第十六章 轴对称和中心对称（知识清单）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“轴对称和中心对称”章节内容，涵盖轴对称图形、轴对称、线段垂直平分线、角平分线、中心对称及图形旋转等核心知识范畴，搭建了从概念定义到性质判定再到应用例题的递进式学习支架。 清单通过“表格对比+错误提示+例题分类”构建知识体系，如用表格清晰呈现轴对称与轴对称图形的区别联系，培养学生的几何直观和空间观念。特别标注“辅助线添加技巧”和“易混点辨析”，如角平分线例题提示“辅助线作垂直或延长”，助力学生高效突破难点，也为教师教学设计提供精准参考。

第十六章 轴对称和中心对称 知识点01轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的 ．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是 ，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 ． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊 一个形状特殊的图形 图形个数 图形 图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 有 或 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连 ． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连 ． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段） ，对应角（对折后重合的角） ． （4）成轴对称的两个图形 ；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的 、 ． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴 ． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 知识点02 线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 ．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点 在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点03 角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离相等。 2.判定定理:到 距离相等的点在角的平分线上。 知识点04 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个 ；绕对称中心旋转180°两个图形能够 。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的 。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成 。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过 ，并且都被对称中心 ； （2）关于中心对称的两个图形能够 ，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段 （或共线）且 。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点 ，如果旋转后的图形能够与原来的 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 知识点05 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内 转动 ，就叫做图形的旋转，点O叫做 ，转动的角叫做 。 我们把 、 、 称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的 ；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（3）旋转前后的图形 。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（2）对应点到旋转中心的 ，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 一、轴对称 1.根据轴对称图形的特征进行求解 错误：不熟悉轴对称图形的特征与性质 注意：熟练掌握轴对称图形的特征，记住对应边、对应角的关系 【例1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 二、线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线辅助线添加问题 错误：看到垂直平分线问题不知道该如何添加辅助线 注意：记住垂直平分线的性质，辅助线的添加一般都与性质有关 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 2.利用垂直平分线的性质解决问题 错误：忘记运用垂直平分线的性质 注意：存在多个垂直平分线的情况下要每个辅助线都要添加上 【例3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，求的周长． 3折叠问题 错误：不知道怎么解决折叠后的图形 注意：折叠问题主要是边、角的对应相等关系 【例4】（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处．若，若的面积为30，求线段的长． 三、角平分线 1.尺规作角平分线问题 错误：忘记角平分线的尺规作图法 注意：熟练掌握常见尺规作图法，如角平分线、垂直平分线等 【例5】（24-25八年级上·河北·阶段练习）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 2.角平分线的性质 错误：记不住角平分线的性质 注意：角平分线上的点到角两边的距离相等 【例6】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，中，，于． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写做法）； (2)若，求的度数． 3.角平分线的辅助线添加问题 错误：不知道角平分线的两种辅助线添加方法 注意：角平分线辅助线添加一种是作垂直、一种是作延长 【例7】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点为内部一点，平分，平分，点到的距离为2，且，，，则的面积为 ． 四、中心对称 1.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 错误：忽略中心对称的性质 注意：中心对称图形的概念要清晰，注意与轴对称的区别 【例8】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号 的小正方形涂阴影． 五、利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 1.图形的平移、旋转和轴对称问题 错误：不知道如何画轴对称图形 注意：先找对称轴，然后根据位置关系验证一下 【例9】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，从正方形网格图中标有序号“1，2，3”的格子中选一个涂阴影，使得整个阴影图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则应涂阴影的格子序号应该是 ． 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在各图形中，根据尺规作图痕迹能判断射线平分的是（   ） A．图①和图② B．图①和图③ C．图②和图③ D．图①、图②和图③ 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）在四边形纸片中，将纸片沿折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为20，，，则的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 4．（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于 ． 8．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将三角形纸片折叠，使点A恰好落在边的中点F处，折痕为．若的面积为18，则 ． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ． 10．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是 ． 12．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 13．如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）综合与实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：我用两个全等三角形（）可以画角的平分线． 作法如下：如图1 ①将两三角形的顶点重合，点在边上，点在边上； ②与交于点，连接，射线即为的平分线． (1)图1的阴影部分 （填“是”或“不是”）轴对称图形； (2)求证：平分； (3)小旭看了小惠的作法并认真思考后，他认为只要利用有刻度的直尺，就能画出任意锐角的平分线．请你和小旭一样，利用小惠的思路，通过有刻度的直尺，在图2中作出的平分线，并简述画图的过程． 15．（24-25八年级上·河北·阶段练习）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 16．如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 17．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，作一个，使是轴对称图形； (2)在图②中，作一个，使与成轴对称； (3)在图③中，作一个，使． 19．如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则_． (2)若，求的度数． 20．（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习） （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 轴对称和中心对称 知识点01轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 知识点02 线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点03 角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上。 知识点04 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 知识点05 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 一、轴对称 1.根据轴对称图形的特征进行求解 错误：不熟悉轴对称图形的特征与性质 注意：熟练掌握轴对称图形的特征，记住对应边、对应角的关系 【例1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 【答案】D 【分析】本题考查图形的对称，熟练掌握对称图形的性质是解题的关键． 由与关于直线对称，三角形与三角形的周长相等，且，再利用三角形内角和定理可求得的度数，从而可判断并得到答案． 【详解】解：与关于直线对称， 三角形与三角形的周长相等，，且， 故A、B正确； ∵，， ， 故C正确； 与关于直线对称， ∴，但， 故D错误， 故选：D． 二、线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线辅助线添加问题 错误：看到垂直平分线问题不知道该如何添加辅助线 注意：记住垂直平分线的性质，辅助线的添加一般都与性质有关 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 2.利用垂直平分线的性质解决问题 错误：忘记运用垂直平分线的性质 注意：存在多个垂直平分线的情况下要每个辅助线都要添加上 【例3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用线段垂直平分线的性质求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G， ∴，， ∴的周长等于． 3折叠问题 错误：不知道怎么解决折叠后的图形 注意：折叠问题主要是边、角的对应相等关系 【例4】（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处．若，若的面积为30，求线段的长． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，根据的面积为30，得出，根据折叠得出，结合的面积为30，运用等面积法即可解答． 【详解】解：在中，，，的面积为30， ∴， ∴， ∵将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处， ∴，， ∴， 即， ∴． 三、角平分线 1.尺规作角平分线问题 错误：忘记角平分线的尺规作图法 注意：熟练掌握常见尺规作图法，如角平分线、垂直平分线等 【例5】（24-25八年级上·河北·阶段练习）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键． 分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置． 【详解】解：如图所示，P点即为所求，为加油站位置． 2.角平分线的性质 错误：记不住角平分线的性质 注意：角平分线上的点到角两边的距离相等 【例6】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，中，，于． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写做法）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的角平分线，交于点，交于点，即可作答． （2）先运用三角形内角和性质，列式计算得，又因为平分，则，结合以及三角形内角和定理，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解：，， ， 又平分， ， 又， ， ， 3.角平分线的辅助线添加问题 错误：不知道角平分线的两种辅助线添加方法 注意：角平分线辅助线添加一种是作垂直、一种是作延长 【例7】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点为内部一点，平分，平分，点到的距离为2，且，，，则的面积为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，根据题目作出辅助线是解此题的关键． 连接、 作，，利用角平分线的性质可得出，然后利用三角形的面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、作，，， ∵分别平分和， ， ， 故答案为：22． 四、中心对称 1.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 错误：忽略中心对称的性质 注意：中心对称图形的概念要清晰，注意与轴对称的区别 【例8】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号 的小正方形涂阴影． 【答案】④ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：只有选取④进行阴影标注，使得网格中的阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④． 五、利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 1.图形的平移、旋转和轴对称问题 错误：不知道如何画轴对称图形 注意：先找对称轴，然后根据位置关系验证一下 【例9】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，从正方形网格图中标有序号“1，2，3”的格子中选一个涂阴影，使得整个阴影图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则应涂阴影的格子序号应该是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）即可得． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，这个格子内标有的数字是2， 故答案为：2． 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在各图形中，根据尺规作图痕迹能判断射线平分的是（   ） A．图①和图② B．图①和图③ C．图②和图③ D．图①、图②和图③ 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，线段的垂直平分线，以及全等三角形的判定与性质． 利用基本作图以及全等三角形的判定与性质对三个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图②中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线； 在图③中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 故选：A． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）在四边形纸片中，将纸片沿折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角性质，折叠的性质，结合图形求解是解题的关键． 根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：如图所示： ∵四边形纸片沿折叠， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C 3．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为20，，，则的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质．作于点F，可得，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点F， BD是的角平分线，，， ， ， ， 解得， 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵腰的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵的长为，的面积是， ∴此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 7．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将三角形纸片折叠，使点A恰好落在边的中点F处，折痕为．若的面积为18，则 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，又根据三角形中线的性质得，进而可得 ，由于这两个三角形的高相同，进而可得． 本题考查了折叠的性质和三角形中线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∴， 又∵F点是边的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 又∵与的高相同， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得出，，，，再由全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 【详解】解：， ，，，， ，故①正确，符合题意； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； 与不一定相等， ∴不一定垂直平分．， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③． 10．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出，再根据的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长， ∴； 故答案为：6． 12．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，结合角平分线的性质求解是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，证明，得到，，即可得解； 【详解】延长线段交于， 平分， ， ， 在与中， ， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 故答案是：． 13．如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等面积法，由，可得当三点共线时取等号，此时最小，过作于，作于，由折叠性质可知，，然后通过等面积法求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当三点共线时取等号，此时最小， 过作于，作于， 由折叠性质可知，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）综合与实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：我用两个全等三角形（）可以画角的平分线． 作法如下：如图1 ①将两三角形的顶点重合，点在边上，点在边上； ②与交于点，连接，射线即为的平分线． (1)图1的阴影部分 （填“是”或“不是”）轴对称图形； (2)求证：平分； (3)小旭看了小惠的作法并认真思考后，他认为只要利用有刻度的直尺，就能画出任意锐角的平分线．请你和小旭一样，利用小惠的思路，通过有刻度的直尺，在图2中作出的平分线，并简述画图的过程． 【答案】(1)是 (2)证明见详解 (3)作图及过程见详解 【分析】本题考查几何综合，涉及轴对称图形的识别、三角形全等的判定与性质、基本作图等知识，熟练掌握相关几何知识是解决问题的关键． （1）由轴对称图形定义直接判断即可得到答案； （2）由三角形全等的判断与性质求证即可得到答案； （3）由阅读材料，结合（2）的证明过程，作图求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 阴影部分关于直线轴对称， 故答案为：是； （2）证明：， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分； （3）解：如图所示： 作图过程是：用刻度尺作，连接与交于点， 射线即为的平分线． 15．（24-25八年级上·河北·阶段练习）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 16．如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点到对应点的距离相等． 根据轴对称的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵点、关于对称，点、关于对称， ∴，， ∵， ∴的周长． 17．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，作一个，使是轴对称图形； (2)在图②中，作一个，使与成轴对称； (3)在图③中，作一个，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的性质，利用相关性质正确画出图形是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质即可求解； （2）根据轴对称图形的性质即可求解； （3）根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求． 19．如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则_． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练运用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1 ）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2 ）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ， ∵点恰好落在边 BC上， ． ， ， ， ， 由折叠的性质，知， ． 20．（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习） （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 【答案】（2）①见解析；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （2）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （3）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（2）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $