专题05 特殊三角形全章24大常考易错压轴题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题05 特殊三角形全章24大常考易错压轴题型 题型1 等腰三角形的相关概念 题型13 用勾股定理解三角形（重点） 题型2 三线合一（重点） 题型14 勾股定理与网格问题 题型3 格点图中画等腰三角形 题型15 勾股定理与折叠问题（重点） 题型4 等腰三角形的判定（常考点） 题型16 勾股定理的实际应用（常考点） 题型5 等腰三角形的性质（重点） 题型17 勾股定理的逆定理 题型6 等边三角形的判定（常考点） 题型18 勾股定理中的最短路径问题（重点） 题型7 等边三角形的性质（重点） 题型19 直角三角形全等的判定 题型8 直角三角形（常考点） 题型20 反证法 题型9 30度角的直角三角形（重点） 题型21 等腰（边）三角形的存在性问题（难点） 题型10 斜边的中线定理（重点） 题型22 等腰（边）三角形的判定与性质（难点） 题型11 勾股定理的证明方法 题型23 勾股定理中的翻折问题（难点） 题型12 勾股数 题型24 勾股定理的最短路径问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等腰三角形的相关概念（共3小题） 1．如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据为等腰三角形，求出的长为5或7，继而判断是否符合题意,即可解答． 【详解】解：如图，在中，根据三角形的三边关系，得 ， 即 ∵为等腰三角形， ∴当时，,且，符合题意； 当 时，不符合题意，舍去， ∴． 故选A． 2．已知x，y为一个等腰三角形的两条边长，并满足：，则此等腰三角形的周长为 ． 【答案】7或8 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性及等腰三角形的定义，熟练掌握算术平方根的非负性及等腰三角形的定义是解题的关键；根据算术平方根的非负性可确定x的值，代入表达式求出y的值，得到等腰三角形的两条边长，再讨论腰长的可能情况，结合三角形三边关系进行判断，最后计算周长即可． 【详解】解：由，根据算术平方根的非负性，得且，解得； 代入，得； 所以等腰三角形的两条边长为2和3； 若腰长为2，底边为3，则三边长为2、2、3，满足三角形三边关系，周长为， 若腰长为3，底边为2，则三边长为3、3、2，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为7或8． 3．已知等腰三角形的周长为 (1)若等腰三角形的腰长与底边长之比为，求边的长； (2)设等腰三角形的腰长为y，底边长为x，用含x的代数式表示y，并求x的取值范围． 【答案】(1)6或9 (2) 【分析】本题考查了代数式表达式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据等腰三角形的定义可列出函数关系，再由三角形的三边关系，可求出x的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， 由题意得：， 解得：， 等腰三角形的腰长为6，底边长为9， 即边的长为6或9； （2）解：∵等腰三角形的周长为21，腰长为y，底边长为x， ； 由题意得：， 解得：； 即． 题型二 三线合一（共3小题） 4．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 6．如图，是等腰直角三角形．，过点A作交于点D，点P在线段的延长线上，连接交于点E，过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G．    (1)求证：； (2)写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用是等腰直角三角形，，得出，由题意得，因为，故，结合对顶角相等，得，即可证明； （2）由（1）得，故，，因为即，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∴，， 即， ∵过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G． 即， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G． ∴ 即， ∴ ∴． 题型三 格点图中画等腰三角形（共3小题） 7．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 8．正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查在方格纸中找等腰直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论，为直角边或斜边进行解决即可． 【详解】解：分两种情况讨论，为直角边或斜边， （1）为等腰直角三角形的斜边，格点在1或2处， （2）为等腰直角三角形的直角边，格点在3或4处， ∴符合要求的点共4个． 故答案为：4． 9．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上； (1)在图中画出一个以线段为腰的等腰三角形，点在小正方形的格点上； (2)在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4； (3)连接，请直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了作图，包括画等腰三角形，画钝角三角形；以及等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握作图规则并判断出四边形是平行四边形是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构造的钝角三角形面积为4，则可以在A的水平方向取一条长为4的线，由此可求； （3）根据钝角三角形面积为4，求解四边形的面积即可． 【详解】（1）解：等腰三角形，如图， （2）解：钝角三角形，如图， （3）解：连接，如图， ∴． 题型四 等腰三角形的判定（共3小题） 10．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 11．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）先利用“三边对应相等的两个三角形全等”证明，得出，，再利用“三角形内角和等于”即可求得答案； （2）由“平分”可知，由可推得，所以，再根据等腰三角形的判定即可证得． 【详解】（1）解：D是边上的中点， ， ，， ， ，， , ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ． 12．如图，点，在上，，，    (1)求证：； (2)若与的交点为点，求证：是等腰三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边； （1）根据条件可得，通过即可证明； （2）根据可得，即可证明 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 题型五 等腰三角形的性质（共3小题） 13．如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求出的度数，利用垂直平分线的性质求出的度数，即可解答； （2）利用三角形的周长运算方法列式求出的长，再利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长， 的周长， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴． 14．如图，在中，，于点D，过点C作，，连接并延长，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)50° (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是利用等腰三角形三线合一性质以及全等三角形的判定条件来求解． （1）先根据平行线性质求度数，再由等腰三角形三线合一求； （2）根据及得到，再结合平行线性质找全等条件； （3）利用全等三角形性质得到，进而证明． 【详解】（1）且， ， 又， 等腰中， 又， 在中； （2）且， 根据等腰三角形“三线合一”可得， 又在与中， ， ； （3）由（2）可得， ， 又且， ． 15．如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析； (2)的大小不发生变化，； (3)当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答； （3）分三种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，如图， 当时，， 故时，为等腰三角形； 综上，当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 题型六 等边三角形的判定（共3小题） 16．已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求证，得； （2）由，得，再结合三角形外角性质，得出，由（1）知，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，，． ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴为等边三角形． 17．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 18．如图，P为等边三角形内部一点，旋转后能与重合． (1)旋转中心是______，旋转角是______度． (2)连接，是什么三角形？并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)是等边三角形 【分析】（1）因为为等边三角形，所以，． 旋转后能与重合，显然是与重合，可判断是绕点顺时针旋转得到的； （2）根据旋转角和对应边可判断是等边三角形． 【详解】（1）根据题意，与重合，所以旋转中心是点，旋转角等于． 故答案为：，； （2）等边三角形． ∵旋转角为，即，， ∴等边三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，旋转的相关概念及旋转的性质，结合图形，把握旋转的对应关系是解题的关键． 题型七 等边三角形的性质（共3小题） 19．如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 20．如图，中，，点在边上，，点在延长线上，连结，点在上，交于点，，． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由得，再由得，，进而得，据此可得出结论； （2）连接，设与交于点，先证，再证，进而可得，则，据此可得出结论； （3）在上取一点，是，连接，先证和全等得，，据此可证，，由此可得，则，进而可求出的长． 【详解】（1）证明：如图所示： ， ， ， ，， ， ； （2）证明：连接，设与交于点，如图2所示： 由（1）可知：； 又，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 又， ， 在中，，则， 又， 为等边三角形． （3）解：在上取一点，是，连接，如图3所示： 在和中， ， ， ，， ，， ， 由（2）可知：为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 21．已知是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点，将线段绕点A逆时针方向旋转（即）得到，连接．    (1)如图1，猜想是什么三角形？__________．（直接写出结果） (2)如图2，猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】(1)等边三角形 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，通过旋转证明三角形全等是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的判定定理即可得出答案． （2） 证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形即可得到结论． 【详解】（1）解：由旋转变换的性质可知，，， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）解：，证明如下： 由旋转的性质可知，，， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型八 直角三角形（共3小题） 22．如图，在中，，平分交于点，于点，且为的中点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含的直角三角形，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． （1）根据题意，得到是线段的垂直平分线，进而推出，利用角平分线，得到，进而求出． （2）利用所对的直角边是斜边的一半，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵于点E，E为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴． 23．如图，在中，平分交直线的延长线于点，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、外角定理，直角三角形的性质，首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的外角即可求出的度数，最后利用直角三角形的两锐角互余求得的度数． 【详解】解：， ， ∵平分， ， ， ， ． 24．按要求完成下列各小题． (1)求图1中的的值，并直接写出是否是直角三角形； (2)如图2，在边的延长线上，求图2中的的值，并直接写出是否是等边三角形． 【答案】(1)的值为，是直角三角形 (2)的值为，不是等边三角形 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，解一元一次方程，直角三角形的判定和等边三角形的判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据三角形内角和知识和直角三角形的判定知识进行作答，即可求解； （2）根据三角形外角的知识和等边三角形的判定知识进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得：，即的值为； ∴， ∴是直角三角形； （2）解：根据题意可得， 解得， 即的值为； ∴， ∴不是等边三角形． 题型九 30度角的直角三角形（共3小题） 25．如图，在中，，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． （1）由等角对等边，即可证明； （2）由等腰三角形的三线合一性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，可得答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 26．如图，，平分，，为的垂直平分线，交于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质．过点作于点，根据角平分线的性质，可得，，再由线段垂直平分线的性质，可得，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，然后根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 27．如图，和均为直角三角形，且，点从点向点运动．在运动过程中，线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键． 由和均为直角三角形和可知，当时，的值最小，根据30度角的性质即可求解． 【详解】解：和均为直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，的值最小， 此时，． 故答案为：3． 题型十 斜边的中线定理（共3小题） 28．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵，， ， ， ∵，E是斜边的中点， ， ， ， 故答案为： 29．如图，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)图中与有怎样的位置关系？试证明你的结论． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，证明过程见解析 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等量代换，即可证得结论； （2）由等腰三角形三线合一，即可得与的位置关系． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴，； ∴ （2）解：， 证明：在中，，点是的中点， ∴ ． 30．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理； （1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ； （2）， ∴， ∴的周长为． 题型十一 勾股定理的证明方法（共3小题） 31．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 32．如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：① ② ③ ④；其中说法正确的有 个． 【答案】4 【分析】根据图形的特点，以及两个正方形的面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：因为大正方形的面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴由勾股定理得：，故①正确； ∵四个直角三角形全等，由图形可知：，故②正确； 由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积可得： ，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 综上，①②③④都正确， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，正确的解读图形，获取有效信息，是解题的关键． 33．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①，② 【分析】本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）①由勾股定理直接求出；②设，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ②设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 题型十二 勾股数（共3小题） 34．下列各组数中，是一组勾股数的是（    ） A．1，2，3 B． C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意； B、都不是正整数，则此项不是勾股数，不符合题意； C、都不是正整数，则此项不是勾股数，不符合题意； D、，则此项是勾股数，符合题意； 故选：D． 35．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 36． 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 【答案】探究一：；探究二：（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股数，整式混合运算的应用，因式分解的应用，解题的关键熟练掌握勾股数定义． 探究一：根据勾股定理求出勾的平方，然后求出勾的值即可； 探究二：（1）根据勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯得出一般规律即可得出答案； （2）根据完全平方公式，进行证明即可． 【详解】解：探究一： ， ∴勾可以表示为； 探究二：（1）∵4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ ∴用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为：； （2）证明：∵， ∴，，是一组勾股数． 题型十三 用勾股定理解三角形（共3小题） 37．如图，等腰和等腰中，，D点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“边角边”证明即可； 对于（2），先根据勾股定理求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴． ∵， ∴． ∵等腰， ∴， 又由（1）知， ∴， ∴， ∴． 38．如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 39．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）先求得，再由勾股定理求出的长． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 在中， 是直角三角形； （2）在四边形中， 由（1）得， ∴在中， 题型十四 勾股定理与网格问题（共3小题） 40．如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 41．图①、图②、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画多边形，使多边形的每个顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个腰长为3的等腰三角形，使点在其对称轴上； (2)在图②中，画一个腰长为的等腰三角形，使点在其对称轴上； (3)在图③中，画一个面积为的四边形，使四边形为轴对称图形且点在其对称轴上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了轴对称图形，等腰三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作图即可． （2）根据题意作图即可． （3）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． ． （3）解：如图，四边形即为所求． 图①和②中， 图③中，． 42．如图，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)求的周长． (2)判断的形状，并求其面积． (3)求边上的高． 【答案】(1)厘米 (2)直角三角形， (3)厘米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据勾股定理求出三条边的长度即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，利用直角三角形面积公式求出面积即可； （3）根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得： 厘米， 厘米， 厘米， ， 则的周长为厘米； （2）解：厘米，厘米，厘米， ， ， ， 是直角三角形， ； （3）解：设边上的高为厘米， ， ， ， 则边上的高为厘米． 题型十五 勾股定理与折叠问题（共3小题） 43．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠得，设，则，再根据勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为， 故选：． 44．如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，已知，．    （1） ． （2） ． 【答案】 45 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，结合已知和计算即可． （2）根据折叠的性质，得到，结合，得继而得到，根据折叠的性质，得到，得到，关键勾股定理计算即可． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）根据折叠的性质，得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． （2）根据折叠的性质，得到， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得到， ∴， ∴， 故答案为：． 45．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 题型十六 勾股定理的实际应用（共3小题） 46．小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意是解题关键． （1）先利用勾股定理求解，再进一步求解即可． （2）先求解，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，（米） ∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升12米，则， 在中，， 由勾股定理得，， ， ∴他应该再放出8米线． 47．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 48．某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)乙船沿北偏西方向航行 (2)有小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，等腰三角形三线合一的性质，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理逆定理得出，再根据角的和差关系即可得出，进而可求解． （2）过点O作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：根据题意可知：，（海里） ∵（海里），（海里）， ∴， ∴， ∴， 故乙船沿北偏西方向航行． （2）解：过点O作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有小时可以接收到信号． 题型十七 勾股定理的逆定理（共3小题） 49．三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵，三角形内角和为， ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形，故B选项符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 50．如图是某工厂的平面图经测量． （1）则 度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为 米． 【答案】 160 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 51．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 题型十八 勾股定理中的最短路径问题（共3小题） 52．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 要求所用蚂蚁走的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，， 故它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为， 故选：C． 53．如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面处的食物，已知处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理的应用，正确利用展开图进行计算是解题关键．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为． 54．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 题型十九 直角三角形全等的判定（共3小题） 55．如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形． （1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得； （2）证，得 【详解】（1）证明：∵ 平分，平分， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：． 理由： ∵ ， ∴ ，即， 在和中，， ∴ ， ∴ ． 56．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线； （1）根据角平分线的性质得到，判定，即可证出结论； （2）证出，得到． 即可推出结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， 又∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）证明：在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 57．如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 题型二十 反证法（共3小题） 58．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 59．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 60．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 题型二十一 等腰（边）三角形的存在性问题（共3小题） 61．在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)（1）中①的结论仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据等边对等角得，结合三角形外角的性质得，再利用“”即可得证； ②由已知可得，，再根据全等三角形的对应边相等得，可得结论； （2）（1）中①的结论仍然成立，根据等边对等角得，由等角的补角相等得，继而得到，最后利用“”即可得证； （3）分两种情况：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴边的长为； （2）解：（1）中①的结论仍然成立． 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：①当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点．掌握全等三角形的判定和性质、等边对等角是解题的关键． 62．如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 【答案】(1)点M、N运动12秒后重合 (2)当点M、N运动4秒时，是等边三角形 (3)存在，当点M、N运动16秒时，是等腰三角形 【分析】本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． （1）首先设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）设点M、N运动t秒后重合， 则， 解得， ∴点M、N运动12秒后重合； （2）设点M、N运动t秒后，是等边三角形， 如图1，，， 当时，是等边三角形， 即， 解得， ∴当点M、N运动4秒时，是等边三角形； （3）能得到以为底边的等腰三角形；理由如下： 如图2， 设点M、N运动t秒， 则，， 假设是等腰三角形， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴当点M、N运动16秒时，是等腰三角形． 63．如图，中，厘米，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1厘米/秒，点N的速度为2厘米/秒．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设点M、N运动时间为t秒．    (1)当点M、N运动__________秒时，可得到等边三角形： (2)当点M、N运动__________秒时，M、N两点重合； (3)请在备用图里画出图形解答：当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时t的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)12 (3)作图见解析；存在； 【分析】（1）根据等边三角形的判定，得到当时可得到等边三角形，进行求解即可； （2）根据重合时，点比点多运动12cm，进行求解即可； （3）根据要求画图即可，证明，得到，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵中，厘米， ∴为等边三角形， ∴， ∴当时，为等边三角形， 由题意，得：，解得：； 即：当点M、N运动4秒时，可得到等边三角形； 故答案为：； （2）由题意，得：，解得：， ∴当点M、N运动秒时，M、N两点重合； 故答案为：12； （3）存在 当秒时M、N两点恰好在C处重合． 如图，是以MN为底边的等腰三角形．    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 题型二十二 等腰（边）三角形的判定与性质（共3小题） 64．如图1，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，若，是的边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，从而可得； （2）先证明平分，再根据角平分线的性质求出，然后根据，得出，从而可根据三线合一得出平分，进而可说明，从而可得，均为等腰直角三角形，于是有，从而可求得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 在与中， ∴ ∴． （2）过点作，垂足为． 由（1）知，， ∵， ∴， ∴平分． ∵，，， ∴． 由（1）知，， ∴， ∵， ∴平分，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 65．如图1，已知在中，，，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，点在内部，满足，， ①求证：； ②如图3，连接，在上截取，若，，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）①证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； ②连接，根据题意得出是等腰直角三角形，进而证明，根据①的结论得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 由①可得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 66．【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知这些性质定理是解题的关键． （1）根据和均为等边三角形，得，，，进而证得即可得结果； （2）根据（1）的做题思想同理证得，再根据等腰三角形三线合一的性质证得，最后可证得； （3）根据点E在的内部和外部，分类讨论求得的度数． 【详解】解： （1）①∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． 如图1，设与交于点O， ∴． ∴． ②∵， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下， ∵与均为等腰三角形，， ∴，， ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵与均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，且， ∴． 即． （3）如图2，点E在的内部，由（1）知，同理可得． 如图3，点E在的外部， ∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵． ∴． ∴． 故答案为：的度数为或． 题型二十三 勾股定理中的翻折问题（共3小题） 67．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 68．已知点，分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点落在处，点落在处．当，时，请解决下列问题： (1)如图，若点恰好与点重合，与相交于点，连接、，求的长； (2)如图，若点恰好在边上时，交于点，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3)的长为或 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，关键是折叠的性质的应用； （1）由折叠得到，再利用勾股定理即可求得； （2）利用折叠及判定三角形全等即可得证结论； （3）利用勾股定理分情况讨论即可． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ， 解得， 的长为； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ≌， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ②当在线段上时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 69．在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)①图形见解析，；② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 题型二十四 勾股定理的最短路径问题（共3小题） 70．学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 71．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 72．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． $ 专题05 特殊三角形全章24大常考易错压轴题型 题型1 等腰三角形的相关概念 题型13 用勾股定理解三角形（重点） 题型2 三线合一（重点） 题型14 勾股定理与网格问题 题型3 格点图中画等腰三角形 题型15 勾股定理与折叠问题（重点） 题型4 等腰三角形的判定（常考点） 题型16 勾股定理的实际应用（常考点） 题型5 等腰三角形的性质（重点） 题型17 勾股定理的逆定理 题型6 等边三角形的判定（常考点） 题型18 勾股定理中的最短路径问题（重点） 题型7 等边三角形的性质（重点） 题型19 直角三角形全等的判定 题型8 直角三角形（常考点） 题型20 反证法 题型9 30度角的直角三角形（重点） 题型21 等腰（边）三角形的存在性问题（难点） 题型10 斜边的中线定理（重点） 题型22 等腰（边）三角形的判定与性质（难点） 题型11 勾股定理的证明方法 题型23 勾股定理中的翻折问题（难点） 题型12 勾股数 题型24 勾股定理的最短路径问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等腰三角形的相关概念（共3小题） 1．如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 2．已知x，y为一个等腰三角形的两条边长，并满足：，则此等腰三角形的周长为 ． 3．已知等腰三角形的周长为 (1)若等腰三角形的腰长与底边长之比为，求边的长； (2)设等腰三角形的腰长为y，底边长为x，用含x的代数式表示y，并求x的取值范围． 题型二 三线合一（共3小题） 4．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 6．如图，是等腰直角三角形．，过点A作交于点D，点P在线段的延长线上，连接交于点E，过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G．    (1)求证：； (2)写出线段与的数量关系，并说明理由． 题型三 格点图中画等腰三角形（共3小题） 7．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有 个． 9．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上； (1)在图中画出一个以线段为腰的等腰三角形，点在小正方形的格点上； (2)在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4； (3)连接，请直接写出四边形的面积______． 题型四 等腰三角形的判定（共3小题） 10．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 11．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 12．如图，点，在上，，，    (1)求证：； (2)若与的交点为点，求证：是等腰三角形 题型五 等腰三角形的性质（共3小题） 13．如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 14．如图，在中，，于点D，过点C作，，连接并延长，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 15．如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 题型六 等边三角形的判定（共3小题） 16．已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 17．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 18．如图，P为等边三角形内部一点，旋转后能与重合． (1)旋转中心是______，旋转角是______度． (2)连接，是什么三角形？并说明你的理由． 题型七 等边三角形的性质（共3小题） 19．如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 20．如图，中，，点在边上，，点在延长线上，连结，点在上，交于点，，． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)当，时，求的长． 21．已知是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点，将线段绕点A逆时针方向旋转（即）得到，连接．    (1)如图1，猜想是什么三角形？__________．（直接写出结果） (2)如图2，猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论； 题型八 直角三角形（共3小题） 22．如图，在中，，平分交于点，于点，且为的中点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 23．如图，在中，平分交直线的延长线于点，求和的度数． 24．按要求完成下列各小题． (1)求图1中的的值，并直接写出是否是直角三角形； (2)如图2，在边的延长线上，求图2中的的值，并直接写出是否是等边三角形． 题型九 30度角的直角三角形（共3小题） 25．如图，在中，，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．如图，，平分，，为的垂直平分线，交于点．若，则的长为 ． 27．如图，和均为直角三角形，且，点从点向点运动．在运动过程中，线段长的最小值为 ． 题型十 斜边的中线定理（共3小题） 28．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为 ． 29．如图，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)图中与有怎样的位置关系？试证明你的结论． 30．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 题型十一 勾股定理的证明方法（共3小题） 31．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 32．如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：① ② ③ ④；其中说法正确的有 个． 33．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 题型十二 勾股数（共3小题） 34．下列各组数中，是一组勾股数的是（    ） A．1，2，3 B． C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 35．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 36． 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 题型十三 用勾股定理解三角形（共3小题） 37．如图，等腰和等腰中，，D点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 38．如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 39．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 题型十四 勾股定理与网格问题（共3小题） 40．如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 41．图①、图②、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画多边形，使多边形的每个顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个腰长为3的等腰三角形，使点在其对称轴上； (2)在图②中，画一个腰长为的等腰三角形，使点在其对称轴上； (3)在图③中，画一个面积为的四边形，使四边形为轴对称图形且点在其对称轴上． 42．如图，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)求的周长． (2)判断的形状，并求其面积． (3)求边上的高． 题型十五 勾股定理与折叠问题（共3小题） 43．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，已知，．    （1） ． （2） ． 45．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 题型十六 勾股定理的实际应用（共3小题） 46．小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 47．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 48．某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 题型十七 勾股定理的逆定理（共3小题） 49．三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 50．如图是某工厂的平面图经测量． （1）则 度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为 米． 51．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 题型十八 勾股定理中的最短路径问题（共3小题） 52．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 53．如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面处的食物，已知处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是 ． 54．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 题型十九 直角三角形全等的判定（共3小题） 55．如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 56．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： (1)； (2)． 57．如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 题型二十 反证法（共3小题） 58．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 59．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 60．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 题型二十一 等腰（边）三角形的存在性问题（共3小题） 61．在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 62．如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 63．如图，中，厘米，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1厘米/秒，点N的速度为2厘米/秒．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设点M、N运动时间为t秒．    (1)当点M、N运动__________秒时，可得到等边三角形： (2)当点M、N运动__________秒时，M、N两点重合； (3)请在备用图里画出图形解答：当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时t的值．若不存在，请说明理由． 题型二十二 等腰（边）三角形的判定与性质（共3小题） 64．如图1，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，若，是的边上的高，，求的长． 65．如图1，已知在中，，，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，点在内部，满足，， ①求证：； ②如图3，连接，在上截取，若，，求的长． 66．【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 题型二十三 勾股定理中的翻折问题（共3小题） 67．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 68．已知点，分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点落在处，点落在处．当，时，请解决下列问题： (1)如图，若点恰好与点重合，与相交于点，连接、，求的长； (2)如图，若点恰好在边上时，交于点，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 69．在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 题型二十四 勾股定理的最短路径问题（共3小题） 70．学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 71．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 72．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $