精品解析：云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试卷

峨山一中2025-2026学年上学期12月考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与（且） 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 8. 指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是 A. 6 B. 3 C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 10. 设，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则______________． 13. 函数的零点个数是__________. 14. 若关于的方程有两解，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1）； （2）若已知，求的值． 16. 已知全集为全体实数，集合，集合. （1）求和； （2）求和. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 18. “中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． （1）求的解析式； （2）若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 19. 已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有零点，求的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 峨山一中2025-2026学年上学期12月考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由，，则， 又，则. 故选：C 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与（且） 【答案】D 【解析】 【分析】根据两函数定义域和对应法则一一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数； 对于C，函数的定义域为，的定义域为， 而，对应法则不同，所以不是同一函数； 对于D，函数的定义域为，的定义域为， 而，故两函数为同一函数. 故选：D 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式知，解不等式组即可得定义域 【详解】由函数，知 解之得： 故选：B 【点睛】本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】将展开利用基本不等式即可求解. 【详解】由，，且得 ， 当且仅当即，时等号成立，的最小值为， 故选：B. 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，，. 所以. 故选：D. 6. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知判断出函数的图像是连续不断的，且，可得选项． 【详解】因为的图像是连续不断的， 且，所以函数的实数解落在的区间是． 故选：B． 【点睛】方法点睛：根据零点存在性定理：函数 上的图像是连续不断的，且，则函数上存在零点，但不能判断零点的个数． 7. 若是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理及对数的运算法则即可得解. 【详解】因为是方程的两个实根， 故由韦达定理可知，， 即，得. 故选：C. 8. 指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是 A. 6 B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的底数的不同的取值范围进行分类讨论,结合题意求出的值,然后利用一次函数的单调性求出函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值. 【详解】当时,指数函数y＝ax是单调递增函数,因此当指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值分别是,由题意可知：,所以函数在[0,1]上的最大值为： ； 当时,指数函数y＝ax是单调递减函数,因此当指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值分别是,由题意可知：舍去. 故选：B 【点睛】本题考查了指数函数的单调性和一次函数的单调性,考查了分类思想,考查了数学运算能力. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用奇函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，是定义在R上的奇函数，所以，故A正确； 对于B，的图像关于原点对称，若在上有最小值，则在上有最大值1，故B正确； 对于C，的图像关于原点对称，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C错误； 对于D，若时，，则时，, 又,故D错误； 故选：AB 10. 设，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及换底公式逐一判断各选项即可． 【详解】已知，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误， 故选：AC． 11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 按照、讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解. 【详解】若，则函数是R上的增函数， 函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能； 若，则函数是R上的减函数， ，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为， 故C可能，D不可能. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，由函数过点，求出参数，即可求出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故答案为： 13. 函数的零点个数是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，由分段函数，当时，解方程可得零点个数，当时，零点个数转化为的图像交点个数，画出图像可得. 【详解】令得，，只有符合题意； 令得，，在同一坐标系内，画出的图像，观察知交点有个，所以零点个数是. 故答案为：2. 14. 若关于的方程有两解，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1）； （2）若已知，求的值． 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）运用对数运算法则和分数指数幂运算法则即可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因，所以． 16. 已知全集为全体实数，集合，集合. （1）求和； （2）求和. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由交集与并集的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先由补集的定义可得，，然后代入计算即可. 【小问1详解】 因为，且， 则，. 【小问2详解】 因为，， 则，. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 【答案】（1），偶函数 （2）当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）定义域，根据对数函数真数大于$0$的性质，列出不等式组求解；判断奇偶性，通过计算并与比较，依据奇偶性定义得出结论；  （2）对于解不等式，先化简不等式，再根据对数函数单调性（分和两种情况）求解. 【小问1详解】 由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； 【小问2详解】 即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 18. “中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． （1）求的解析式； （2）若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 【答案】（1） （2）6小时 【解析】 【分析】（1）由题意设减少的人数为，根据题意求出，写出各段函数的解析式即可得到答案； （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性求分段函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意设减少的人数为， 由题意得，其中为常数， 因为发车时间间隔为2小时时载客量为560人，所以， 解得， 所以 【小问2详解】 由得， 即， ①当时， ，当且仅当等号成立， ②当时， 在上单调递减，当时Q取最大值， 综上，当发车时间间隔为小时，该时段这条线路每小时的净收益最大，最大为120千元. 19. 已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有零点，求的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求，利用奇函数用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k的取值范围；（3）分析函数的单调性，转化为关于t恒成立问题，利用分离参数法求k的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）设,则， a=3, ，　 ， 因为是奇函数，所以，即 , ∴，又， ； ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零点， 从而，即， ∴，　∴， ∴k的取值范围为． （Ⅲ）由（Ⅰ）知， ∴在R上为减函数（不证明不扣分）． 又因是奇函数， 所以=， 因为减函数，由上式得：, 即对一切，有恒成立， 令m(x)=,,易知m(x)在上递增，所以， ∴，即实数的取值范围为． 点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $