第09讲 向量的数量积（寒假预习讲义）高一数学沪教版

第09讲 平面向量的数量积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：核心概念 1.向量夹角：非零向量，，作，，则为与的夹角，范围；当时，称与垂直，记作. 2.数量积定义：若非零向量，的夹角为，则与的数量积（也叫内积）定义为；特别地，零向量与任一向量的数量积为. 3.投影：非零向量在方向上的投影为；同理，在方向上的投影为（投影为实数，可正、可负、可零）. 4.投影向量：非零向量在方向上的投影向量为（投影向量是与共线的向量）. 知识点2：核心性质（非零向量，，夹角为，为单位向量） 性质 公式 说明 单位向量关联性质 建立数量积与投影的直接关联，是投影的代数表达形式 垂直的充要条件 判断两向量垂直的核心依据，需注意前提是两向量均为非零向量（零向量与任一向量垂直为定义） 共线时的数量积 同向（）：；反向（）： 共线向量数量积的特殊情况，是判断向量同向/反向的辅助工具 自身数量积与模的关系 （可记作） 求向量模的核心公式，将向量模的计算转化为数量积运算 数量积模不等式 等号成立的充要条件是与共线（同向或反向） 知识点3：运算律（为实数，，，为向量） 1.交换律：（由定义可证，因与向量顺序无关）. 2.数乘结合律：（需注意的符号会影响向量方向，进而影响数量积符号）. 3.分配律：（可借助几何意义或代数推导证明，是展开多项式型向量运算的关键）. 4.常用展开式：；（由分配律推导得出，适用于向量模的关系推导）. 易错辨析 易错点 错误表现 正确结论 规避策略 数量积结果属性混淆 认为是向量，或误将数量积与向量线性运算结果属性等同 的结果是实数（可正、可负、可零），而向量线性运算（加、减、数乘）结果仍为向量 牢记核心口诀：“向量乘向量得数量，向量加减/数乘得向量”，从结果类型上快速区分 向量夹角范围错记 将夹角范围误记为，或用锐角、钝角替代完整范围，忽略（同向）、（反向）的情况 两向量夹角的标准范围是，其中和属于共线情况，非锐角或钝角 判断两向量夹角类型时，先明确“共线≠锐角/钝角”，先排除共线情况，再判断锐角（且不与同向）、钝角（且不与反向） 结合律与消去律误用 错误套用实数运算律，认为（结合律），或由推出（消去律） 数量积不满足结合律（与共线，与共线，与不共线时显然不相等）；无消去律（可推出，即，而非） 类比实数运算时，明确向量运算的特殊性，可通过举反例验证：如设，，，计算与，直观感受不相等 投影正负性忽略 认为投影一定是非负数，误将投影与“长度”等同 投影是实数，其符号由夹角决定：为锐角时投影为正，为钝角时投影为负，为直角时投影为零 紧扣投影定义式“”，结合余弦函数在上的符号变化规律（在正、零、负）记忆投影符号 零向量相关性质混淆 忽略零向量与任一向量垂直的定义，或在使用垂直充要条件时未考虑零向量情况 零向量与任一向量的数量积为，故零向量与任一向量垂直（定义）；非零向量垂直的充要条件才是 遇到向量垂直问题时，先明确向量是否为零向量，分类讨论，避免因忽略零向量导致结论片面 概念比较 概念组 概念1 概念2 核心区别 联系 数量积vs向量线性运算（加、减、数乘） 数量积（） 向量线性运算（，，） 结果为实数；结果为向量；运算符号不同（数量积用“”，线性运算用“+”“-”“”） 均属于向量运算，数量积可借助线性运算的分配律展开，如 投影vs投影向量 投影（） 投影向量（） 结果为实数，无方向；结果为向量，有方向（与共线）；二者类型不同 投影是投影向量的模长（考虑符号时，投影的绝对值是投影向量的模）；投影向量是投影与方向单位向量的乘积 向量垂直vs向量共线 垂直（） 共线（） 夹角，数量积；夹角或，数量积；二者是向量位置关系的不同特殊情况 均为两向量位置关系的特殊情形，除零向量外，垂直与共线无包含关系（零向量既与任一向量垂直，也与任一向量共线） 数量积“”vs数乘“” 数量积“”：两向量间的运算 数乘“”：实数与向量间的运算 运算对象不同（两向量vs实数+向量）；结果类型不同（实数vs向量）；运算符号不同（“”不可省略，数乘符号可省略） 二者均满足数乘结合律，即，建立了数乘与数量积的关联 四、重点记忆内容+常考结论 1.重点记忆清单（核心必背） 数量积定义式：（所有性质、运算的本源，必须熟练掌握）. 垂直充要条件：（高频考点，注意零向量的特殊情况）. 模与自身数量积的关系：（求向量模的唯一核心公式，将模转化为数量积计算）. 夹角公式：（注意，由的符号确定夹角类型）. 核心运算律：分配律及常用展开式（向量多项式运算的基础）. 2.常考结论（速记速用） 1.单位向量数量积：若，均为单位向量，则，且（常用于单位向量夹角、模的相关计算）. 2.三角形中的数量积：在中，（为的内角）；若，则为直角三角形（）. 3.向量模的最值结论：若（定值），（定值），则的最大值为（当与同向时），最小值为（当与反向时）（由推导，取时达最值）. 4.数量积的最值结论：，最大值为（与同向，），最小值为（与反向，）. 5.平行四边形法则的代数表达：（可快速推导两向量模的平方和关系，无需单独计算数量积）. 6.共线向量数量积推论：若，则；反之，若，则（共线与数量积绝对值的双向等价关系）. 【题型1 用定义求平面向量的数量积】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）在等边中，是边上的点.若，则 . 例2．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则 ； 变式1．（24-25高一下·上海·期末）已知，，且与的夹角为，则 ． 变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为 ． 【题型2 平面向量数量积求模长】 例1．（23-24高一下·上海·期中）已知则 ． 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，则 ． 变式2．（24-25高二下·上海·期末）已知向量，的夹角为，，，则 . 【题型3 平面向量数量积求夹角】 例1．（25-26高二上·上海·月考）已知平面向量满足，且，则 . 例2．（25-26高二上·上海·开学考试）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则 ． 变式2．（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ． 【题型4 平面向量表示垂直关系】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 例2．（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 【题型5 已知模长或夹角求参数】 例1．（23-24高一下·上海·月考）已知平面向量，的夹角为，且，，，． (1)若，求λ； (2)当，求． 例2．（24-25高二上·上海金山·期中）已知向量和的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高三上·上海松江·期末）已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为 ． 变式2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 【题型6 平面向量的投影向量】 例1．（24-25高一下·上海·期末）设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为 . 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示) 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，若，则在方向上的数量投影为 . 【题型7 平面向量数量积的几何意义】 例1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图所示，，，写出向量、在方向上的数量投影． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 一、核心知识脉络梳理 根节点：数量积的本质 核心定位：向量的“乘法”运算，结果为实数（区别于线性运算的向量结果），兼具几何意义（投影乘积）与代数意义（可运算性），是连接向量与实数的桥梁. 一级分支1：基础核心概念（必背） 向量夹角：定义（，时）+范围（）+特殊角（同向、反向、垂直） 数量积定义：（非零向量）；零向量与任一向量数量积为0 投影相关：投影（，实数）、投影向量（与被投影方向共线的向量） 一级分支2：核心性质（解题关键工具） 关联性质：与单位向量的数量积（，连接数量积与投影） 位置关系判定：垂直（）、共线（） 模的计算：（核心公式，将模转化为数量积） 不等关系：（等号成立条件：共线） 一级分支3：运算律（代数运算基础） 三大核心律：交换律（）、数乘结合律（）、分配律（） 常用展开式：、、 一级分支4：应用（考点落脚点） 求夹角：（注意范围与符号匹配） 求模长：直接用，间接用展开式求 判定位置关系：垂直、共线的数量积判定 最值问题：模的最值、数量积的最值（利用共线时取极值）. 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（    ） A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误 C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·月考）单位向量满足，则 . 4．（23-24高三上·上海杨浦·月考）已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 . 5．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，，，则与的夹角为 ． 6．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，，，则在方向上的投影是 ． 8．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 9．（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 ． 10．（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 11．（24-25高一下·上海·月考）在边长为1的等边中，O为边AC的中点，，设.若，则的值为 ． 12．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知，，且在上的数量投影为，则 ． 13．（24-25高一下·上海·月考）已知单位向量的夹角为为原点，，则的面积为 ． 14．（24-25高二下·上海浦东新·期末）在中，，D在线段上（包括端点），则的取值范围是 ． 15．（2025·上海·一模）在中，是边的中点.若，，，则 ． 16．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ． 17．（25-26高三上·上海·期中）已知平面单位向量，满足，设，若与夹角为，则的取值范围是 ． 三、解答题 18．（24-25高一下·上海·期中）已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 19．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 20．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平面向量的数量积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：核心概念 1.向量夹角：非零向量，，作，，则为与的夹角，范围；当时，称与垂直，记作. 2.数量积定义：若非零向量，的夹角为，则与的数量积（也叫内积）定义为；特别地，零向量与任一向量的数量积为. 3.投影：非零向量在方向上的投影为；同理，在方向上的投影为（投影为实数，可正、可负、可零）. 4.投影向量：非零向量在方向上的投影向量为（投影向量是与共线的向量）. 知识点2：核心性质（非零向量，，夹角为，为单位向量） 性质 公式 说明 单位向量关联性质 建立数量积与投影的直接关联，是投影的代数表达形式 垂直的充要条件 判断两向量垂直的核心依据，需注意前提是两向量均为非零向量（零向量与任一向量垂直为定义） 共线时的数量积 同向（）：；反向（）： 共线向量数量积的特殊情况，是判断向量同向/反向的辅助工具 自身数量积与模的关系 （可记作） 求向量模的核心公式，将向量模的计算转化为数量积运算 数量积模不等式 等号成立的充要条件是与共线（同向或反向） 知识点3：运算律（为实数，，，为向量） 1.交换律：（由定义可证，因与向量顺序无关）. 2.数乘结合律：（需注意的符号会影响向量方向，进而影响数量积符号）. 3.分配律：（可借助几何意义或代数推导证明，是展开多项式型向量运算的关键）. 4.常用展开式：；（由分配律推导得出，适用于向量模的关系推导）. 易错辨析 易错点 错误表现 正确结论 规避策略 数量积结果属性混淆 认为是向量，或误将数量积与向量线性运算结果属性等同 的结果是实数（可正、可负、可零），而向量线性运算（加、减、数乘）结果仍为向量 牢记核心口诀：“向量乘向量得数量，向量加减/数乘得向量”，从结果类型上快速区分 向量夹角范围错记 将夹角范围误记为，或用锐角、钝角替代完整范围，忽略（同向）、（反向）的情况 两向量夹角的标准范围是，其中和属于共线情况，非锐角或钝角 判断两向量夹角类型时，先明确“共线≠锐角/钝角”，先排除共线情况，再判断锐角（且不与同向）、钝角（且不与反向） 结合律与消去律误用 错误套用实数运算律，认为（结合律），或由推出（消去律） 数量积不满足结合律（与共线，与共线，与不共线时显然不相等）；无消去律（可推出，即，而非） 类比实数运算时，明确向量运算的特殊性，可通过举反例验证：如设，，，计算与，直观感受不相等 投影正负性忽略 认为投影一定是非负数，误将投影与“长度”等同 投影是实数，其符号由夹角决定：为锐角时投影为正，为钝角时投影为负，为直角时投影为零 紧扣投影定义式“”，结合余弦函数在上的符号变化规律（在正、零、负）记忆投影符号 零向量相关性质混淆 忽略零向量与任一向量垂直的定义，或在使用垂直充要条件时未考虑零向量情况 零向量与任一向量的数量积为，故零向量与任一向量垂直（定义）；非零向量垂直的充要条件才是 遇到向量垂直问题时，先明确向量是否为零向量，分类讨论，避免因忽略零向量导致结论片面 概念比较 概念组 概念1 概念2 核心区别 联系 数量积vs向量线性运算（加、减、数乘） 数量积（） 向量线性运算（，，） 结果为实数；结果为向量；运算符号不同（数量积用“”，线性运算用“+”“-”“”） 均属于向量运算，数量积可借助线性运算的分配律展开，如 投影vs投影向量 投影（） 投影向量（） 结果为实数，无方向；结果为向量，有方向（与共线）；二者类型不同 投影是投影向量的模长（考虑符号时，投影的绝对值是投影向量的模）；投影向量是投影与方向单位向量的乘积 向量垂直vs向量共线 垂直（） 共线（） 夹角，数量积；夹角或，数量积；二者是向量位置关系的不同特殊情况 均为两向量位置关系的特殊情形，除零向量外，垂直与共线无包含关系（零向量既与任一向量垂直，也与任一向量共线） 数量积“”vs数乘“” 数量积“”：两向量间的运算 数乘“”：实数与向量间的运算 运算对象不同（两向量vs实数+向量）；结果类型不同（实数vs向量）；运算符号不同（“”不可省略，数乘符号可省略） 二者均满足数乘结合律，即，建立了数乘与数量积的关联 四、重点记忆内容+常考结论 1.重点记忆清单（核心必背） 数量积定义式：（所有性质、运算的本源，必须熟练掌握）. 垂直充要条件：（高频考点，注意零向量的特殊情况）. 模与自身数量积的关系：（求向量模的唯一核心公式，将模转化为数量积计算）. 夹角公式：（注意，由的符号确定夹角类型）. 核心运算律：分配律及常用展开式（向量多项式运算的基础）. 2.常考结论（速记速用） 1.单位向量数量积：若，均为单位向量，则，且（常用于单位向量夹角、模的相关计算）. 2.三角形中的数量积：在中，（为的内角）；若，则为直角三角形（）. 3.向量模的最值结论：若（定值），（定值），则的最大值为（当与同向时），最小值为（当与反向时）（由推导，取时达最值）. 4.数量积的最值结论：，最大值为（与同向，），最小值为（与反向，）. 5.平行四边形法则的代数表达：（可快速推导两向量模的平方和关系，无需单独计算数量积）. 6.共线向量数量积推论：若，则；反之，若，则（共线与数量积绝对值的双向等价关系）. 【题型1 用定义求平面向量的数量积】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）在等边中，是边上的点.若，则 . 【答案】14 【分析】应用平面向量数量积定义及数量积运算律计算求解. 【详解】在等边中，， 则. 故答案为：. 例2．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则 ； 【答案】 【分析】连接CE，由正八边形的性质与余弦定理求出AC，再由对称性得到AC与AE的关系，从而根据向量的数量积的运算公式求得结果. 【详解】连接CE，因为正八边形的每一个内角都是，且， 所以, 由正八边形的对称性知，且，所以， 则， 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海·期末）已知，，且与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】由向量数量积定义计算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故答案为： 变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据三点共线的性质可得，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为三点共线，且是上的三等分点， 由三点共线的性质可得， 同理因为三点共线，且是上的三等分点， 可得， 所以 . 故答案为：. 【题型2 平面向量数量积求模长】 例1．（23-24高一下·上海·期中）已知则 ． 【答案】10 【分析】利用平面向量的数量积运算求解. 【详解】因为，所以， 所以，故， ， 故答案为：10. 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】利用结合已知条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以 . 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】将平方，再根据向量的数量积进行运算即可. 【详解】根据题意， . 故答案为：1. 变式2．（24-25高二下·上海·期末）已知向量，的夹角为，，，则 . 【答案】1 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，将，，代入计算即可. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以 . 故答案为：1 【题型3 平面向量数量积求夹角】 例1．（25-26高二上·上海·月考）已知平面向量满足，且，则 . 【答案】 【分析】结合题意与平面向量数量积的定义得到，再结合求出夹角即可. 【详解】因为，所以， 可得，即， 得到， 解得，而，故. 故答案为： 例2．（25-26高二上·上海·开学考试）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因， 则， 可得； （2）因， ， 设向量与的夹角为， 则. 变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则 ，且不平行， 所以 ， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 【题型4 平面向量表示垂直关系】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求； （2）由向量的垂直表示及数量积的运算律列方程求参数值. 【详解】（1）由 ； （2）由题设， 所以，可得. 例2．（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律可得，即可由夹角公式求解. 【详解】因为，所以，解得， ， 由于，得到. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量定义计算即可判断A；由数量积定义和相等向量定义即可依次判断BC；由数量积运算律计算即可判断D. 【详解】对于A，由题在上的投影向量为，故A错误； 对于B，由题，故B错误； 对于C，两单位向量的方向不知，当两向量方向不同时不相等，故C错误； 对于D，，所以，故D正确. 故选：D 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 【答案】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知求参数值. 【详解】由题设，即. 故答案为： 【题型5 已知模长或夹角求参数】 例1．（23-24高一下·上海·月考）已知平面向量，的夹角为，且，，，． (1)若，求λ； (2)当，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，借助向量的数量积公式计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】（1）若，则有， 即， 即，即； （2）当时，， 则. 例2．（24-25高二上·上海金山·期中）已知向量和的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可求得的值； （2）利用平面向量的数量积可得出关于实数的二次不等式，解之即可. 【详解】（1）解：. （2）解：，则，即， 整理可得，解得或. 因此，实数的取值范围是. 变式1．（25-26高三上·上海松江·期末）已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律及夹角公式列式求解. 【详解】由两个非零向量、相互垂直，得，而， 则，， 因此， 解得，经验证符合题意， 所以实数k的值为. 故答案为： 变式2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，应用向量数量级的运算律及二次函数的性质求最小值，即可得. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立，即， 由， 对称轴，所以，所以. 故答案为： 【题型6 平面向量的投影向量】 例1．（24-25高一下·上海·期末）设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解 【详解】向量在方向上的投影为： 故答案为：-1 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为 . 【答案】 【分析】由题意可得在上的数量投影为，计算即可. 【详解】因为在上的数量投影为，且， 所以， 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示) 【答案】 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，若，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】由数量投影定义计算即可. 【详解】已知，， 则， 则在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【题型7 平面向量数量积的几何意义】 例1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得． 【详解】在方向上的数量投影为： 故答案为： ． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图所示，，，写出向量、在方向上的数量投影． 【答案】1， 【分析】根据向量、在方向上的数量投影公式直接计算即可． 【详解】解：在方向上的数量投影为：， 在方向上的数量投影为：． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【答案】. 【分析】连接，求出、与的夹角可得答案. 【详解】连接，由得O为的重心， A、B、C三点均匀分布在圆周上，为正三角形， 所以，， 所以在方向上的数量投影为.    变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果 【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值. 故选：D 一、核心知识脉络梳理 根节点：数量积的本质 核心定位：向量的“乘法”运算，结果为实数（区别于线性运算的向量结果），兼具几何意义（投影乘积）与代数意义（可运算性），是连接向量与实数的桥梁. 一级分支1：基础核心概念（必背） 向量夹角：定义（，时）+范围（）+特殊角（同向、反向、垂直） 数量积定义：（非零向量）；零向量与任一向量数量积为0 投影相关：投影（，实数）、投影向量（与被投影方向共线的向量） 一级分支2：核心性质（解题关键工具） 关联性质：与单位向量的数量积（，连接数量积与投影） 位置关系判定：垂直（）、共线（） 模的计算：（核心公式，将模转化为数量积） 不等关系：（等号成立条件：共线） 一级分支3：运算律（代数运算基础） 三大核心律：交换律（）、数乘结合律（）、分配律（） 常用展开式：、、 一级分支4：应用（考点落脚点） 求夹角：（注意范围与符号匹配） 求模长：直接用，间接用展开式求 判定位置关系：垂直、共线的数量积判定 最值问题：模的最值、数量积的最值（利用共线时取极值）. 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 故， ， 所以是直角三角形 故选：A. 2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（    ） A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误 C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误 【答案】B 【分析】根据向量加法的几何意义，有：，可得，因此题目条件自相矛盾，题目错误，答案错误． 【详解】根据向量加法的几何意义，有：， 代入已知条件，则， 但题目中给出的，互相矛盾， 因此题目条件自相矛盾，题目错误． 若强行按公式计算： ，解得， 虽然计算过程正确，但由于题目条件本身不成立，此结果无实际意义，答案错误． 综上，题目条件矛盾且答案无意义． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·月考）单位向量满足，则 . 【答案】 【分析】利用向量模的平方运算即可求数量积. 【详解】由， 故答案为： 4．（23-24高三上·上海杨浦·月考）已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 . 【答案】 【分析】利用数量积来计算投影数量即可. 【详解】因为且向量，的夹角为 所以， 则在方向上的投影数量为：， 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，，，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，可得，又，， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【答案】/ 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，，，则在方向上的投影是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量投影的定义求解. 【详解】依题意，由，得 所以在方向上的投影为. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可. 【详解】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的公式求出结果即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 所以. 故答案为：. 10．（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海·月考）在边长为1的等边中，O为边AC的中点，，设.若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用图形中向量的加减运算和共线运算可求出，再由向量的平方等于模的平方，可利用数量积求模长. 【详解】由题意：，. 由，可得， 又因为O为边AC的中点，所以， 而， 因为，所以， 即. 故. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知，，且在上的数量投影为，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的概念可得的值，再根据数量积与模长的关系求解即可. 【详解】因为，， 又在上的数量投影为，则， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海·月考）已知单位向量的夹角为为原点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据向量的运算可得 ，代入平面向量夹角公式计算 即 的值，再计算 的值，由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 的面积为 ， 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海浦东新·期末）在中，，D在线段上（包括端点），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积运算律结合模长化简，结合二次函数值域计算求解. 【详解】设，其中， 因为，所以， 则 故答案为：. 15．（2025·上海·一模）在中，是边的中点.若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理计算，再利用做基底计算即可. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 16．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 17．（25-26高三上·上海·期中）已知平面单位向量，满足，设，若与夹角为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及向量数量积的运算律求得且，进而求范围. 【详解】由题设，则，可得， 由， ， ， 由 ， 令，则， 而，所以的范围为. 故答案为： 三、解答题 18．（24-25高一下·上海·期中）已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 （2）在上的数量投影为. 19．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为 与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 20．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】(1)，． (2)的最大值为，． 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【详解】（1）平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． （2）根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $