江苏省扬州中学2025-2026学年高二上学期12月自主学习评估数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年高二12月数学自主学习评估 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．（    ） A． B． C．1 D． 2．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（   ） A．. B． C．. D． 5．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 8.已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错 的得 0 分. 9．已知三条直线能构成三角形，实数可能为（   ） A． B． C． D．6 10．以下命题正确的有（    ） A．若等差数列满足，，则 B．若数列满足，，则 C．已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D．若数列为等比数列，为其前项和，，，则49 11.已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若方程表示双曲线，则m的取值范围是 ． 13．已知复数满足，则的范围是 . 14.在学完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求___________. 四、解答题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 77 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算 步骤 . 15．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16．已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220． (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 17．已知圆与直线，动直线过定点. (1)求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18．已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 19．已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 高二上学期12月自主学习评估数学参考答案 一、 单选题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 8.C.【详解】由点在直线上，且，设线段的中点， 由，得点在圆上， 圆的圆心，半径，而点在圆上， 即圆与圆有公共点，则，解得， 而，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当以线段的中点为圆心，2为半径的圆与圆外切时取等号，所以的最小值为2.故选：C. 二、 多选题 9.AC 10.BCD 11.BD 11.【BD详解】对于A选项，如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 所以与全等，则， 因为，，， 所以， 则， 则，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B选项，设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， 因为，则，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 对于C选项，由上可知，直线的方程为， 设、， ，则， 联立，整理得， 则，所以，则， 所以，故C错误； 对于D选项，设线段的中点为， 则，，则， 由上可知，则， 又， 所以点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BD. 三、 填空题 12.(-2,3） 13. 14. 14.【详解】设， 左右对照可得，解得 所以， 则数列的前项和为： ， 故. 四、 解答题 15.【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 16．【详解】（1），故当时，； 当时，，满足上式， 所以，. 又，， 数列为等差数列，令其前项和为，则， ， 公差， ，. （2）由（1）知：， 故， ； ． 17.【详解】（1）点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相离；   （2）由题意，直线的斜率存在且不等于3，设的方程为， 由，消去得， 所以，则， ，则， ， 由，得，则， ， ， 为定值. 18．【详解】（1）由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； （2）（i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 19．【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. （3）不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾，所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 第10页，共11页 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $