专题03 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的综合应用9大题型（专题专练）（全国通用） 2026年高考数学二轮复习讲练测

专题03 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 等性质的综合应用 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01根据解析式直接判断函数的单调性 题型02复合函数的单调性及参数求解 题型03结合函数的单调性、奇偶性解不等式 题型04恒成立与有解问题 题型05由函数的奇偶性求参数 题型06抽象函数的奇偶性 题型07函数的周期性 题型08函数的对称性 题型09函数的性质综合 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（根据解析式直接判断函数的单调性）（2025·陕西·模拟预测）（多选）下列函数中，在区间上是增函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】对于A，易知在上既有增区间又有减区间，故A错误； 对于B，易知指数函数在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，则在上是增函数，故C正确； 对于D，幂函数在上是减函数，故D错误． 故选：BC． 2．（复合函数的单调性）（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 3．（复合函数的单调性及参数求解）（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可. 【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以. 故选:D. 4．（分段函数的单调性及参数求解）（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 5．（结合函数的单调性、奇偶性解不等式）（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 6．（结合函数的单调性、奇偶性解不等式）（2025·湖南长沙·二模）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，将不等式可以转化为，利用奇偶性定义得到函数为奇函数，利用导数证明函数在上单调递增，再利用奇偶性和单调性结合解不等式,即可得到实数的取值范围. 【详解】设，则， 所以可以转化为，即， 因为 所以函数为奇函数， ，所以函数在上单调递增， ，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 即或者，所以实数的取值范围是 故选：C 7．（恒成立问题）（2025·福建·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.  若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在的条件下证明，然后在的条件下证明，即可说明的取值范围是. 【详解】一方面，由于对任意实数恒成立，故，即，所以. 另一方面，若，则对有. 且对有. 故在的情况下，必有恒成立. 综合上述两个方面，可知实数的取值范围是. 故选：D. 8．（有解问题）（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出即可求解. 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 9．（由函数的奇偶性求参数）（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 10．（由函数的奇偶性求参数）（2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参. 【详解】因为为奇函数，定义域为， 则， 所以，则， 此时， 则，满足题意 故. 故选：B. 11．（抽象函数的奇偶性）（2025·吉林·模拟预测）（多选）非恒为零函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】根据条件分析函数性质，逐项判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且与都为奇函数， 所以①，②. 在①中，用代替可得：，结合②得：. 再用代替，则，所以函数是以2为周期的周期函数，故B正确； 在中，用代替得：，又，所以，所以函数为奇函数，故A正确； 因为，所以函数为奇函数，故C正确； 假设为偶函数，则， 又因为函数是以2为周期的周期函数，所以，， 所以，所以函数也是偶函数，这与为奇函数矛盾，所以假设错误，故D错误. 故选：ABC 12．（函数的周期性）（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可推出函数的周期，结合赋值法可确定，判断B，其余选项结合赋值，无法确定，即可判断正确. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则， 所以，即得， 即，故函数是以4为周期的周期函数， 对于，令，则， 对于，令，则，B正确； 由题意可知，无法推出，A错误， 又，，而是否为0不确定，故CD错误， 故选：B 13．（函数的周期性）（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值. 【详解】函数，对，有， 取，得，而，则， 对，令，得， 即，因此，函数周期为4， 令，得，而，则， 所以. 故选：A 14．（函数的对称性）（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 15．（函数的对称性）（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数满足，若函数与图象的交点为、、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，函数的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，从而可知函数、的图象的交点也关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为满足，则函数的图象关于点对称， 设，则函数的定义域为， 因为，故函数的图象关于点对称， 所以函数、的图象的交点也关于点对称， 不妨设，则，，，， 令，则， 故，故， 由对称性知，，，， 令，则， 故，故， 因此， 故选：C. 16．（函数的性质综合）（2025·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 【答案】ABC 【分析】根据给定的函数等式可得，再结合求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断得解. 【详解】由，得，令函数， 则，为常函数，令，则，， 因此，的值域为是偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误. 故选：ABC 17．（函数的性质综合）（2025·陕西榆林·模拟预测）（多选）定义在上的奇函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B．关于对称 C．的周期为2 D． 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的性质判断A；由得函数的对称性判断B；根据奇函数性质和对称性可得函数的周期性判断C；利用函数周期性求值判断D. 【详解】对于A：因为是上的奇函数，所以，即，正确； 对于B：由，知图象关于对称，正确； 对于C：因为， 所以， 所以，即的周期为4，错误； 对于D：，正确. 故选： ABD 18．（函数的性质综合）（2025·广东清远·一模）（多选）已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】在已知式中令求得，从而得出的图象关于点对称，再由已知得的图象关于直线对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项． 【详解】对A，都有，令得，所以，A正确； 对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称， 从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确； 对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有， 由两个对称性得，C错误； 对D，由以上分析得， 所以，所以是周期函数，4是其一个周期， ，，，，， 所以， 所以 ，D正确． 故选：ABD． 01根据解析式直接判断函数的单调性 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义，结合单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，故A正确； 对于B，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由幂函数的性质可知函数在上单调递增，故B错误； 对于C，令，可得定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数不为偶函数，故C错误； 对于D，的定义域为不关于原点对称， 所以不为偶函数，故D错误. 故选：A. 2．（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【详解】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A 3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根函数奇偶性的定义及常见函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，函数定义域为， 且，则函数为奇函数， 但函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数定义域为， 且，则函数为奇函数， 但函数在和上单调递增， 在和上单调递减，故B错误； 对于C，函数定义域为， 且，则函数为奇函数， 而在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，函数定义域为， 且，则函数为奇函数， 但函数的单调递增区间是，故D错误. 故选：C. 4．（2025·广东梅州·模拟预测）（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由定义域判断A，由复合函数的单调性判断B，根据函数的定义域、奇偶性、单调性判断CD. 【详解】的定义域为，不是，不符合题意，故A错误； 令，则在上函数单调递增，且，而单调递减， 由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误； 的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； ，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数， 当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确. 故选：CD 02复合函数的单调性及参数求解 5．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 6．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 8．（2025·辽宁辽阳·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】A.由分式函数的定义域求解判断；B.由正弦函数的值域判断；C.由函数奇偶性的定义判断；D.由复合函数的单调性判断. 【详解】的定义域为，值域为，A错误，B正确． 是奇函数，C正确． 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确． 故选：BCD 9．（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．不存在，使得 D．在区间上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利用复合函数单调性判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R， ，因此为偶函数，A正确； 对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为， 因此的值域为，B正确； 对于C，由选项B知，存在唯一使得，则， 且，因此存在，使得，C错误； 对于D，函数在上单调递增，， 而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确. 故选：ABD 03结合函数的单调性、奇偶性解不等式 10．（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则， 则；； 当即时，，，成立； 当时，，，； 当时，，，； 当即时，， 所以的取值范围是． 故选：D． 11．（2025·陕西·模拟预测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得为奇函数，进而得到在，上为减函数，再由分式不等式的等价条件得，再根据奇偶性和单调性解不等式即可． 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ， 即或， 则或， 解得或， 所以解集为． 故选：C． 12．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据条件判断出的奇偶性和单调性，然后将问题转化为“”，结合的函数性质列出不等式组求解出结果. 【详解】由题意知， 令， 且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数， 因为为上的减函数，为上的减函数， 所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减， 又由，得， 所以， 所以任意恒成立，即对任意恒成立， 若，可得，此时恒成立，满足要求； 若，则需，解得， 综上所述，的取值范围是， 故选：B. 13．（2025·全国·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数奇偶性，得到函数为偶函数，再分析单调性，根据偶函数单调性相反即可把不等式转化为，解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，且，即为偶函数． 当时，和，和均在上单调递增，所以和均在上单调递增，则在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得或． 所以不等式的解集为． 故选:D 14．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过对变量替换，即令，将原函数变为，通过求导判断的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为，最终求解一元二次不等式. 【详解】令，则原函数可改写为：， 定义辅助函数，则， 由，故是奇函数， ，又（当且仅当时取等号），且,, 因此，在上严格递增， 原不等式转化为：，即， 因为为奇函数，即，所以， 又在上严格递增，故，所以，得， 故选：A 15．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 16．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 04恒成立与有解问题 17．（2025·河北邢台·三模）若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令，利用分段函数的性质，得到的最小值为，求得，结合为正实数，得到的整数解的个数，得到答案. 【详解】令， 当时，函数单调递减，所以； 当时，函数； 当时，函数单调递增，所以， 综上可得，函数的最小值为， 要使得不等式恒成立，则满足， 因为为正实数，所以，所以的整数解取值为，共有3个. 故选：B. 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性可得当时，，则由时，恒成立求解即可. 【详解】函数在R上单调递减，当时，， 则当时，恒成立，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 19．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出的大致图象，数形结合求解不等式即可. 【详解】由得， 故当时，，从而， 同理，当时，， 当时，. 作出函数图象如图所示，令， 解得或，结合图象可知.    故选：B 20．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，且在上恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在给定区间上单调递减列出不等式组求解参数范围，对于不等式恒成立问题，通过构造函数，利用函数单调性求出最小值，进而得到参数的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以，解得． 又因为在上恒成立， 所以不等式在上恒成立． 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 解得，即的取值范围为. 故选：D． 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简整理，将问题转化成讨论一元二次方程有正根，利用根的判别式以及韦达定理讨论根的情况即可求出的取值范围. 【详解】由题意，，即， 则，整理可得. 根据函数定义域可知，，且，所以一元二次方程至少有一个正根. 因为，所以方程有两个不相等的实数根，设为， 则 当时，则一正一负，满足题意； 当时，则都是负数，不满足题意. 所以. 故选：C. 22．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出在上的最大值，问题转化为存在，使得成立，分离参数求解. 【详解】， 当时，，所以，所以， 所以存在，使得，即成立， 所以，，所以， 故实数的取值范围为. 故选：C. 05由函数的奇偶性求参数 23．（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 24．（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合奇函数的定义推理判断. 【详解】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 25．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 26．（2025·全国·模拟预测）若函数（）为奇函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，然后由可得即可， 【详解】由奇函数性质可得，（）的定义域关于原点对称，由，即且， 故，解得. 又，故， 此时，满足，函数为奇函数， 故， 故选：A. 06抽象函数的奇偶性 27．（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 28．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设，则，一一对选项进行计算、验证即得. 【详解】方法一 :（函数性质判断法）由为偶函数，得①． 由为奇函数，得． 又，则②． 则由①，（*）， 由②，， 故得． 把取成，得③， 于是，，即函数的周期为2，故B错误； 又因为上的奇函数，则，的周期为2，则，故A错误； 由③得，，即， 故．因为奇函数，故为奇函数，故C正确； 由（*），，得，即为偶函数， 又，所以为偶函数，故D错误. 方法二：（构造函数法）依题意，可设，则为偶函数， 由为奇函数，且函数的定义域均为， 对于A，，排除A； 对于B，显然的最小正周期是2，排除B； 对于C，是奇函数，故C正确； 对于D，，显然是偶函数，排除D. 故选：C. 29．（2025·广东汕头·二模）（多选）已知函数的定义域为且，，则（    ） A． B． C．为的极小值点 D．是偶函数 【答案】AD 【分析】通过赋值法可逐一验证A，B，D，对于C，只需举反例即可判断. 【详解】在中， 对于A，令，则，，A正确； 对于B，令，则，В错误； 对于C，若函数为，显然符合题意，此时无极小值点，C错误； 对于D，令，则，则， 令，则，故是偶函数，D正确． 故选：AD. 30．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】通过赋值令得到或，若，再令，，得出与矛盾，从而确定A正确；令，结合选项A的结论得到，即可判断B正确；令，得，进而得，得，由此判断C不正确；由得，由此，由此判断D正确. 【详解】令，得，所以或， 若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确； 令，得即，所以，所以B正确； 令，得，所以，所以，当时，，所以C错误； 因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确． 故选：ABD． 07函数的周期性 31．（2025·新疆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得到的一个周期为6，从而得到，赋值得到，得到答案. 【详解】，故， 两式相减得，故的一个周期为6， ， 中，令得， 又，故，所以 故选：C 32．（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】B 【分析】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：B. 33．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据已知确定在时，函数具有周期性，然后结合偶函数定义可把转化到已知解析式的区间上求解即可． 【详解】，都有， 即当时，函数具有周期性，且周期为4， 又是偶函数，. 故选：D. 34．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（   ） A．190 B．210 C．230 D．400 【答案】D 【分析】利用的关系式，借助于为偶函数，通过先后赋值代入可推得的周期，分别计算出一个周期内的函数值，代入所求式，利用函数周期及求和计算即得． 【详解】由，得（*）． 在中，用替换，可得， 则，即①， 在①式中，用替换，则得②． 又因为偶函数，所以③， 故由②③，可得，用替换，可得 ， 比较两式，可得，即是以4为一个周期的函数． 因为的图象经过原点，所以，由（*）可得． 在中，令，得，所以， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 则， 则 ． 故选：D 35．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解． 【详解】因为为奇函数、则，则， 可知的图象关于点对称、可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数且定义域为R，则，可得， 可知的周期为4，所以，． 所以． 故选：C． 36．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【详解】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以， 所以. 故选：D. 08函数的对称性 37．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由题意可得，代入展开后，结合等式恒成立，即可求得答案. 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 38．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 39．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得：，，即可得到答案. 【详解】由，得的图象关于对称， 函数，则，即的图象也关于对称， 因此函数与图象的交点关于对称， 不妨设关于点对称的坐标为，，则，， 则，，同理得：，， 即. 故选：D 40．（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 【答案】B 【分析】由为奇函数，得到，求得的图象关于点对称，再由，根据奇偶性，得到为奇函数，且的关于对称，求得的值，得到答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称， 函数， 对于函数， 可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于对称， 所以为偶数，这些根成对出现，每对和为， 所以设，则，所以，解得. 故选：B. 41．（24-25高三上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（    ） A．9 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】根据函数和都关于点对称求解，即可得答案. 【详解】由已知得，所以关于点对称， 令，则 ， 所以关于点 对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， ， 故选：. 42．（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（   ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】D 【分析】首先，通过已知条件，可以分析出函数的对称轴，进而得到其导函数的对称中心.再根据为偶函数，确定的具体对称中心，周期，然后利用周期性和对称中心的性质来计算即可. 【详解】∵， ∴两边求导得， ∴，可知关于点对称， 又∵为偶函数，可知关于直线对称， 则，即， 由，可得， 因此，可得， 即，可知4为的周期， 因此，当，时，， 当，时，， ∵，∴， ∴，， 所以 . 故选：D 【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题关键是找出抽象函数的周期和对称性. 09函数的性质综合 多选题 43．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．的极大值为 C．存在， D．有最小值，无最大值 【答案】ABD 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；令，可得出，利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ， 所以曲线关于直线对称，A对； 对于B选项，因为， 则， 由可得或， 由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为、， 所以函数的极大值为，B对； 对于C选项，当时，， 因为在上是减函数，所以，C错； 对于D选项，令，则， 设，其中，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上只有最小值，无最大值， 故函数有最小值，无最大值，D对. 故选：ABD. 44．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A． B． C．关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】AD 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，结合函数单调性可判断D；求出和的值进行比较可判断C；利用周期性可判断B. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称，错误； 对于B，因为，， 所以，错误. 对于D，因为， 因为6是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，正确； 故选：AD 45．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由B知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 故选：ACD. 46．（2025·辽宁丹东·模拟预测）定义在上的奇函数满足，在区间上单调递增，且，则（   ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D． 【答案】AB 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，根据对称性，结合已知可判断B；求出和可判断函数图象关于直线对称，结合周期可判断C；利用周期性可判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于B，因为， 因为是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称， 根据周期性可知，的图象不关于直线对称，错误； 对于D，因为，， 所以，错误. 故选：AB 47．（2025·海南·一模）已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B．在上单调递增 C．存在函数，使得的值域为 D．存在函数，使得是奇函数 【答案】BCD 【分析】令，得或．对于A，若，代入已知条件式，可推出矛盾；对于B，若，代入已知条件式，可得；对于CD，举例说明即可判断. 【详解】令，得，所以或. 对于A，若，则对任意， 左边，右边，矛盾，故A错误； 对于B，若，则对任意， 可得，经检验，符合题意，易知在上单调递增，故B正确； 对于C，的值域为，只要满足定义域为，值域为即可， 如，，符合题意，故C正确； 对于D，令，得， 而定义域为，，故即为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 48．（2025·广东深圳·模拟预测）已知连续函数满足，则（    ） A． B．最小值为1 C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，赋值得到，令得到方程，结合求出；B选项，求出，不妨设，待定系数法得到，得到最小值，B错误；C选项，令得，则，……，，以上式子累加得，故，C正确；D选项，赋值得到，令，从而得到. 【详解】A选项，中，令得 ，解得， 令得， 又，故，解得，A正确； B选项，中，令得 ，又，故， 不妨设， 又，，，故， 解得，故， 经检验，满足且为连续函数， 则，故的最小值为，B错误； C选项，中，令得， 故， 则，……，， ，，……，， ， 以上式子累加得， 故，C正确； D选项，中，令，， 则， 则， 其中，令， 则， 故， 即，D正确 故选：ACD 49．（2025·四川绵阳·一模）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（    ） A． B．的一个周期为8 C． D．的图象关于对称 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 令，可得，解得，A错误； 因为是偶函数，则，且， 用代替可得，即. 又，则，所以，从而有， 所以的一个周期为8，B正确； 因为是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，所以，C正确； 由，两边同时对求导得， 即，所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：BCD 50．（2025·湖南·模拟预测）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令代入即可得解；对于B，令化简可得，代入数值判断即可；对于C，由B可得，由A可得，代入数值判断即可；对于D，求出特殊点的值，得到周期性规律，即可得到，即可判断. 【详解】对于A：令得，，又为非常值函数，所以，则，故A正确； 对于B：令得，， 令，则，即，所以，故B错误； 对于C：由B知，， 又令得，，由A选项知，所以，即，所以，故C正确； 对于D选项：由C知，， 又，，，， 故， 因此，故D正确. 故选：ACD. 51．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解. 【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确； 对于B，由，两边求导可得， 即，所以的图象关于对称， 又等价于， ，所以， ，即的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，将代入，可得， 将代入，得，又， 所以，， 所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 一、单选题 1．（2025·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可. 【详解】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B 2．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合奇函数的定义可得，求导代入运算求解即可. 【详解】因为是奇函数， 则， 可得，即， 则，， 可得，解得. 故选：B. 3．（2025·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象关于轴对称，且，则（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，函数为偶函数，可求得的值，再结合，代入即可求解. 【详解】因为函数的图象关于轴对称， 所以函数为偶函数，所以，即， 即，即，即， 所以，又，解得． 故选：B 4．（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【详解】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C 5．（2025·浙江丽水·一模）定义在上的两个函数，恒有，则（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【分析】借助函数奇偶性定义计算即可得. 【详解】由，则， 则，又定义域为，故为偶函数，故B正确； 由已知得不到与关系，也得不到是否为，故A、C、D错误. 故选：B. 6．（2025·新疆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的单调性，判断函数单调性，进而解出不等式即可. 【详解】已知，定义域为R， 可知，令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，即，即， 化简得，解得或； 所以实数的取值范围为. 故答案为：C. 7．（2025·云南·模拟预测）对，都有.当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件推得2为的一个周期，利用函数的周期性易得函数值. 【详解】由题意，， 则2为的一个周期， 故. 故选：B. 二、多选题 8．（2025·青海·模拟预测）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】令，则在，上单调递减； 对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数性质判断函数单调性，根据定义域及单调性，列出不等式，求出范围 【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为， 所以在上单调递增，且， 可得，可得，解得， 故答案为：. 10．（2025·四川达州·模拟预测）若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则 . 【答案】7 【分析】判断出两函数的图象关于直线对称，利用对称性即可求解. 【详解】函数（）满足，故其图象关于直线对称， 函数，其图象也关于直线对称， 故它们图象的交点也关于直线对称， 两函数图象的交点分别为，，…，， 不妨设，则必有在直线上，即， ， 故. 故答案为：7 一、单选题 1．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意得到，从而得到方程，变形化简得到，求出. 【详解】图象关于y轴对称，故， 即，即， 即， 要想上式恒成立，则恒成立，即，故， 所以. 故选：B 2．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 3．（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】C 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解； 对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可； 对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误； 对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知为奇函数，则有， 令，得：， 又，令，得：， 因此可得：，故A选项错误. 对于B选项，已知为奇函数，则有， 又，则有， 由此可得：，即有： 因此可得：的周期为，故B选项错误. 对于C选项：已知为奇函数，则有， 因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为， 所以关于中心对称，故C选项正确； 对于D选项：已知函数的周期为，则有， 又，令，得：， 因此可得：，即，故D选项错误. 故选：C 4．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用恒等式可推导，得出周期性，再由偶函数可得函数的图象是关于直线对称的，再利用赋值思想即可求值. 【详解】因为的值域为， 所以可由得：， 则有， 所以函数是一个以4为周期的函数，则有， 又因为函数为偶函数，所以， 则函数的图象是关于直线对称的，即， 又因为周期性可知，所以， 又由可得：，所以， 因为的值域为，所以，即， 故选：B 5．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知函数为奇函数，且在内单调递减，根据题意可得原题意等价于不等式在上有解，构建，利用导数求其最大值即可得结果. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 可知函数为奇函数， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 可得在内单调递减，可知在内单调递减， 若， 即，可得，且，即， 原题意等价于不等式在上有解， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 6．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递减 B．曲线关于点对称 C．当时， D． 【答案】BC 【分析】先求出函数定义域，再由特殊函数值大小比较判断A；通过是否成立判断B；由对数复合函数的单调性计算判断C；根据解析式及对数运算性质求函数值判断D. 【详解】对于A，由，可得或， 所以函数定义域为，而，错误； 对于B，， 所以曲线关于点对称，正确； 对于C，由在区间上单调递减， 当时，，正确； 对于D，，错误． 故选：BC 7．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知定义域为的函数在上单调递增，满足，且的图象关于点对称，则以下结论正确的有（    ） A． B． C．在上单调递减 D． 【答案】ABC 【分析】由已知确定函数的周期性，结合对称性得单调性，然后判断各选项. 【详解】对A，的图象关于点对称，则，又（说明的图象关于直线对称）， 所以， 所以， 对B，，B正确； 对C，在上单调递增，又的图象关于直线对称，所以在上单调递减，C正确； 对D，由A知，结合B知，D错， 故选：ABC 8．（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】AC 【分析】令，得到或，结合恒等关系得到，再根据其奇偶性、区间单调性依次判断各项的正误即可. 【详解】令，得，解得或. 若，令，得，则， 此时，而， 显然不恒成立. 若，同理得，代入恒等式中验证有恒成立， 故，A正确，B错误. 易知是偶函数，且在上单调递增. 因为，且等号不能同时成立，所以， 则，则，C正确. ，易得的值域为，D错误. 故选：AC 9．（2025·安徽合肥·三模）已知，，且当时，则下列正确的是（   ） A． B．当时， C． D． 【答案】BCD 【分析】由可得函数周期为6，再根据周期函数性质可解. 【详解】∵， ∴，即， 两式相乘， ∵，∴，即， ∴，所以函数周期为6，故A错误； 当时，， 又，故B正确； ∵， ∴除以6余数为5，故，故C正确， 由题知，， 代入可求， ∴， 故D正确， 故选：BCD. 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称后可判断A，对后得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D． 【详解】对A，因为为奇函数，所以，即，即，所以的图象关于点对称，所以，A正确； 对B，由，两边求导得，即，又的图象关于点对称，得，所以，B正确； 对C，因为，即，所以，令可得, ，所以的图象关于直线对称， 所以，又，所以，所以的图象关于点成中心对称， 由得，所以， 所以是周期函数，4是它的一个周期，C错误； 对D，由得，，所以， 又，所以 ，D正确． 故选：ABD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数的单调性、奇偶性、对称性 、周期性 等性质的综合应用 目录 第部分考向速递洞察考向，感知前沿 第二部分题型归纳梳理题型，突破重难 题型01根据解析式直接判断函数的单调性重 题型02复合函数的单调性及参数求解重 题型03结合函数的单调性、奇偶性解不等式难 题型04恒成立与有解问题难 题型05由函数的奇偶性求参数重 题型06抽象函数的奇偶性重 题型07函数的周期性重 题型08函数的对称性难 题型09函数的性质综合难 第三部分分层突破固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 NO.1 考向速递 1.(根据解析式直接判断函数的单调性)(2025陕西·模拟预测)（多选）下列函数中，在区间(0，+∞）上是 增函数的有() A.y=sinx B.y=2 C.y= D.y=x3 1/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.（复合函数的单羽性)(2025江西一模)函数f(x)=V1og(x2-2x的单调递增区间为() A.1,+o0) B.[1+V2,+∞ C.（2,+o D.(1+V3,+∞ 3.(复合函数的单调性及参数求解)(2025江西二模)若函数f(x)=2025-⑧在区间2026，+0)上单调递 增，则a的取值范围为() A.「2026，+0）B.0,2026 C.-0,2026 D.（-0,2026 nr+2a,x≥1是R上的增函数，则 ax+l,x<1 4.(分段函数的单调性及参数求解)(2025安徽合肥一模)若f(x)= 实数a的取值范围为() A.(1,+0 B.[1,+o0) C.2,+o D.[2,+0) 5.(结合函数的单调性、奇偶性解不等式)(2025海南模拟预测)已知∫(x)是定义在R上的奇函数，且当 x>0时，∫(x=x3-8,则不等式(x-1)fx)≤0的解集为() A.[-2,2] B.(-0,-2]U[1,2] C.[-2,0]U[1,2] D.[-2,1U[2,+o 6.(结合函数的单调性、奇偶性解不等式)(2025湖南长沙二模)已知函数 f)=3x++F)-2+2,且fP)+f2-3到>2，则实数的取值范围是() e+1 A.(-3, B.（-0,-1U(3,+o0】 C.（-0,-3)U(1,+0】 D.（-1,3 7.(恒成立问题)(2025福建模拟预测)己知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时， fx)=x2-2x+2.若∫(x≥2x+b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是() A.（-0,2] B.(-o, C.（-0,0] D.（-0,-2] 8.(有解问题)(2025陕西汉中.一模)若x∈{x-3x≤3，使得x-4a-13<0成立，则实数a的取值范 围是() A.-0,3 B.（-4,+0） C.-3,+0 D.-0,-4) 2/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q,由函数的奇偶性求参教)2025山东三模)已知/x三 ,+ax为偶函数，则a的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 10.(由函数的奇偶性求参数)(2025全国模拟预测)已知f(x= bx+lr<0为奇函数，则a+b=() 3x+a,x>0 A.-4 B.2 C.4 D.6 11.(抽象函数的奇偶性)(2025·吉林模拟预测)（多选）非恒为零函数fx)的定义域为R,且f(x)与 ∫x+)都为奇函数，则下列说法正确的是() A.f(x-1为奇函数 B.f(x)为周期函数 C.fx+3)为奇函数 D.fx+2)为偶函数 12.（函数的周期性)(2025广东惠州·模拟预测)已知函数f(x的定义域为R,f(x+2)为偶函数，f(x+1 为奇函数，则() A.-2)-0 B.f-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 13.(函数的周期性)(2025江苏南通模拟预测)设∫(x)是定义在R上的函数，对Vx,y∈R,有 f(x+y)-f(x-y)=f(x+1)fy-1),且f(2)=-2,则ff(2025)=() A.2 B.-2 c.1 D.-1 14.(函数的对称性)(2025江苏南通模拟预测)己知函数f(x)=(x+1)(x2+ax+b)的图象关于点(L,0)对称， 则a+2b=() A.-10 B.10 C.2 D.-2 15.(函数的对称性)(2025江苏苏州模拟预测)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x+f(x=4,若函数 y=2+1与y=f图象的交点为（小、（小、、(xy,则2(+y别=（） i=1 A.0 B.m C.2m D.4m 16.(函数的性质综合)(2025陕西榆林模拟预测)（多选）己知函数∫(x)的定义域为R, (y2+1f(x)=（x2+1f(y),f(0)=2,则() A.f(1)=4 B.f(x)的值域为[2，+oo) C.f(x)是偶函数 D.∫(x)是增函数 3/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(函数的性质综合)(2025陕西榆林模拟预测)（多选）定义在R上的奇函数∫(x满足∫(1)=3， f1+x=f1-x,则下列结论正确的是() A.f(0)=0 B.f(x关于x=1对称 C.f(x的周期为2 D.f2025)=3 18.(函数的性质综合)(2025广东清远一模)（多选）已知函数f(x满足：Hx∈R都有 f+到+1-=，且12到的图象关于直线：=1对称，若2到=-l/2则() A.f(1=0 B.f(x+1)是奇函数 c.》月 )月 NO.2 题型归纳 题型【01根据解析式直接判断函数的单调性 1.(2025·四川绵阳模拟预测)下列函数中，是偶函数，且在(-，0)上单调递减的是() A.y=x2 B.y=x2 C.y=2 D.y=log2x 2.(2025广东清远一模)设函数fx)=x-2,则函数(x)为() A.奇函数，且在(0，+0)单调递增 B.奇函数，且在(0，+o单调递减 C.偶函数，且在(0，+o)单调递增 D.偶函数，且在(0，+∞)单调递减 3.(2025·贵州铜仁模拟预测)下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是() A.f(x)=-x3 B.f(x)=x+1 x C.f(x)=e'-1 D.f(x)=tanx 4/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2025·广东梅州模拟预测)（多选）已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，+0)上单调递增，则f(x)可能 为() A B.f(x)=log (x2+1) C.f (x)=x+2 D.f(x)= 题型【02复合函数的单调性及参数求解 5.(2025·广东茂名一模)己知函数f(x)=√x2-6x+5在区间(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围为() A.-0,1 B.（-o0,3] C.[3,+o D.[5,+0） log3(x+2),-2<x≤1 6.(2025河北模拟预测)若函数f(x) x+m,x21 ,在(-2，+0)上单调递增，则m的取值范围 是() A.（-0,1 B.-1, c.[0, D.[0,+o0j 2a-1lne-x),x<0, 7.(2025河北秦皇岛模拟预测)已知函数f(x)= 2-a2 在R上单调递减，则a的取值范 e,x≥0 围是() B. c.[1,2 D 8.(2025辽宁辽阳二模)（多选）已知函数f()=sn子，则下列结论正确的是（） A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为-1,1 C.f(x)是奇函数 D在 上单调递减 9.(2025·河南南阳模拟预测)（多选）已知函数f(x)=cos(x3+x),则() A.f(x)为偶函数 B.f(x)的值域为[-1,1] C.不存在aeR,使得f(a=-f(-a) D.f(x)在区间[0，山上单调递减 5/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03结合函数的单调性、奇偶性解不等式 10.(2025全国模拟预测)若定义在R上的偶函数f(x)在(-0,0]上单调递减，且f(2)=0,则满足 (x+1)f(x-1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1U[3,+0 B.{-1}U[1,+0 C.[-l,0]u[l,+o D.{-1U[3,+o） 11.(2025陕西·模拟预测)已知函数f(x的定义域是R,∫(x-1)的图象关于点1,0)中心对称，若 3)=0,且对任意，(-，01,5≠，都有儿-f<0,则不等式3r-1之0的解集为《) x2-x a[6 [5 B. c. n.(g到 一模)已知函数fx=2,-x-2,若fa+fax-+2>0但 范围为() A.（-4,0》 B.-4,0 C.(0,4) D.(0,4 13.(2025全国模拟预测)设函数f=1+)1+2025,则不等式/2x>f+的解集为（） B(司（后 C. 11 33 D.（m,-l,+ 14.(2025江苏泰州模拟预测)已知函数fx)=sin(2x-2)-e-r+e+2,(xeR).若f2a2)）+f(1-a<4 ,则实数a的取值范围为() A B.（w,+ D.(,u(*o 15.(2025山东德州三模)已知函数∫(x)是定义在R上的增函数，且f(x+1)-2为奇函数，对任意的 6/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a∈[-3,2]，不等式f(2a+)+fa2-1≤4恒成立，则实数t的取值范围是() A.(-0,-5] B.(-00,0] C.[0,+o) D.[-5,+∞) 16.(2025湖北模拟预测)已知函数fx=e-e-sin2x,若对xe[2,+o),f(lnx+f-ax<0,则 实数a的取值范围是() 题型04恒成立与有解问题 17.(2025河北邢台·三模)若不等式x+1+x-3>m恒成立，则正实数m整数解的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 18.（2025湖南长沙模拟预测)已知f(x)=(x-a)2,g(x)=1-x,h(x)= 者恒 成立，则a的取值范围是() A.[0,1 B.[-1,0] C.[1,+o D.（-0,-1川 19.(2025湖北黄冈模拟预测)已知定义域为R的函数fx)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[-1,1)时， 八到=co空，若对任意x-,,都有了（到≤45，则m的最大值为《） B. 1 logx,0<x≤1， 20.(2025高三全国专题练习)己知函数f(x)= -x2-4ax+2,x>1 在(0，+∞)上单调递减，且f(x)≥9-2 在02 上恒成立，则a的取值范围为() A.(0,1) B.1,3 c 21.(2025黑龙江哈尔滨二模)已知函数fx=log。x（a>0,a≠1).若存在x使得 2f(ax)=fx+1)+f(x+2)+3成立，则实数a的取值范围为() A.0<a<2 1 B.a>1 C.0<a<1 D. 22.(2025甘肃平凉模拟预测)已知函数f(x=2 cosx(v5sinr-cosx+3,对任意实数x∈ 存在实 7/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数x2∈(0，+o)，使得f(x)≤2m成立，则实数m的取值范围为() Ao）B.及 型 05由函数的奇偶性求参数 23.(2025浙江一模)己知函数f(x)=10g2 2+a +b是奇函数，则a+b=() x+1 A.-3 B.-1 C.-5 D.1 24.(2025·北京海淀·三模)已知f(x=n x-b 1-x ,b∈R,则b=-1”是“fx是奇函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.2025满北根银预别》已知除友-2x+a]n[ 是奇函数，则实数a的值为() A.0 B.1 C.-1 D.2 26.(2025·全国模拟预测)若函数f(x)=1og2m 1 2(x+1 +n(m,neR)为奇函数，则mn=() A. B.1 C.3 D.2 题型【06抽象函数的奇偶性 27.(2025山西·二模)己知函数(x的定义域为R,f-1=0,函数y=fx+3)是奇函数，函数 y=x+1∫(x的图象关于直线x=-1对称，则() A.fx)是偶函数 B.f(x-1)是奇函数 C.f(x+8)=f(x) D.f(1=0 28.(2024安徽模拟预测)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,若f(x-1)为偶函数，g(x)为奇函数，且 8)=x-3,则（) 8/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A=1 B.)=f(x+)C.fx+为奇函数D.gx+为奇函数 21 29.(2025广东汕头·二模)（多选）已知函数f(x的定义域为{xx∈R且x≠0，f(xy)=y2f(x)+x2f(y), 则() A.f1)=0 B.f(2)=8f2 C.x=1为fx)的极小值点 D.fx)是偶函数 30.(2025高三全国专题练习)（多选）已知定义在R上的函数f,且/=弓若 f(x-y)=2f(x)f(y)-f(x+y),( A.f0)=1 B.f(x是偶函数 C.f(x+3)是奇函数 D.f(2024=-1 2 题型 07函数的周期性 31.(2025·新疆模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足∫(x+3)+∫(x)=4,，且f1=1,则 f(2026)=() A.1 B.2 C.3 D.4 32.(2025安微合肥一模)已知倒是定义在R上的偶函数，且/4-=八，当0≤x≤时， fx)=3-2x,则f(-2025)=() A.-1 B.1 C.3 D.7 33.(2025·四川攀枝花模拟预测)已知函数f(x是(-0，+0）上的偶函数，若对于x≥0，都有 fx+2)=-f(x,且当x∈[0,2)时，f(x)=log,x+1),则f(-2025=() A.-2 B.-1 C.2 D.1 34.(2025浙江宁波模拟预测)已知定义域为R的函数∫(x)的图象经过坐标原点，若 f1+对+f1-对=2，fx-gs=2x,且gx+2列为偶函数，则2f0=（) i=l A.190 B.210 C.230 D.400 9/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.(2025海南海口模拟预测)己知函数f(x)的定义域为R,其导数f'(x)=g(x),且∫(x)和g(x+)都为 奇函数.若f(-1)=1,则f(2024)+f(2025)=() A.1 B.0 C.-1 D.-2 36.(2025甘肃白银.三模)已知对于xeR,f(x+1+f(x-1)=fx),f(x+g(x-3)=2, g-3-x刘=g-3+,且g-3=,则登f间=（) A. 3 B.2 C.1 D.0 题型 08函数的对称性 37.(2025广东一模)若函数f(x)=e1+e-+(x+b)2关于直线x=2对称，则a+b=() A.1 B.3 C.5 D.7 38.(25-26高三上江西期中)已知函数f(x=lnx-1)-ln(3-x),则f(x的图象() A.关于x=1对称 B.关于x=2对称 C.关于1,0)对称 D.关于(2,0)对称 39.(2025江苏苏州三模)已知函数f)=3x+1+e-e,定义域为R的函数gx)满足g-x)+gx=6 ,若函数y=f(x)与y=g(x的图象有四个交点，分别为x,y),（x2,y2),(x,),(x4,y),则 立+别=() A.0 B.4 C.8 D.12 40.(2025陕西咸阳·二模)已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x-2)为奇函数，若函数g(x)=n (2+4x+5-x-2x≠-2)的图象与函数f(x)的图象有n个交点(G,y,(x,),,(x,少，且 2,=-2024,则的值为() A.1010 B.1012 C.1014 D.1016 41.(24-25高三上四川成都期中)已知定义在R上的函数∫(x满足fx=2-f1-x),若函数 函数y田的图象的交点为，，为，)，则 10/16