精品解析：江苏省扬州中学2025-2026学年高二上学期12月自主学习评估数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年高二12月数学自主学习评估 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线（其中）必经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. . B. C. . D. 5. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ） A 98 B. 99 C. 100 D. 101 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A. B. C. D. 6 10. 以下命题正确的有（ ） A. 若等差数列满足，，则 B. 若数列满足，，则 C. 已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D. 若数列等比数列，为其前项和，，，则49 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 点在以线段为直径的圆上 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若方程表示双曲线，则m的取值范围是___________． 13. 已知复数满足，则范围是_____. 14. 在学完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求___________. 四、解答题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 77 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算 步骤 . 15. 已知复数（是虚数单位），. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16. 已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 17. 已知圆与直线，动直线过定点. （1）求直线关于点对称直线，并判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 19. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点(为坐标原点），求的面积的最小值； （3）设定点，过点T的直线交双曲线于两点，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年高二12月数学自主学习评估 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数四则运算法则计算即可． 【详解】， 故选：B． 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程； 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D 3. 直线（其中）必经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 4. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. . B. C. . D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知圆与圆的位置关系为相交，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】由题，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有两条公切线， 所以圆与圆的位置关系为相交， 所以，即 所以，即，解得或 所以实数的取值范围为 故选：B 5. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可. 【详解】由已知，数列通项，所以， 所以， 所以. 故选：C. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，运算勾股定理及离心率公式求解即可. 【详解】设，则， 由椭圆的定义可得，所以， 即，， 因为， 所以，即， 所以，所以. 故选：. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，令，数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，即可求解． 详解】根据题意，，设， ∴化简可得对照可得， ， 令，，又， ∴数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以， ，令，． 故选：D 8. 已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设线段的中点，求出以点为圆心，2为半径的圆，此圆与圆有公共点求出的取值范围即可求得最小值. 【详解】由点在直线上，且，设线段的中点， 由，得点在圆上， 圆的圆心，半径，而点在圆上， 即圆与圆有公共点，则，解得， 而，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当以线段的中点为圆心，2为半径的圆与圆外切时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】AC 【解析】 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 10. 以下命题正确的有（ ） A. 若等差数列满足，，则 B. 若数列满足，，则 C. 已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D. 若数列为等比数列，为其前项和，，，则49 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，先由等差数列首项与第四项求公差得通项，判断各项正负后计算绝对值的和，进而判断对错；选项B，根据递推公式求出前几项确定数列周期，利用周期计算的值；选项C，利用等差数列前项和公式结合、，判断出、，确定最大时的值；选项D，利用等比数列前项和的性质，列方程求解. 【详解】对于A：因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则，故A错误； 对于B，因为，， 则，，，， 所以数列是周期为周期数列，即， 所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数的值为8，故C正确. D选项，成等比数列， 所以，解得，D正确； 故选：BCD 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 点在以线段为直径的圆上 【答案】BD 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D. 【详解】对于A选项，如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 所以与全等，则， 因为，，， 所以， 则， 则，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B选项，设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， 因为，则，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 对于C选项，由上可知，直线的方程为， 设、， ，则， 联立，整理得， 则，所以，则， 所以，故C错误； 对于D选项，设线段的中点为， 则，，则， 由上可知，则， 又， 所以点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若方程表示双曲线，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次方程表示双曲线列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意，得，即的取值范围是. 故答案为： 13. 已知复数满足，则的范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义知复数对应的点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合目标式的几何意义，即可求得结果. 【详解】由，则复数对应的点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， ， 所以， 所以的范围是. 故答案为：. 14. 在学完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中数学方法，结合待定系数法进行求解即可. 详解】设， 左右对照可得，，解得， 所以， 则数列的前项和为： ， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 77 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算 步骤 . 15. 已知复数（是虚数单位），. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【小问1详解】 ， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. 【小问2详解】 若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 16. 已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据和的关系计算通项公式，再根据数列的递推公式证明为等差数列，结合已知条件计算公差，进而得通项公式； （2）利用裂项相消求数列的前n项和为，再适当变形即可证明. 【小问1详解】 ，故当时，； 当时，，满足上式， 所以，. 又，， 数列为等差数列，令其前项和为，则， ， 公差， ，. 【小问2详解】 由（1）知：， 故， ； ． 17. 已知圆与直线，动直线过定点. （1）求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）直线为，相离； （2）是，. 【解析】 【分析】（1）根据直线关于点对称，即有两直线平行且该点到两直线的距离相等，设直线，利用点到直线的距离公式列方程求参数，进而判断直线与圆的位置关系； （2）设的方程为，联立圆和直线求坐标，再应用向量数量积的坐标运算求，即可得结论. 【小问1详解】 点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线距离，所以直线和圆相离； 【小问2详解】 由题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得， 所以，则， ，则， ， 由，得，则， ， ， 为定值. 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； 【小问2详解】 （i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故最大值为，故. 19. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点(为坐标原点），求的面积的最小值； （3）设定点，过点T的直线交双曲线于两点，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. （3）设直线的方程为，联立化简可得，由条件化简可得，结合双曲线的范围可得结论. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 显然直线与轴不垂直，设：， 由双曲线的对称性知的中点为，故，   联立 故， 由于均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上，的面积的最小值为. 【小问3详解】 不妨设， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $