6.2 数学建模 —从自然走向理性之路 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

该高中数学课件以伽利略自由落体运动方程为核心案例，系统展示数学建模的完整过程，包括问题描述、模型假设、建立、求解、分析检验及推广应用，从自然现象出发结合历史背景导入，通过分步推导搭建学习支架。 其亮点在于以经典案例贯穿，结合v-t图像可视化推导和斜面实验验证，体现“用数学的眼光观察现实世界”（从物体下落现象抽象问题）、“用数学的思维思考现实世界”（逻辑推理构建模型），帮助学生理解建模本质，教师可借助练习（如椅子问题）提升学生应用能力与理性精神。

数学建模 ——从自然走向理性之路 1 一 　　16世纪，意大利物理学家伽利略通过对自由落体运动的研究，得出自由落体运动过程的路程模型. 自由落体运动方程是自然科学史上一项伟大的成果，该运动方程的得到是数学建模方法的经典之作. 　　下面，我们以物体自由落体运动方程为例，说明数学建模的过程. 　　1.问题描述 　　位于高处的物体，如果失去了支撑就会下落，这是每个人都知道的自然现象.战国时期的墨子以及古希腊哲人亚里士多德就对该现象产生的原因进行过论述，不过古代的人们并不清楚这种现象是力作用的结果，因而普遍认为，导致物体下落的原因是物体的质量. 数学建模——从自然走向理性之路 一 　　2.模型假设 　　伽利略通过反复观察发现：物体下落的速度随下落的时间而均匀增加，且速度与时间成正比例关系，即v∝t①.他注意到，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关.因此只能在理想条件下构建物体下落的模型，为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计.在此假设的前提下，物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关. ①符号“∝”表示成正比例. 数学建模——从自然走向理性之路 　　不受任何阻力，只在重力作用下降落的物体为自由落体. 一 　　3.模型建立 　　基于上述假设，如果物体自由下落的时间相同，物体自由下落的高度h只与运动时间t以及加速度g②有关，此时，h是关于t与g的函数 h=f(t，g). ②此处的g实际上是重力加速度. 数学建模——从自然走向理性之路 一 　　4.模型求解 　　根据伽利略关于速度与时间成正比例关系，即v∝t的假设，若物体下落1s时的速度为gm/s，则下落2s时的速度为2gm/s，…，下落ts时的速度为tgm/s. 伽利略当年利用物体下落ts路程的平均速度　　　乘以时间(根据路程=速度×时间)，得到自由落体的路程模型为 　　上述模型的结果是正确的，但是，它是在取起点与终点的平均速度的情况下得到的，方法欠直观，同时结论也仅对匀加速运动成立(恰好自由落体运动为匀加速运动). 下面我们对上述路程模型给出一个直观的近似证明. 数学建模——从自然走向理性之路 一 　　我们从v∝t的假设出发，简要说明上述模型的正确性. 　　由假设v∝t，即自由落体运动为匀加 速运动，v－t图象为图6.2-1中倾斜的直线. 将图6.2-1所示的自由落体运动经历的时间 t等分，得到一系列相同的时间间隔Δt，由 于Δt很小时，物体速度变化很小，该时间 间隔内的运动可以看成匀速运动. 数学建模——从自然走向理性之路 图6.2-1 一 因此，根据伽利略的假设，物体每经过一个时 间间隔Δt后，在接下来的时间间隔Δt内，物 体下降速度会增加，增加的值近似等于gΔt， 它对应于图6.2-2中小矩形的面积，物体在时 间t内总的下落高度近似等于所有矩形面积之 和. 当时间间隔Δt趋于0时，图6.2-2中阶梯形 矩形面积就等于倾斜直线、t轴以及时间t对 应直线所围成的三角形面积，即 数学建模——从自然走向理性之路 图6.2-2 　　上述推导过程虽然直观但不够严谨，其严格证明需要用到牛顿-莱布尼茨所提出的微积分，而重力加速度的精确值是惠更斯得到的. 一 　　5.模型分析与检验 　　伽利略做了一系列的实验来检验模型的正确 性，他的实验是在斜面上进行的.伽利略通过大量 的实验验证了这样一个事实：同样的高度、同样 的重物沿垂面下落和斜面下落，下落的时间之比 等于垂直长度和斜面长度之比.这个事实说明：可以利用斜面进行自由落体的实验.于是伽利略用一块足够长的木板，在中间凿出一条光滑沟槽，让光滑的黄铜球沿着沟槽滚下，如图6.2-3. 　　他实验了不同的倾斜角度，又实验了不同长度的木板，先后一百多次的实验结果均显示，黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似为一个正常数，进而验证了模型的正确性. 数学建模——从自然走向理性之路 图6.2-3 一 　　6.推广应用 　　伽利略用斜面实验验证了模型的正确性后，他将斜面实验的结果推广到与水平面垂直的情况：随着斜面倾斜角度逐渐增加到90°，小球的加速度不断变大，小球逐步过渡到自由落体运动，如图6.2-4.至此，他成功地验证了原先的猜想，得到了自由落体运动的规律. 数学建模——从自然走向理性之路 图6.2-4 小球沿斜坡滚下时运动方程实验图 一 　　根据自由落体运动方程的建立过程， 我们可以用图6.2-5所示的框图来表示数 学建模过程. 数学建模——从自然走向理性之路 图6.2-5 数学建模程序框图 一 　　数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际，又能够利用现有方法求解的合理数学模型就成为解决实际问题的关键步骤之一.需要说明的是，数学模型与我们通常所说的数学问题是不同的，一般的数学问题要求叙述严谨、明确、答案唯一，而根据实际问题建立的数学模型及由此得到的答案通常不具有唯一性，判断数学模型的优劣以是否符合实际为标准. 数学建模——从自然走向理性之路 一 数学建模——从自然走向理性之路 　　问题研究一： 　　将一张四条腿同样长的椅子放在不平的地面 上(四脚的连线为正方形)，只允许对椅子绕四脚 连线构成的正方形的中心旋转，利用函数零点存 在性定理建立数学模型，证明椅子绕正方形的中 心旋转不超过90 °的某个角度时，一定可以使其四 条腿同时着地. 　　若椅子四脚的连线为矩形，结论有何变化? 练 习 一 数学建模——从自然走向理性之路 　　问题研究二： 　　查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成(菱形的锐角为70 ° 32′，钝角为109 ° 28′)的原因. 练 习 返回目录 谢谢观看 $