．（2024·陕西渭南·一模）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·广东广州·期末）方程在上的实数解之和为 . 12．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 13．（24-25高一下·上海虹口·月考）函数的定义域 三、解答题 14．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和. 15．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期： (1)，； (2)，. 16．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线是函数的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在上的最大值和最小值. 17．（25-26高二上·河北保定·月考）已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 18．（25-26高二上·上海·期中）已知函数，其中． (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的严格增区间； (2)当时，若对任意，都有，求实数的取值范围． 19．（25-26高三上·上海松江·期中）已知. (1)的周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，，求的值域. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的零点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 正弦函数的图像与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：正弦函数的图像 一、核心知识点：正弦函数图像的绘制方法 1.几何法（精确作图） 推导过程：利用单位圆中的正弦线来绘制正弦函数（）的图像，步骤如下： 1.作单位圆：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作半径为1的单位圆. 2.等分单位圆：从单位圆与轴正半轴的交点开始，将单位圆平均分成12等份，对应角度分别为. 3.作正弦线：过每个等分点作轴的垂线，垂足为轴上对应的角度点，垂线段的长度（向上为正，向下为负）即为该角度的正弦值，这些垂线段就是正弦线（如角度的正弦线是从到的线段）. 4.平移正弦线：在轴上，将区间也平均分成12等份，对应标注各角度值，把每个角度对应的正弦线平移到轴上相应的角度位置，使正弦线的起点与该角度点重合，终点即为正弦函数图像上的点. 5.连线：用光滑的曲线将所有正弦线的终点依次连接，得到在上的图像. 6.拓展到全体实数：根据诱导公式（），将上的图像沿轴正、负方向每次平移个单位长度，即可得到（）的完整图像，称为正弦曲线. 2.五点法（快速作图） 推导过程：观察在上的图像，发现有5个关键点决定了图像的基本形状，这5个点分别是图像的起点、最高点、零点、最低点、终点，通过描出这5个点并光滑连线，可快速画出正弦函数的简图，步骤如下： 1.确定关键点：在内，5个关键点的坐标为、、、、. 2.描点：在平面直角坐标系中准确描出这5个点. 3.连线：用光滑的曲线将5个点依次连接，得到上的正弦函数简图. 4.拓展：同样利用周期性平移，得到全体实数范围内的正弦曲线. 二、易错辨析 易错点1：用五点法作图时，混淆关键点坐标.例如将误写为，或遗漏角度的周期性.辨析：牢记5个关键点的“横标等差、纵标特征”——横标间隔，纵标依次为0、1、0、-1、0，对应图像的升降、极值位置. 易错点2：几何法作图时，将正弦线的方向或长度搞错.辨析：正弦线的方向由角度所在象限决定（第一、二象限为正，第三、四象限为负），长度等于对应角度正弦值的绝对值，且最大长度为1（单位圆半径）. 易错点3：平移图像时，平移单位错误.例如认为平移个单位即可重复图像.辨析：正弦函数的最小正周期是，只有平移（）个单位，图像才会完全重合. 三、概念比较：几何法与五点法的区别与联系 比较维度 几何法 五点法 精度 高，可精确画出每一点的位置 低，仅能画出近似简图 步骤复杂度 复杂，需作单位圆、正弦线、平移等多步 简单，仅需找5个关键点、描点连线 适用场景 理解正弦函数图像的起源、精确研究局部性质 快速解题、粗略分析函数变化趋势 联系 五点法的5个关键点本质是几何法中“正弦线端点的特殊位置”，两者均基于正弦函数的周期性和值域限制 四、重点记忆+常考结论 重点记忆：5个关键点的坐标是核心，必须熟练默写：、、、、. 常考结论1：正弦曲线是“波浪线”，关于原点对称，在和之间波动，无间断点. 常考结论2：用五点法画（）在上的图像时，关键点坐标为、、、、（代换法推导）. 知识点2：正弦函数的性质 一、核心知识点：正弦函数的核心性质（以，为例） 1.定义域与值域 推导过程： 定义域：由正弦函数的定义（任意角的正弦值均可通过单位圆或三角函数线确定）可知，可取任意实数，故定义域为. 值域：从单位圆的正弦线分析，正弦线的长度最大为单位圆半径1，最小为-1，且能取到区间内的所有值，因此值域为；当且仅当（）时，；当且仅当（）时，. 2.周期性 推导过程： 周期定义：对于函数，若存在非零常数，使得对任意定义域，都有，则为函数的周期. 正弦函数的周期性：由诱导公式（）可知，均为的周期；进一步观察图像，发现不存在比更小的正周期，因此最小正周期. 3.奇偶性 推导过程：根据奇偶性的定义，判断与的关系.对于，，由诱导公式可知，且定义域关于原点对称，因此是奇函数，其图像关于原点中心对称. 4.单调性 推导过程：结合正弦曲线的升降趋势分析： 在内，正弦曲线从上升到，再下降到，最后上升到，因此单调递增区间为，单调递减区间为. 结合周期性拓展到全体实数：将上述区间沿轴平移（），得到：单调递增区间为（）；单调递减区间为（）. 5.对称性 推导过程：结合奇偶性和图像特征分析： 中心对称：由奇偶性可知，是奇函数，其图像关于原点中心对称；结合周期性拓展，所有对称中心坐标为（），即对于任意，点是函数图像的对称中心. 轴对称：观察正弦曲线，在处，图像左右对称，且时函数取得最大值1；结合周期性拓展，所有对称轴方程为（），即对于任意，直线是函数图像的对称轴. 二、易错辨析 易错点1：混淆正弦函数的对称中心和对称轴.例如将对称中心误记为对称轴，或把对称轴误记为对称中心.辨析：对称中心是函数图像绕该点旋转180°后与原图像重合的点（在x轴上），对称轴是函数图像沿该直线折叠后与原图像重合的直线（垂直于x轴），可结合图像辅助记忆. 易错点2：单调性区间书写不规范.例如遗漏，或把闭区间写成开区间.辨析：正弦函数在单调区间的端点处连续，端点属于单调区间，因此需用闭区间；不可遗漏，否则仅表示一个周期内的单调区间. 易错点3：求最值时忽略.例如仅写出时，未考虑周期性.辨析：正弦函数的最值在每个周期内均会出现，因此需加上（）表示所有取最值的x值. 易错点4：判断奇偶性时忽略定义域对称性.例如认为（）是奇函数.辨析：奇偶性的前提是定义域关于原点对称，不关于原点对称，因此该区间内的正弦函数不具有奇偶性. 三、概念比较：正弦函数性质的关联与区别 性质类型 核心特征 关联性质 周期性 图像周期性重复，最小正周期 单调性、对称性均具有周期性，可由一个周期内的性质拓展到全体实数 奇偶性 关于原点中心对称， 是中心对称性的特殊情况（对称中心为原点） 单调性 在特定区间内单调升降，区间间隔 单调区间的端点对应函数的最值点，与值域直接相关 对称性 既有中心对称，又有轴对称 轴对称的对称轴均过函数的最值点，中心对称的对称中心均在x轴上 四、重点记忆+常考结论 重点记忆1：正弦函数（）的核心性质汇总：定义域，值域，最小正周期，奇函数，单调递增区间（），单调递减区间（），对称中心（），对称轴（）. 重点记忆2：取最值的条件：（）；（）. 常考结论1：若，则（）；若，则（）；若，则（）. 常考结论2：正弦函数在一个周期内的图像与x轴有3个交点，分别为、、，对应全体实数范围内的交点即为对称中心（）. 常考结论3：利用单调性比较大小：同名正弦函数值比较大小，需将自变量转化到同一单调区间内，再根据单调性判断.例如比较与，可将和转化到（单调递减区间），因，故. 知识点3：正弦型函数核心性质 一、核心知识精讲 基础铺垫：正弦型函数的图像是由经“伸缩、平移”变换得到.其性质与参数、、、密切相关.各参数几何意义：（振幅）影响图像纵向伸缩.（角频率）决定周期.（相位）影响左右平移.（纵向平移量）决定图像上下位置. （一）周期性 1.定义：对于函数.若存在非零常数.使得对定义域内任意.都有.则称为函数的一个周期；其中最小的正数称为最小正周期（高频考点.需熟记）. 2.核心公式：最小正周期 3.推导思路：由基本函数的最小正周期为.当变为（横坐标伸缩变换）时.周期变为原来的倍.故得. 4.典例点拨：求的最小正周期. 解析：由公式得. （二）单调性 1.解题核心：“整体换元法”——将视为整体变量.转化为基本函数的单调性问题求解. 2.基础依托：的单调区间（） 增区间：；减区间： 3.求解步骤： ①当时.直接解不等式： 增区间：（）.整理得的范围； 减区间：（）.整理得的范围； ②当时.先提取负号将化为正数（如）.再求反向单调区间（原函数增区间对应转化后函数的减区间）. 4.典例点拨：求的增区间. 解析：先转化为.求原函数增区间即求的减区间. 解不等式（）.得（）.即为原函数增区间. （三）奇偶性 1.前提条件：函数定义域必须关于原点对称（若定义域不关于原点对称.函数一定是非奇非偶函数.此为易错点）. 2.判定结论（）： ①奇函数：满足.等价条件为.此时函数可化为； ②偶函数：满足.等价条件为.此时函数可化为； 3.典例点拨：判断的奇偶性. 解析：定义域为（关于原点对称）..满足偶函数条件.故为偶函数.验证：.而是偶函数. （四）对称性 正弦型函数图像既是轴对称图形.也是中心对称图形.对称性可通过“整体换元”结合的对称性推导. 1.对称轴（过函数最值点的直线）： 推导：由的对称轴为（）.令.解得对称轴方程：（） 2.对称中心（函数图像与平衡线的交点）： 推导：由的对称中心为（）.令.解得对称中心坐标：（） 3.典例点拨：求的对称轴和对称中心. 解析：①对称轴：令.解得（）； ②对称中心：令.解得.纵坐标为.故对称中心为（）. 二、易错警示（高频易错点突破） （一）周期性常见错误 1.公式遗漏绝对值：误将周期记为.忽略的正负性；正确公式必须带绝对值.周期恒为正数. 2.周期定义理解偏差：认为“存在某个满足即可”.实际需对定义域内所有成立. 3.复合函数周期错判：如的周期为（是原正弦函数周期的一半）.易误记为. （二）单调性常见错误 1.忽略符号影响：当时.未反转不等式方向.导致单调区间求解错误. 2.未结合定义域限制：求解出的单调区间需是函数定义域的子集.若有定义域范围（如）.需截取对应部分. （三）奇偶性常见错误 1.跳过定义域判断：直接代入判断.忽略定义域是否关于原点对称. 2.颠倒奇偶性条件：误将作为奇函数条件.作为偶函数条件. （四）对称性常见错误 1.混淆对称轴与对称中心条件：误将对称轴条件记为.对称中心条件记为. 2.忽略对称中心纵坐标：误将对称中心纵坐标记为.实际应为纵向平移量. 三、核心速记手册 （一）必背公式 1.最小正周期： 2.单调区间（，）：增区间：；减区间： 3.奇偶性条件（）：奇函数：；偶函数： 4.对称性（）：对称轴：；对称中心： （二）关键结论 1.与周期成反比：越大.周期越小；越小.周期越大. 2.的正负不影响单调区间的位置.仅影响函数值的增减幅度. 3.对称轴必过函数最值点（或）.对称中心必在平衡线上. 【题型1 五点法作正弦（型）函数图像】 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）利用正弦线画出，的图像. （2）结合，的图像，最高点__________，最低点__________，与轴的交点__________，__________，__________. 【答案】（1）作图见解析；（2），，，， 【分析】（1）根据正弦线的作法，即可画出图象； （2）结合图象即可知道答案. 【详解】（1），的图像如图所示 （2）由图可知，的图像，最高点为，最低点为，与轴的交点为，， 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出，的简图. 【答案】答案见解析 【分析】根据已知解析式应用五点法列表画图即可. 【详解】列表： x 0 0 0 1 0 2 1 2 3 2 描点、连线，如图.    变式1．（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可. 【详解】（1）解：由，列表： 描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示.    （2）解：由，可得，列表如下： 1 －1 描点、连线，可得函数的图象，如图所述，    （3）解：列表: 0 0 1 0 -1 0 描点、连线，可得函数的图象，如图所示：      变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出函数 的简图；并说明该图像如何由正弦曲线的相关部分通过图像变换得到. 【答案】答案见解析 【分析】利用五点法列表作图即可. 【详解】列表： 0 0 1 0 0 0 0 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图. 图像可以由正弦曲线在的部分通过x轴对称得到. 【题型2 含绝对值的正弦函数图像】 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【答案】答案见解析 【分析】先作出，的图象，然后将x轴下方的部分翻转到x轴上方去可得答案. 【详解】解：作，的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得，的图象，如图所示. 例2.（23-24高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】在同一坐标系内画出与的图像，利用数形结合去求的取值范围 【详解】 则单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又， 又函数的图像与仅有两个不同交点， 则的取值范围是 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 【答案】图象见解析 【分析】列表，描点，画出图像，再结合函数的奇偶性，画出完整图像. 【详解】解：列表 x 0 0 1 0 -1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数,图像关于y轴对称，即可作出的图像. 变式2．（2024高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【答案】图象见解析 【分析】分类讨论确定分段函数解析式，结合正弦函数图象可作出函数图象. 【详解】， 的图象如下图所示， 【题型3 求正弦（型）函数的单调性】 例1．（23-24高三上·上海·期末）已知. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式化简，合并成的形式，再利用正弦型函数周期的求法可得答案； （2）利用正弦型函数单调性的求法可得答案. 【详解】（1）. 故该函数的最小正周期为. （2）. 由， 解得. 又因为， 考虑区间与的交集. 只有当时，上述两个集合的交集才非空， 且其交集为. 因此，函数的单调递减区间为. 例2.（25-26高三上·上海闵行·期中）求函数在的单调递增区间 . 【答案】和 【分析】首先求出函数在上的单调递增区间，再与取交集. 【详解】因为，令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 所以函数在的单调递增区间为和. 故答案为：和 变式1．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在上的减区间. 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 变式2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简，再应用正弦函数的增区间计算求解. 【详解】函数， 所以，所以， 所以函数的单调递增区间是， 故答案为：. 【题型4 解正弦不等式（求正弦型函数的定义域）】 例1．（24-25高一下·上海杨浦·月考）函数的定义域与值域的交集为 . 【答案】 【分析】先求得的定义域和值域，进而求得所求的交集. 【详解】由，解得， 所以定义域为. 由于，所以， 所以的值域为， 所以定义域与值域的交集为. 故答案为： 例2.（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得． 【详解】由题意，，又， 所以， 故答案为：． 变式1．（23-24高一上·河北邢台·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间. 【详解】令，可得． 当时，函数单调递增． 所以当时，单调递增． 故在上单调递增． 故选：A. 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】根据题意列出不等式，解出不等式即可． 【详解】由题意得，， 即 解得且，， 故定义域为：且， 故答案为：且． 【题型5 求正弦（型）函数的值域】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域． 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 例2.（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】因为偶函数，则①， 又为奇函数，则②， 由①－②，整理得，则，其中， 故当时，即时，的最大值为. 故答案为：. 变式1．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 【答案】 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由 恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 变式2．（24-25高一下·上海·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故答案为： 【题型6 由正弦（型）函数的值域最值求参数】 例1．（25-26高三上·上海·期中）已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 . 【答案】2 【分析】根据辅助角公式，可得，根据，可得或，根据正弦型函数的图象与性质，分析可得与间的最小距离为一个周期，根据周期公式，即可得答案. 【详解】由题意得， 因为，且， 所以或， 所以与间的最小距离为一个周期，即， 所以2. 故答案为：2 例2.（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得. 【详解】， 因为函数的最大值为3， 所以，（舍去）， 所以实数的值为. 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式辅助角公式化简函数解析式可得，令，可得在区间上的值域为，作函数图象，观察图象可求的最值，由此可得结论. 【详解】因为 所以， 所以 由可得，， 令，则在区间上的值域为， 作函数，，的图象如下： 令可得，，， 令可得，或，， 结合图象可得的最小值为，故的最小值为， 的最大值为，故的最大值为， 观察四个选项，只有选项D不满足， 故选：D. 变式2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 【题型7 换元法求正弦（型）函数的最值】 例1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由诱导公式得，设，结合二次函数图象即可求解． 【详解】，设， 则， 故答案为：． 例2.（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）利用的最大最小值即可求解； （2）由于，结合二次函数的值域求解即可； （3）利用的最大最小值即可求解； （4）由于，结合二次函数的值域求解即可. 【详解】（1）当时，即 时，函数取的最小值，最小值为； 当时，即 时，函数取的最大值，最大值为； 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为5，取最大值时对应的取值的集合为 （2）， 因为，所以当时，即 时，函数取最小值，， 当时，即 时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为3，取最大值时对应的取值的集合为 （3）因为， 所以当时，取最小值，， 当时，取最大值，， 综上，，取最小值时对应的取值集合为， ，取最大值时对应的取值集合为 （4）， 因为，所以当时，即 时，函数取最小值，， 当时，即或 时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为，取最大值时对应的取值的集合为 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 【分析】根据三角函数性质，与二次函数性质可得最值. 【详解】由已知， 设，即， 所以当，即，时，取最小值为； 当，即，时，取最大值为； 故答案为：，. 【题型8 求正弦（型）函数的奇偶性】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)奇函数；理由见解析 (2)偶函数；理由见解析 (3)偶函数；理由见解析 (4)非奇非偶函数；理由见解析 【分析】先求出函数的定义域，求出，然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 则为奇函数. （2）函数的定义域为， ， 则为偶函数. （3）函数的定义域为， ， 则为偶函数 （4）函数的定义域为， ，所以不是奇函数 ，，则，则不是偶函数， 所以非奇非偶函数. 例2.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 变式2．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 【题型9 求正弦（型）函数的周期性（注意含绝对值类型）】 例1．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 例2.（25-26高三上·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】由二倍角的正弦公式化简，再由周期公式得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 变式1．（24-25高一·上海·课堂例题）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】由函数图象的变换性质求解． 【详解】函数的图象为的图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到上方，故周期减半，则函数的最小正周期为：， 故答案为： 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期. (1)； (2)； (3). 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（1）利用定义法求解最小正周期即可. （2）利用辅助角公式化简三角函数，再利用公式法求解最小正周期即可. （3）画出函数图象，求解最小正周期即可. 【详解】（1）∵， 即. ∴的最小正周期为. （2）， ∴最小正周期为. （3）作出的图象，如图. 由图象可知最小正周期为. 【题型10 求正弦（型）函数的对称轴，对称中心】 例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 例2.（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 . 【答案】， 【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解. 【详解】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心的变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 变式1．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 变式2．（24-25高一下·上海·月考）函数图像的对称轴方程是 . 【答案】（其中为整数）. 【分析】根据正弦函数的对称性，结合伸缩变换与平移变换的影响得出. 【详解】正弦函数的对称轴是直线（其中为整数）. 因为纵坐标的伸缩变换与上下平移变换均不影响水平方向的对称性. 函数的对称轴方程为（其中为整数）. 故答案为：为（其中为整数）. 【题型11 正弦（型）函数的零点/方程的根与不等式】 例1．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的解析式并求其单调递减区间； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调减区间 (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，进而结合周期公式求得，进而可得的解析式，再根据三角函数的性质求解单调递减区间； （2）转化问题为恰有3个不相等的实数根，进而结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】（1）由， 则最小正周期，即. 令， 解得， 则单调减区间. （2）因为，则， 当时，， 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为. 例2.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得，根据正弦型函数的单调性得到不等式，解出即可； （2）根据题意，问题转化为，即，得或，结合，得解； （3）由，求出，当时，符合；当时，转化为，令，则，，利用单调性求出最大值得解. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 变式1．（24-25高二下·上海·月考）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)设，若关于的方程在上有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）进行三角恒等变换，将化简为，根据正弦函数的单调区间可求得的单调递增区间； （2）求出在上的值域，可得的取值范围． 【详解】（1）， 则递增区间为，． 所以所求单调递增区间为 （2）， ， 若关于的方程在上有唯一解， 则， ． 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，进而求正弦函数的最小正周期； （2）由正弦型函数的性质求增区间； （3）由题设在上有两个不同根，且，，应用差角余弦公式、二倍角正弦公式求函数值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期； （2）令，则，， 所以，增区间为，. （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以. 一、核心知识框架 （一）正弦函数的图像 1.绘制方法 几何法：单位圆→正弦线→平移→连线（精确作图） 五点法：关键五点、、、、→描点→连线（快速作图） 2.图像特征：波浪线，关于原点对称，在之间波动，周期重复 （二）正弦函数的性质（，） 1.定义域： 2.值域：，最值条件： （） （） 3.周期性：最小正周期，周期通式（，） 4.奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称 5.单调性（）： 递增区间： 递减区间： 6.对称性（）： 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴 二、核心考点梳理 1.图像绘制：用五点法快速画指定区间内的正弦函数简图 2.性质应用： 求最值及对应的取值集合 判断单调性及求解单调区间 利用奇偶性、周期性化简或求值 判断对称性（对称中心、对称轴） 3.比较大小：利用单调性比较同名正弦函数值的大小（转化到同一单调区间） 4.解方程：求解（）的解 三、易错提醒（核心记忆要点） 1.五点法关键点坐标不可混淆，平移单位为（） 2.单调区间、对称中心/轴需标注，不可遗漏 3.判断奇偶性需先验证定义域关于原点对称 4.比较大小需先将自变量转化到同一单调区间 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 2．（25-26高三上·上海·月考）已知函数，下列选项中错误的是（   ）. A．函数在上为严格增函数 B．对任意，都有 C．函数在上的值域是 D．若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为 【答案】D 【分析】根据正弦函数的单调性、值域、图象和性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为函数，当时， ，根据正弦函数的图象可知，此时函数是严格增函数，所以A正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以， 所以根据正弦函数的图象和性质可得，其值域为，所以C正确； 对于D，令，则，解得. 当时，；当时，；当时，； 若函数在上恰有2个零点，则，所以D错误. 故选：D. 3．（25-26高三上·上海·期中）数学中一般用表示，中的较小值.关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称： ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中是真命题的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意作出函数的图象，结合图象确定函数的性质，进而判断各个命题的真假性． 【详解】因为，， 根据题意作出的部分图象如图所示(图中实线部分)， 由图象可知的最小正周期为，故①错误； 由图可知的图象的对称轴位于两条正弦曲线的交点处， 由得， 所以，时，，所以②正确； 当时，取得最大值1，且容易看出的最小值为， 所以的值域为，故③错误； 当时，， 此时，可得在区间上单调递增，故④正确； 综上所述：真命题的个数是2. 故选：B． 二、填空题 4．（24-25高一上·上海·课前预习）在正弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 【答案】 ，，，， 【分析】根据“五点法”作图，直接写出答案即可. 【详解】，，，， 5．（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式，得到，再利用正弦型函数单调区间的求法可得到答案. 【详解】， ， 令， 解得：， 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出正弦函数的图象，再结合图象求解不等式. 【详解】画出，的草图如下：    当时，由，得，又， 观察图象，当时， 所以不等式的解集是. 故答案为： 7．（24-25高三上·上海·月考）方程，其中，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的图像和性质找到正弦值为时所对应的角度，结合范围即可确定方程的解. 【详解】对于方程，则有或， 解得或， ， 符合题意. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的性质求出取值范围可得答案. 【详解】由题意，对任意，恒成立， 即恒成立， 因为，所以， 则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数．在中，，且，则 ． 【答案】 【分析】化简函数，根据题意，得到，进而求得，即可求解； 【详解】由函数， 因为，可得， 在中，因为，所以， 又因为，所以，所以，解得， 因为，所以. 故答案为：. 10．（2024·陕西渭南·一模）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先利用降幂公式，辅助角公式，化简等式为，并求的范围，转化为函数在上的图象有交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】， 即，即 设，则在上有实数根， 在上的图象有交点，如图 由于，由图象可知，，即． 故答案为： 11．（24-25高一上·广东广州·期末）方程在上的实数解之和为 . 【答案】. 【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， 即，解得或， 因为，所以或或或或， 所以方程在区间上的解集为. 它们的和为 故答案为：. 12．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 【答案】3 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海虹口·月考）函数的定义域 【答案】 【分析】由题意得解出即可. 【详解】由题意有，解得， 所以， 故答案为：. 三、解答题 14．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和. 【答案】(1) . (2) 【分析】(1)利用正弦函数在上的单调性比较大小； (2)利用正弦函数在在上的单调性比较大小. 【详解】（1）因为， 正弦函数在区间上是增函数, 所以 . （2）， ，又， 正弦函数在区间上是增函数, 所以，即. 15．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期： (1)，； (2)，. 【答案】(1) (2) 【分析】利用三角函数最小正周期的公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期为； （2）因为，所以函数的最小正周期为. 16．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线是函数的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据给定的对称轴，结合正弦函数的图象与性质列式求解即得. （2）化简，再利用正弦函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）直线是函数的一条对称轴， 所以， 解得，由可得， 所以. （2） 令，由， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 即在上的最大值为，最小值为. 17．（25-26高二上·河北保定·月考）已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简函数，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【详解】（1）根据题意，函数， 化简得 因为的最大值为1，已知函数的最大值为1， 所以，解得 （2）由（1）可知，函数， 由 解得 所以函数的单调递减区间为； （3）由，得，即， 所以 解得 因此，成立的的取值集合是. 18．（25-26高二上·上海·期中）已知函数，其中． (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的严格增区间； (2)当时，若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式，辅助角公式化简函数的解析式.根据的最小正周期为，求得的值，利用整体代换法求得函数的单调区间； （2）根据条件确定函数的解析式，根据求得的取值范围，利用函数单调性求得相对应的的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得：， 因为的最小正周期为，且， 则，解得，此时， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. （2）当时，， 若，则. 因为，可得， 即，解得， 令，即， 结合下图可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（25-26高三上·上海松江·期中）已知. (1)的周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，，求的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得. （2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可. 【详解】（1）依题意，，则，由，得，所以或，即或，所以的解集为 （2）时， ， . 所以的值域为 20．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的零点. 【答案】或 【分析】根据题意，解方程，求出的值，由函数零点的定义分析即可得答案. 【详解】根据题意，对于函数，则， 即，解得：或 ， 故函数的零点为或 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $