精品解析：江西省南昌市外国语学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

南昌市外国语学校2025-2026学年度上学期 高一数学12月月考试卷 考试时间：120分钟 命题人：柳清风 审题人：章正翔 一、单选题（每题5分共计40分） 1. 若，则的化简结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式的运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D 2. 设集合，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，求出函数定义域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，， 所以 故选：A 3. 设，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可借助指数幂的运算法则可得、，再结合的单调性即可得，大小关系，也可借助幂函数及指数函数的单调性得到，大小关系，再利用对数运算可得，即可得解. 【详解】法一：由， ， 又函数为增函数，且，故，即， 又，故. 法二：由函数在上单调递增，故， 由函数在上单调递减，故， 即有，故， 又，故. 故选：B. 4. 已知函数且过定点，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数函数的性质求出函数所过的定点，即可求出，再根据对数函数的图象与性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数且过定点， 所以， 则，其图象关于对称，且在上单调递减， 则符合的图象为D选项. 故选：D. 5. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 6. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法将不等式转化为在有解，构造新函数，然后利用对号函数的单调性求解新函数的最小值并结合不等式有解的含义即可得出答案. 【详解】不妨设，当时，， 故不等式在区间上有解等价于在有解， 即在有解， 不妨令，则只需， 由对号函数的性质易知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以的最小值为，即， 故实数取值范围为. 故选：A. 7. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到的图象关于直线对称，令，证得在上为增函数，结合复合函数的单调性的判定方法，得到在上为增函数，将不等式转化为，求得的取值范围. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 且， 因为， 所以函数的图象关于直线对称， 令，其中， 任取且，所以，故，且，， 则 ，即， 所以函数在上为增函数， 又因为函数为增函数，由复合函数的单调性知，函数在上为增函数， 因为，则，即， 即，整理得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对任意的、且均有，若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析函数在上的单调性及奇偶性，可得出其在上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 不妨设，由可得， 所以，， 令，可得， 所以，函数在定义域上为增函数， 易知函数的定义域为， 因为， 所以，，即函数为奇函数， 因为函数在为增函数，故该函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由， 可得，即， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（每题6分，错选，多选不给分.三个选答，每漏一个扣两分，两个选答，每漏一个扣三分.共计18分） 9. 已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A. 或 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质，逐项分析即可. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得 或，故A正确； 对于B，当或时， 或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，是增函数， 当时，不是减函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有， 所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数（且），则下列正确的是（ ）． A. 的定义域为 B. 当时，在上的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 若有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据解析式求出函数的定义域判断；对B，判断在上的单调性，求解值域判断；对C，利用函数对称性的定义判断；对D，函数和的图象有两个交点，数形结合判断. 【详解】对于A，由，即，所以，即的定义域为，故A正确； 对于B，当时，，因为和在上单调递减， 所以在上单调递减，又，，所以的值域为，故B错误； 对于C，因为， 所以关于点对称，故C正确； 对于D，令，即，作出函数和的图象，如下图， 若有两个零点，即函数和的图象有两个交点，由图可得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A. 若函数有四个零点，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，则为定值 C. 若函数有四个零点，则的取值范围为 D. 函数的零点个数为5个 【答案】BD 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为直线与函数的图象交点，结合对数运算及对勾函数的性质求解判断ABC；令，求出的零点，再分段求解判断D. 【详解】函数为偶函数，即，则函数关于对称， 当时，，，函数的大致图象如图， 由，得，则函数零点是直线与函数的图象交点的横坐标， 对于A，观察图象，得当时，函数有4个零点，A错误； 对于B，由，得，因此，，B正确； 对于C，由，得，且，则， 函数在上单调递减，因此，C错误； 对于D，令，由，得或， 当时，，满足，而有3个解，此时有3个解， 当时，，满足，而有2个解，此时有2个解， 因此函数的零点个数为5，D正确. 故选：BD 三、填空题（每题5分共计15分） 12. 函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或. 所以，函数的定义域为， 内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 外层函数为减函数，所以，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【点睛】复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与.若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数． 13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，代入已知条件，结合奇函数定义可得. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且； 因为当时，； 所以当时，，所以； 因为； 所以的解析式是. 故答案为： 14. 设为正实数，若实数是关于的方程的解，则_______ 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，化简得，令，求得为增函数，转化为，得到，进而得到，求得，即可求解. 【详解】由方程，变形可得， 即， 令，则，所以为单调递增函数， 因为，可得，可得，即， 又因为实数是关于的方程的解， 可得，可得，所以0. 故答案为：0 四、解答题 15. （1）计算：； （2）记，，用、表示对数. 【答案】（1）200； （2） 【解析】 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可； （2）利用换底公式及对数运算法则计算即可. 【详解】（1） ； （2）由，得， 所以. 16. 已知函数． （1）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1）最小值为，； （2） 【解析】 【分析】（1）令，结合二次函数性质求解即可； （2）利用复合函数的单调性列不等式求解可得. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 令，，则， 当，即，即时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 因为在上单调递增，在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 17. 已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： （1）函数在上单调递增； （2），恒有成立． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义结合条件证明即可； （2）设，则，由（1）知函数单调递增，故，再结合题设条件即可证明. 【小问1详解】 设，则． 所以， 所以，即函数在上单调递增． 【小问2详解】 设，则， 又在上单调递增，所以， 所以．所以， 18. 已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数a的取值范围； （3）是否存在正实数k，使得在上的取值范围是？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上单调递增，证明见详解. （2） （3）存在实数满足题意，且. 【解析】 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立，通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【小问1详解】 在上单调递增，理由如下； 任取，且， 那么 ， ，，可得，又， ，即， 在上单调递增. 【小问2详解】 ， ， ， 由（1）可知在上单调递增，， ，即对恒成立， 令，，只需， 令，则，， 在上单调递增， 当时，， . 【小问3详解】 由（1）可知在上单调递增， ， 为方程的两个实数根，即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， ，即，且，解得且， 存实数满足题意，且. 19. 对于定义域相同的函数和，若存在实数使得，则称由和生成的． （1）若是由和生成的，求的值； （2）试利用和生成函数，满足为偶函数，且. （I）求函数的解析式并判断的单调性（单调性无需证明）； （II）对，都有，求的取值范围 【答案】（1） （2）（I），在上递减，在上递增；（II） 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后利用对应系数相等即可求解； （2）（I）利用偶函数的定义可得，再利用求出即得解析式；根据函数单调性定义在内任取，且，作差，利用指数运算与对数运算化简并判断的符合从而得函数单调性； （II）根据函数单调性再化简不等即可求出最大值． 【小问1详解】 依题意，， 则，故有， 解得，所以实数的值为； 【小问2详解】 （I）设， 由为偶函数，得，， 则， 整理得，即，于是， 即对任意恒成立，则， ， 又，则，解得，则， 所以函数的解析式为； ， 在内任取，且， 则， 又 ， 由，则，，， 则，故， 故，即，故在上是增函数， 由偶函数的性质知，函数在上是减函数； （II）由题意，由（I）可知，即对恒成立， 所以且，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025-2026学年度上学期 高一数学12月月考试卷 考试时间：120分钟 命题人：柳清风 审题人：章正翔 一、单选题（每题5分共计40分） 1. 若，则的化简结果是（ ） A 1 B. C. D. 2. 设集合，则等于（    ） A. B. C. D. 3. 设，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数且过定点，则函数的大致图象为（ ） A. B. C D. 5. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 6. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对任意的、且均有，若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，错选，多选不给分.三个选答，每漏一个扣两分，两个选答，每漏一个扣三分.共计18分） 9. 已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A. 或 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 10. 已知函数（且），则下列正确的是（ ）． A. 定义域为 B. 当时，在上的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 若有两个零点，则的取值范围为 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A. 若函数有四个零点，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，则为定值 C. 若函数有四个零点，则的取值范围为 D. 函数的零点个数为5个 三、填空题（每题5分共计15分） 12. 函数的单调递增区间是__________． 13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是_________. 14. 设为正实数，若实数是关于的方程的解，则_______ 四、解答题 15. （1）计算：； （2）记，，用、表示对数. 16. 已知函数． （1）求最小值，并求出当取得最小值时的值； （2）求的单调递减区间． 17. 已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： （1）函数在上单调递增； （2），恒有成立． 18. 已知函数. （1）判断单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数a的取值范围； （3）是否存在正实数k，使得在上的取值范围是？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 对于定义域相同的函数和，若存在实数使得，则称由和生成的． （1）若是由和生成的，求的值； （2）试利用和生成函数，满足为偶函数，且. （I）求函数的解析式并判断的单调性（单调性无需证明）； （II）对，都有，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $