3 等比数列（第2课时 等比数列的前n项和）（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式，通过“贷款游戏”实例导入，对比小林等差数列收入与小明等比数列支出，引导学生从具体问题中抽象出求和需求，搭建从实例到公式推导的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，用错位相减法推导公式发展数学思维，结合高考真题训练提升应用能力。课堂小结系统梳理性质，学生能深化理解，教师可直接利用实例和分层题型优化教学。

1.3 等比数列(第2课时) 第一章 数列 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 1.2等差数列 等差数列的概念与通项公式 等差数列的前n项和公式 1.4数列的应用 数列在日常经济生活中的应用 数列的其他应用 1.3等比数列 等比数列的概念与通项公式 等比数列的前n项和公式 1.5数学归纳法 1.1数列的概念及其函数特性 数列的概念 数列的函数特性 学 习 目 标 1 2 3 理解等比数列前项和公式的推导逻辑(错位相减法).  掌握等比数列前项和公式，会用公式求和.  会用等比数列前项和公式解决实际问题(重点、难点). 读教材 阅读课本P27-P28，5分钟后完成下列问题： 1.等比数列的前项和公式是如何推导的？ 2.错位相减法的主要步骤是什么？ 3.公式为什么要区分公比的情况和的情况？ 我们一起来探究“等比数列”吧！ 学习过程 01 02 目录 1 等比数列的前项和 2 题型训练 实例分析 一天，小林和小明做"贷款"游戏，签订了一份合同，从签订合同之日起，在整整一个月(30天)中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元，第三天贷给小林3万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元．而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的2倍． 合同开始生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第二天，他支出2分钱，收入2万元；第三天，他支出4分钱，收入3万元……到了第10天，他共得到55万元，付出的总数只有10元2角3分．到了第20天，小林共得210万元，而小明才得到1048575分，共1万元多一点．小林想：要是合同订两个月、三个月那该多好！ 果真是这样好吗？ 实例分析 下面我们来计算一下双方得到的钱数． 设30天后，小林得到的钱数为（单位：万元），小明得到的钱数为（单位：分），则根据合同，有 ① 如何计算呢？ 由①式，可得 ②①，得 而可不是一个小数目！利用计算器计算，得 抽象概况 对首项为，公比为的等比数列，设 ① ①式的两边同乘，得 ② 错位相减法 ①②，得 即 当时，等比数列的前项和公式为 很明显，当时，由①式可得 抽象概况 等比数列的前项和公式为 等比数列的前项和 1、设等比数列的公比为，前项和为，则有如下的性质： (1)(其中各项均不为0)也成等比数列． (2)若数列的项数为,则若项数为,或. 你能尝试证明上述结论吗？ 抽象概况 证明 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列，并求这个数列的公比． 解：方法一：当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1． 因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn． 抽象概况 证明 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列，并求这个数列的公比． 解：方法二：Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝qn（a1＋a2＋…＋an）， 因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn． 结论：等比数列的公比，前项和为，则，成等比数列，公比为． 注：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立． 例题剖析 【例1】(1)已知等比数列中，．求; (2)求等比数列的前10项的和. 解:(1)由等比数列的前项和公式，得 (2)因为公比，所以 例题剖析 【例2】五州电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长．问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？（结果精确到1万元） 解:根据题意，可知每年的利润组成一个首项、公比的等比数列．所以从今年起第5年的利润为 这5年的总利润为 例题剖析 【例3】一个热气球在第1min上升了25m的高度，在以后的每1 min里，它上升的高度都是它在前1min上升高度的．这个热气球上升的高度能达到125m吗？ 解:用表示热气球在第 min上升的高度．由题意，得 因此，数列是首项、公比的等比数列. 热气球在里上升的总高度为 所以这个热气球上升的高度不能达到125 m. 例题剖析 【例4】如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆. 如此下午，求前个内切圆的面积和. 解:设第个正三角形的内切圆的半径为 . 因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的，故 例题剖析 即数列 是首项，公比的等比数列. 所以 设前个内切圆的面积为 ，则 因此，前个内切圆的面积和为. 学习过程 01 02 目录 1 等比数列的前项和 2 题型训练 题型训练 题型一 等比数列的前项和 【练习1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝(　　) 解：∴， ∴a1＝.故选A. 【练习2】记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则(　　) 解：，则，又∴，∴， 题型训练 题型一 等比数列的前项和 【练习3】(2023·全国甲卷，文)记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 解：若，则由得，则，不合意．所以.因为所以 即， 即， 即 解得 题型训练 题型一 等比数列的前项和 【练习4】已知是数列的前项和，，,数列是公比为2的等比数列，则=( ) 解：因为数列是公比为2的等比数列，所以对任意的，，即，所以数列的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列. 又，， 则故选. 题型训练 题型二 等比数列前n项和的性质 【练习5】(全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7　　　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 解：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项的性质得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故选A. 等比数列前n项和的性质 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要． 题型训练 题型二 等比数列前n项和的性质 【练习6】已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝_____. 解：由题意得 解得 题型训练 题型三 等比数列前项和的应用 【练习7】已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝2an＋1，n∈N*.若Sk>2 024，则正整数k的最小值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解:　依题意，，当时，，则；当时，，∴，，∴，∴是以1为首项，－2为公比的等比数列． 所以，若，则k为奇数，而，>2 024.故选. 题型训练 题型三 等比数列前项和的应用 【练习8】已知数列的首项且满足,设 (1)证明：数列为等比数列； (2)若求满足条件的最小整数. 解:(1)由题意得因为且所以数列是首项为，公比为的等比数列. 题型训练 题型三 等比数列前项和的应用 (2)由(1)得：( 即, 所以等价于 又随着n的增大而增大，所以, 故满足条件的最小整数为140. 课堂小结   等比数列 设等比数列的公比为，前项和为，则有如下的性质： (1)(其中各项均不为0)也成等比数列． (2)若数列的项数为,则若项数为,或. 感谢聆听! $