专题02 实数（必备知识+10大题型+分层训练）（期末复习课件）八年级数学上学期新教材北师大版

这是一份北师大版初中数学八年级上学期期末复习课件，围绕“实数”专题构建学习支架，涵盖考情分析、必备知识梳理、重难点题型突破及分层验收，聚焦平方根、立方根、二次根式等核心考点，提供解题技巧与典例变式。 资料特色突出核心素养培养，通过定义判断法识别无理数培养抽象能力，结合程序设计题型发展推理意识，以规律探究问题提升创新意识。分层验收设计贴合学情，典例与变式结合助学生掌握运算技巧，为教师提供系统复习方案，有效提升期末备考效率。

专题02 实数 八年级数学上学期 期末复习大串讲 北师大版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 实数的分类与性质 能正确对实数进行分类（有理数、无理数），掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质 高频易错点，容易忽视无理数的判定及实数性质的综合应用，小题、解答题均有涉及 平方根与算术平方根 能准确区分平方根和算术平方根的概念，熟练计算非负数的平方根、算术平方根 基础必考点，常出现在小题，易因概念混淆失分 立方根 能理解立方根的定义，熟练计算实数的立方根，明确其唯一性 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的概念与性质 能判断二次根式有意义的条件，熟练运用二次根式的性质 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的运算（乘除、加减） 能熟练进行二次根式的乘除运算、加减运算（先化简再合并同类二次根式） 核心考点，是解答题的重要组成部分，运算过程中易因化简不彻底、符号错误失分 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 知识点 若x2 = a（a≥0），则x是a的平方根，记为；其中非负的平方根是a的算术平方根。 示例 混淆平方根与算术平方根，如误将16的算术平方根写成4；忽 略被开方数非负，如计算（无意义）。 易错点 求16的平方根和算术平方根，平方根为=4，算术平方根 为=4。 平方根与算术平方根 知识点01 知识点 若x3 = a，则x是a的立方根，记为，任意实数都有唯一立方根。 示例 求-8的立方根，=-2（因(-2)3=-8）。 易错点 符号判断错误，如误将算成3；与平方根混淆，认为负数 没有立方根。 立方根 知识点02 知识点 实数分为有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；实数与数轴上的点一一对应，且实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。 示例 在、3.14、中，是无理数，3.14和是有理数。 易错点 误将无限循环小数归为无理数；忽略无理数的绝对值计算。 实数的分类与性质 知识点03 知识点 二次根式乘除：=（a≥0,b≥0），=（a≥0,b>0）；加减需先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式。 示例 计算+，化简得2+3=5。 易错点 运算前未化简，如直接计算+得；忽略被开方数取值范围，如计算（无意义）。 二次根式的运算 知识点04 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 无理数的识别 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 定义判断法：若一个数不能表示为两个整数的比值（即分数形式，p、q为整数且q≠0），则为无理数。例如π、无法写成分数，是无理数。 2. 小数特征法：无理数的小数形式是无限不循环小数。若小数有限（如0.5）或无限循环（如0.3...），则为有理数；若无限且无循环规律（如1.010010001...），则为无理数。 无理数的识别 题型一 解｜题｜技｜巧 3. 常见类型法：记住典型无理数，如开方开不尽的数（、）、特定常数（π、e）、构造的无限不循环小数，可快速识别。 4. 运算排除法：有理数间的加、减、乘、除（除数不为0）运算结果仍为有理数，若运算后出现无限不循环小数，则结果为无理数。 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中都是无理数的为（    ） A．0.07，，π B．，π， C．，，π D．，π， 解：A、0.07，，π中的0.07、不是无理数，不符合题意； B、，π，中的不是无理数，不符合题意； C、，，π中的，，π都是无理数，故符合题意； D、，π，中的不是无理数，不符合题意． 故选：C． C 【变式1-1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）在实数，，，，，，…中，无理数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 解：，是整数，是有限小数，是分数，它们都不是无理数， ，，…是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 【变式1-2】 （24-25八年级上·全国·期末）在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：，3.1415926，是有理数； ， ，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无理数，无理数有4个． 故选D． D 程序设计与实数运算 题型二 解｜题｜技｜巧  1. 理清程序逻辑：仔细看清楚每一步的判断条件和运算，特别是循环的条件。 2. 逐步计算推理：从初始流程开始，一步步代，直到分支走向输出为止。 【典例2】 （24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 解：∵，∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出，∴， 故选：B． 【变式2-1】 （24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为，故选：B． B 【变式2-2】 （23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 . 解∶ 由题意得当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 利用平方根与立方根的定义解方程 题型三 解｜题｜技｜巧 1.   还原“单根”形式：先通过移项、系数化为1，将方程化为“（未知数表达式）的n次方 = 常数”的形式（n=2为平方根，n=3为立方根）。 2. 根据根的定义求解： - 平方根：若，则，注意b<0时无实数解。 - 立方根：若（b为任意实数），则，立方根只有一个实数解。 3. 检验结果：将解代入原方程，验证是否满足等式，排除计算错误。 【典例3】 （24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：． 解：移项，得，即． 开平方，得． ∴，． 【变式3-1】 （24-25七年级下·江苏苏州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． （1）解：， 移项得，， ∵， ∴； （2）解：， ∵， ∴， 解得，． 【变式3-2】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的x (1) (2) （1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：． （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 平方根与立方根的综合应用 题型四 解｜题｜技｜巧 1. 先确定代数式有意义的条件：求平方根时，被开方的代数式需≥0（如需）；立方根无此限制，但需先保证代数式本身有意义（如分母不为0）。 2. 化简代数式再开方：先合并同类项或因式分解，如求，先化为，再根据的正负得结果，避免直接开方出错。 23 平方根与立方根的综合应用 题型四 解｜题｜技｜巧 3. 用开方定义反向求字母值：若（c≥0），则；若，则，通过等式变形解字母。 4. 结合值的范围验证结果：求出字母值后，代入原代数式的被开方数（针对平方根），验证是否满足≥0，确保解的有效性。 24 【典例4】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 解：∵的算术平方根为， ∴，则， ∵，而的立方根为， ∴，即， ∴， ∴的平方根是 25 （1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式4-2】 （24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． （1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 题型五 解｜题｜技｜巧  1. 判断二次根式：紧扣定义——形如（a≥0）的式子。关键看两点：一是根指数为2（可省略），二是被开方数a非负，两者同时满足即为二次根式。 2. 判断最简二次根式：需同时满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。 3. 判断同类二次根式：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类。 【典例5】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，，不是二次根式，不符合题意； 故选B． B 【变式5-1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是7， 故选：． D 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、 被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数有平方因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数中的指数为2，故不是最简二次根式，不符合题意； D、 被开方数不含分母，且因式和的指数均为1（都小于2），故是最简二次根式，符合题意； 故选：D． D 【变式5-3】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ∴， 故选B． B 解｜题｜技｜巧  1. 抓核心性质：牢记两大核心性质， = ||（注意绝对值，避免直接等于）和 = （a≥0，b0），以此为化简依据。 2. 先判被开方数非负：先确认被开方数是正数或0，若含字母需明确取值范围，保证二次根式有意义。 3. 分解被开方数：将被开方数拆为“平方数×非平方数”。 4. 处理绝对值：化简时，根据的正负去绝对值。 5. 最终检查：确保结果满足“被开方数不含平方因子”“不含分母”，即化为最简二次根式。 利用二次根式的性质化简 题型六 【典例6】 （24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 34 【变式6-1】 （24-25八年级下·吉林长春·期末）已知实数a的取值范围是，化简代数式． 的值为 . 解： ∵， ∴ ． 故答案为：6． 【变式6-2】（24-25八年级下·河南许昌·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是： ________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3）∵，b，c为的三边长， ，， ，， ． 判断二次根式运算是否正确 题型七 解｜题｜技｜巧   先抓核心前提，被开方数必须非负，运算结果需是最简二次根式；再查运算规则，同类根式才能合并，加减只算系数、根号不变。 乘除要满足非负条件，(a≥0,b≥0)，=(a≥0,b≥0)，牢记乘方=|a|，每步核对，就能快速判对错。 【典例7】（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． ． 解：A：∵，∴A错误； B：∵，∴B错误； C：∵，∴C错误； D：∵，∴D正确； 故选：D． 【变式7-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 解：A．，故错误． B．，故B正确． C．，故C错误． D．（除非），故D错误． 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 故选：C 解｜题｜技｜巧 1. 遵循运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进行。 2. 先化简再运算：将所有二次根式化为最简形式，减少计算量。 3. 巧用运算律：乘法分配律（a(b+c)=ab+ac）可简化计算，避免逐项展开。 4. 注意符号与细节：计算时留意负号，分母有理化要彻底，最后检查结果是否为最简二次根式。 二次根式的混合运算 题型八 【典例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． （1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】（（24-25八年级上·广东清远·期末）计算： (1)； (2)． （1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) （1）解： ； （2）解： ． 解｜题｜技｜巧  1. 精读定义，明确规则：先逐字理解新定义的含义，标注关键条件（如定义域、运算公式等）。 2. 套用定义转化问题：将新定义中的符号、表达式代入题目，转化为熟悉的二次根式运算。 3. 结合二次根式性质验证：化简或计算时，同步运用二次根式的非负性、最简形式等性质，确保结果符合数学规范。若新定义涉及字母，需结合定义域判断取值范围。 4. 举例验证，避免错用：若对定义理解模糊，可代入简单数值试算，验证运算逻辑是否正确，再解决原题。 二次根式中的新定义型问题 题型九 【典例9】（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算： 如 ．请你计算 。 解：∵ ∴； 故答案为： 【变式9-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为．故答案为：。 【变式9-2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． （1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 解｜题｜技｜巧 1. 列举前几项，直观找规律：先计算前3-4个式子的结果，观察被开方数、根号外系数、结果的变化趋势。 2. 用字母表示规律：将发现的规律用含n（n为正整数）的式子概括，注意标注n的取值范围。 3. 验证规律正确性：对概括的式子进行代数证明，左边通过二次根式性质化简，看是否等于右边。 4. 按规律解决问题：根据验证后的规律，计算指定项或推导后续式子。 二次根式中的规律探究问题 题型十 【典例10】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． （1）解：第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：，第5个等式：； 【变式10-1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：，特例2：， 特例3：，特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． （1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ∴，， ， 故答案为：． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 解：选项A， 的被开方数含有分母， 不是最简二次根式； 选项B， 中， 能开方为 ， 可化简为 ，不是最简二次根式； 选项C， 的被开方数为和形式，无平方因子，且不能化简， 是最简二次根式； 选项D， = = ，可化简， 不是最简二次根式； 故选C． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） C 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在下列实数中无理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 A 解：， 无理数为：，，， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． D 4．（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 . 3 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 62 6．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为 ． 解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分，小数部分， ∴﹒ 故答案为： 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）计算： (1) (2) (3) （1）解： ； （2）解： ； （3）解： = ． 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． （1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）解：由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 1．（24-25八年级下·广西百色·期末）下列各数中，能使有意义的是（   ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 解：使有意义，即， 解得：， 故选：D． D 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列二次根式的计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 解：，而，，故A项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，故B项错误． ，故C项正确． ，，故D项错误． 故选：C． C 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的另一边长为， ∵， ∴剪下的正方形的最大面积是， 故选：． D 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 解：∵，且为正整数， ∴， 即，， ∵为正整数， ∴， 即， ∴， B ①当时，， 不符合题意，舍去； ②当时，， 不符合题意，舍去； ③当时，， 即或（不符合题意，舍去）； ∴． 故选B． 5．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 4 6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ． 解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（21-22七年级下·湖北恩施·期末）按要求解答问题： (1)计算：； (2)求式中的值：． （1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 8．（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． （1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴m的整数部分为2，小数部分为，即， ∴． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $