精品解析：山东省聊城市教育联盟共同体2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年第一学期第二次学情检测 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 有下列实数：，－π，3.141 59，，，12．其中无理数有(　　)． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如果分式的值为0，则的值应为（ ） A. 3 B. C. D. 9 5. 在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 7. 如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，若＝6，则△PMN的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 17 B. 13 C. 17或13 D. 12 9. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 12. 若，则________． 13. 若关于x的分式方程无解，则实数m=_______． 14. 如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______． 15. 如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为____． 16. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 三、解答题（本题包括7小题，共72分） 17. 解分式方程． （1）； （2） 18. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 19. 如图，两条公路相交，在A、B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等，请你找到一个这样的点． 20. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 21. 如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 22. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； 图1 （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期第二次学情检测 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的定义，关键是条件成立时，结论不成立； 若，则可能不成立，当但时即为反例，需找出满足此条件的选项． 【详解】解：选项A：，满足条件，满足结论，故不符合题意； 选项B：，不满足条件，故不符合题意； 选项C：，不满足条件，故不符合题意； 选项D：，满足条件，不满足结论，故符合题意； 因此，选项D能说明该命题是假命题． 故选：D． 3. 有下列实数：，－π，3.141 59，，，12．其中无理数有(　　)． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【详解】解：在下列实数中，是分数，3.14159是小数，=-3均是有理数， 所以无理数有-π，． 故选：A 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 4. 如果分式的值为0，则的值应为（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件． 分式的值为0需分子为0且分母不为0，解分子方程并排除分母为0的情况． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解得或且， ∴． 故选：B． 5. 在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定是直角三角形，故A选项不符合题意； B、，即， 根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故B选项不符合题意； C、，设， ， 根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故C选项不符合题意； D、 ， ， 不能判定是直角三角形，故D选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 7. 如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，若＝6，则△PMN的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得，，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解． 【详解】解：由轴对称的性质可得：OA垂直平分，OB垂直平分， ∴，， ∵，＝6， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 8. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 17 B. 13 C. 17或13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，非负数的性质，根据非负数的性质得到，则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：A． 9. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，求倒数． 先求出的倒数的值，再根据倒数的定义作答即可 【详解】解：的倒数为：， ∴． 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程无解，则实数m=_______． 【答案】3或7． 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理得：（m﹣3）x=4． ①当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3； ②当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1， ∴m﹣3=4，m=7． 综上所述：∴m的值为3或7． 故答案为3或7． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 14. 如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，， ， ， 点在x轴负半轴， 点C表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， ， B，C关于直线对称， ， ， 是等边三角形，点是边的中点， ， 最小值为4， 故答案为：4． 16. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 三、解答题（本题包括7小题，共72分） 17. 解分式方程． （1）； （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）两边乘化为整式方程，求解后检验即可； （2）原方程化为，两边乘化为整式方程，求解后检验即可． 【小问1详解】 解：， 两边乘得， ， ， ， 检验：当时，， 故是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 原方程化为， 两边乘得， ， ， ， 检验：当时，分母，故是增根，原方程无解． 18. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3），1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值． （1）先计算乘方，绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，，再计算乘法，最后计算加减即可； （3）先通分括号里的分式，计算减法，再计算除法，最后将代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：原式， 当时，原式． 19. 如图，两条公路相交，在A、B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等，请你找到一个这样的点． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】分别作出线段AB的垂直平分线、两条路构成的角的平分线，这两条线的交点即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查了基本作图，作图题是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 20. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程．设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，根据“同样用了元，购进的数量比第一次少了件”列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元． 21. 如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 【答案】 证明：如图，过点分别作于点，于点， 则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） ， 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）DE的长为4.75 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可； （2）连接，设，则，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，等边对等角，线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； 图1 （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图2 【答案】（1） 证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）； 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $