1.3.2等比数列的前n项和（第1课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人:廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版(2019)高中数学 选择性必修第二册 作课人:廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第3节 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 第1课时(共3课时) 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解等比数列前n项和公式的推导方法. 2、会用等比数列的前n项和公式进行运算. 3、能够运用等比数列的前n项和解决有关实际问题. 1、会用等比数列的前n项和公式进行运算. 1、理解等比数列前n项和公式的推导方法. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 3、等比数列的通项公式是什么? 2、等差数列的前n项和公式是什么?推导此公式方法是什么? 1、等差数列的通项公式是什么? an=a1+(n-1)d Sn = =na1+d 倒序相加法 an=a1qn-1 3 新 知 引 入 韦 达 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.结果很快国王就后悔了,因为他发现即使把全国的粮食都拿来也不够用。 4 新 知 引 入 布 丰 每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … 即20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , … 不难发现这个数列是一个首项为_,公比为_的_数列,它的通项公式为_,因此,第64个格子里应该放_粒麦子。 整个棋盘中应该放的麦粒总数为: _ 1 2 等比 an=2n-1 263 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + …+263=? 这个问题就是我们本节课要解决的等比数列前n项和问题! 5 学 习 新 知 欧几里得 (约公元前300年) 《几何原本》 数列{an}为公比为q的等比数列,其前n项的和记为Sn,则 Sn=_① 在①式两边同乘q,得 _=_② ① - ② 得 _=_ a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn qSn a1(1-qn) Sn(1-q) 当q=1时,Sn=_; 当q≠1时,Sn=_ na1 Sn= a1 +a1q +a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn 6 学 习 新 知 阿基米德 (公元前287年—公元前212年) 《阿基米德全集》 等比数列前n项和 Sn = 注意:1、 2、 3、 Sn中含有五个量a1,q,an,n,Sn,可“知三求二”. 当公比未知时,要对公比进行分类讨论. 推导方法:错位相减法. 7 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 (约公元前200年) 《圆锥曲线论》 所以本节课开始故事里,所需的麦粒总数为: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + …+263 = =264-1 =_ 18446744073709551615(粒) 一 千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨. 2025年世界小麦产量约为8.07亿吨。 因此,国王不能实现他的诺言. 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、已知等比数列{an}中, (1) a1 = 2, q = 3,求S3. (2)求 1,,,,… 的前10项的和. 解:由等比数列的前项和公式,得 解:因为公比,所以, . 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、(1)等比数列的首项( ) A. B. C. D. 解: C (2)等比数列中,a1=-8,a3=-2,求S4; 解:由题意得,所以或. 当时,; 当时,. 综上,. 10 典 例 引 路 柯 西 题号 a1 q n an Sn 1 3 2 6 2 8 3 5 2 35 4 2 4 54 例2、在下表的等比数列{an}中,由已知的三个数,求未知的两个数。 96 189 7 3 20 3 80 11 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 题号 a1 q n an Sn 1 1 4 7 2 5 3 4 65 4 2 96 189 练2、在下表的等比数列{an}中,由已知的三个数,求未知的两个数。 2 3 2 27 8 3 6 12 典 例 引 路 牛 顿 例3、等比数列的前项和为,,,则公比 A. B. C. D. 解:因为,所以, 所以 两式相除,得, 即 , 所以, 所以. D 13 同 步 练 习 黎 曼 练3、在等比数列{an}中,已知S4=1,S8=17,求an. 解:若q=1,则S8=2S4,不合题意,∴q≠1, ∴ S4==1,S8==17, 两式相除得=17=1+q4, ∴ q=2或q=-2, ∴ 当q=2时,a1= ,当q=-2时,a1=-, ∴ an= 2n-1或an=- (-2)n-1. 14 典 例 引 路 狄利克雷 例4、五洲电扇厂去年实现利润300万元,计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%.问从今年起第5年的利润是多少?这5年的总利润是多少?(结果精确到1万元) 解:根据题意,可知每年的利润组成一个首项a1=300、公比 q=l+10% = l.1的等比数列. 所以从今年起第5年的利润为 a6=a1q6-1 =300 (1+10%)5 = 300 1.15≈483(万元); 这5年的总利润为 S = = 300 1.1 ≈ 2 015(万元). 15 同 步 练 习 庞加莱 练4、一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗? 解:用an表示热气球在第n分钟上升的高度. 由题意,得an+1=an. 因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列. 热气球在前n分钟内上升的总高度为 Sn=a1+a2+…+an===125 <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 16 典 例 引 路 华罗庚 例5、如图,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆。如此下去,求前n个内切圆的面积和。 解:设第n个正三角形的内切圆的半径为an. 因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的 ,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的 ,故 a1= a tan30 = a = a a2= a1 … an= an-1 17 典 例 引 路 傅里叶 即数列{an}是首项a1= a,公比q= 的等比数列,所以an= ()n-1a 设前n个内切圆的面积和为Sn,则 Sn = (a12+a22+a32+…+an2) = [a12+(a1q)2+(a1q2)2+…+(a1qn-1)2] = a12[1+()2+()2+…+()2] = a12[1++()2+…+()n-1] = (a)2 = (1- ) 因此,前n个内切圆的面积和为 (1- ) 。 18 同 步 练 习 陈景润 练5、如图,正方形 的边长为 ,取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形 ,依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形 开始,连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 解:设正方形的面积为,后续各正方形的面积依次为, ,…,则=25, 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点,所以=, 19 同 步 练 习 佩雷尔曼 因此{},是以25为首项,为公比的等比数列. 设{}的前项和为, (1)== = , 所以,前10个正方形的面积之和为c. (2) = = 随着的无限增大,将趋近于0,将趋近于50. 所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 20 全 课 总 结 一、等比数列的前n项和公式 Sn = 21 THANK YOU 谢谢! 作课人:廉文杰 焦作市外国语中学 22 $