寒假作业09 圆锥曲线中的综合问题6类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业09 圆锥曲线中的综合问题 一、圆锥曲线中定点问题的解题策略： 1.参数法： ①动直线过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． ②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 2.特殊法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3.方法总结—平移齐次解决定点问题 1、平移齐次法概念 在圆锥曲线的综合问题中,如果一条直线l与曲线交于A,B两点﹐点是曲线上一点，且或为定值,则直线l必过定点.在求该定点.如图﹐需要将坐标原点平移至点P处,在新坐标系下求解,这种先平移坐标系﹐再构建齐次关系,最后用韦达定理表示斜率关系的方法,叫做平移齐次法. 2、平移齐次解决定点问题的步骤如下. (1)将坐标系平移到以点为原点处; (2)在新坐标系下写出曲线与直线的方程:曲线，直线； (3)将曲线方程作齐次化处理,并写成关于的二次方程的形式: ; (4)设，，用韦达定理表示斜率和或斜率积: ; (5)得到直线在新坐标系中过的定点； (6)将定点转化为原坐标系中的点. 二、圆锥曲线中定值问题的解题策略： 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3  过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5  设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- 三、圆锥曲线中最值与范围问题的解题策略： 【基础知识】 1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则； 2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为 【知识拓展】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【方法技巧】 求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 轨迹方程 1．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 4．（2024高三·全国·专题练习）一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型二 定点问题 1．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26高二上·山西太原·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M．证明：直线过定点． 题型三 定值问题 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 2．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 题型四 最值问题 1．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长； (3)求的面积最大值． 2．（25-26高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    (1)求的方程； (2)求证：直线与的斜率乘积为； (3)若分别记的斜率为，求的最大值． 题型五 范围问题 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与交于，两点，过点，作直线的垂线，垂足分别为，（，两点不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求的中点坐标； (3)记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 题型六 开放性问题 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知抛物线C：的焦点为，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)若O为坐标原点，当时，求的值. (2)设点，是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 2．（2025·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 1．（25-26高二上·广西·月考）抛物线的标准方程为，直线与抛物线交于，两点，取线段的中点为，过作直线的垂线，垂足为，则下列结论中正确的个数为（    ） ①若直线过抛物线的焦点，则；②若，，则；③若以为直径的圆过原点，则面积的最小值为. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南驻马店·月考）如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为 . 4．（25-26高二上·湖北·期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的最小值为 ． 1．（25-26高二上·河南·月考）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北邯郸·月考）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业09 圆锥曲线中的综合问题 一、圆锥曲线中定点问题的解题策略： 1.参数法： ①动直线过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． ②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 2.特殊法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3.方法总结—平移齐次解决定点问题 1、平移齐次法概念 在圆锥曲线的综合问题中,如果一条直线l与曲线交于A,B两点﹐点是曲线上一点，且或为定值,则直线l必过定点.在求该定点.如图﹐需要将坐标原点平移至点P处,在新坐标系下求解,这种先平移坐标系﹐再构建齐次关系,最后用韦达定理表示斜率关系的方法,叫做平移齐次法. 2、平移齐次解决定点问题的步骤如下. (1)将坐标系平移到以点为原点处; (2)在新坐标系下写出曲线与直线的方程:曲线，直线； (3)将曲线方程作齐次化处理,并写成关于的二次方程的形式: ; (4)设，，用韦达定理表示斜率和或斜率积: ; (5)得到直线在新坐标系中过的定点； (6)将定点转化为原坐标系中的点. 二、圆锥曲线中定值问题的解题策略： 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3  过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5  设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- 三、圆锥曲线中最值与范围问题的解题策略： 【基础知识】 1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则； 2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为 【知识拓展】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【方法技巧】 求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 轨迹方程 1．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 2．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 3．（2025高二·全国·专题练习）若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义求解出双曲线的方程，然后结合双曲线的渐近线的几何特征得到结果即可. 【详解】若，则点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 其方程为． 因为是该双曲线的一条渐近线， 整条直线在双曲线的外部区域，所以， 故选：C． 4．（2024高三·全国·专题练习）一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设，根据圆过点及与圆B外切得，利用双曲线的定义即可求解轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为． 故选：A 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 6．（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 题型二 定点问题 1．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在. 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点R也满足前面的结论，即得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可得， 解得， ，则， 所以椭圆的标准方程为． （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时， 点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则， ， 综上所述，在轴上存在点，使得为定值. 2．（25-26高二上·山西太原·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据椭圆的意义及关系求椭圆的方程. （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，进一步表示出直线的方程，令可得直线过定点. 【详解】（1）记的半焦距为，由右焦点为可得：，而， 故，于是的方程为. （2）如图： 不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即 易知，直线的斜率为， 故直线的方程可表示为 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点 而当斜率为0时，直线就是轴，也过点 综上，直线过定点. 题型三 定值问题 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标和渐近线求出的值，从而得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【详解】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2） 由（1）知，，. 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 2．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【难度】0.15 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中的直线过定点问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【详解】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 题型四 最值问题 1．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长； (3)求的面积最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （3）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【详解】（1）由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. （2）由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. （3） 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 2．（25-26高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    (1)求的方程； (2)求证：直线与的斜率乘积为； (3)若分别记的斜率为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，而解得参数求得椭圆方程. （2）设，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （3）设，有，计算直线的直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【详解】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为 （2）证明：设，因为为中点，所以， 根据题意直线与的斜率都存在， 所以直线与的斜率乘积为， 因为在椭圆上，所以，两式相减可得， 化简得，可得 因此直线与的斜率乘积为. （3）设，由（1）可知, 因为点在椭圆上，所以， 由题意， 故将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 同理，将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以的斜率为， 故， 因为点在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 题型五 范围问题 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与交于，两点，过点，作直线的垂线，垂足分别为，（，两点不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求的中点坐标； (3)记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程、已知两点求斜率 【分析】（1）根据椭圆过点及列方程组求解； （2）设，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点的中点坐标； （3）已知得到，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再把韦达定理代入化简结合不等式性质计算求解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的方程为. （2）设， 因为直线的倾斜角为45°，所以， 联立，所以， 所以， 所以，， 所以的中点坐标为； （3）设，， 由，化简为， ，则，， 又 ， 因为，所以，即，所以. 所以的取值范围为. 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义可求得轨迹C的方程； （2）先求出两点的坐标，再分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出四边形AMBN面积的表达式，最后根据表达式即可求出面积的取值范围即可. 【详解】（1）连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为. （2）由（1）可知，， 当直线的斜率为0时，不能构成四边形AMBN，不合题意 当直线的斜率不等于0时，直线过点， 故设直线的方程为， 设，联立，消去， 得， 韦达定理，得， 四边形AMBN的面积 ， 令，则， 代入，得， 根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，当时，，四边形AMBN的面积的最大值为， 则四边形AMBN面积的取值范围为， 综上所述，四边形AMBN面积的取值范围为. 题型六 开放性问题 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知抛物线C：的焦点为，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)若O为坐标原点，当时，求的值. (2)设点，是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据焦点坐标得出，即可得出抛物线方程，再与直线联立方程，根据数量积的坐标运算和韦达定理求解； （2）把转化为，应用斜率列式求参. 【详解】（1）因为，所以，的方程为， 当时，设，， 由得，知，， 所以； （2）由得， 则，得， 知，， 设线段的中点为，则，， 假设存在，使得，则， 所以， 解得，故存在，使得. 2．（2025·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、抛物线中的定值问题、抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）求点的坐标为，再利用三点共线可得证； （3）由韦达定理。结合直线的斜率公式，化简计算可得为常数即可. 【详解】（1）由，得， 为抛物线上位于第一象限内的一点， 设，，则，即， 由题知，，解得， 抛物线的方程为； （2）由上可知，点的坐标为， 若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，是与轴的交点，显然是的中点， 若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线的方程为，      联立整理得， 设点，的坐标分别为，，则， 则，的坐标分别为，， 直线的方程为，于是点的坐标为， ，，三点在同一直线上，，是线段的中点； （3）可设（）， 由上可得，， 由，得，解得， 点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴， 可设，联立 整理得， 其中恒成立， 设，， 由韦达定理，有，， 进而得， ， ， 综上可得，直线，的斜率之积为定值. 1．（25-26高二上·广西·月考）抛物线的标准方程为，直线与抛物线交于，两点，取线段的中点为，过作直线的垂线，垂足为，则下列结论中正确的个数为（    ） ①若直线过抛物线的焦点，则；②若，，则；③若以为直径的圆过原点，则面积的最小值为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线定义及梯形中位线性质可知判断①；取特殊情况直线斜率不存在，因为直线不过定点，即可知道的值的情况，判断②；设坐标，由题意得，由此方程并解得，然后由三角形面积公式求得，然后由基本不等式求得其最小值，即可求得面积的最小值，判断③；然后即可求得命题正确的个数. 【详解】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为， 由抛物线的定义可知， 且在梯形中，∴，①正确； 当直线斜率不存在时，因为直线不过定点，∴没有定值，②错误； 依题设，，由AB是直径可知，， ∴，∴， ∵ ∴ ， ∵，即， 即，∴，当且仅当时等号成立，③正确. 故下列结论中正确的个数为：2. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的参数及范围 【分析】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C 3．（25-26高二上·河南驻马店·月考）如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线定义可得，，当直线与轴垂直时，，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，联立方程组，借助基本不等式求最值. 【详解】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为． 由抛物线的定义得， 又，所以． 同理． ①当直线与轴垂直时，则有， ∴． ②当直线与轴不垂直时，设直线方程为， 由消去y整理得， ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． 综上可得． 故答案为：． 4．（25-26高二上·湖北·期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的最小值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点最短弦长为通径求出最小值. 【详解】由椭圆的对称性可知． 设点，．所以， 想求的最小值，只需求的最小值， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径：， 故的最小值为3. 故答案为：3. 1．（25-26高二上·河南·月考）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】先设出方程，再根据题意求出，最后根据四边形面积公式运算求解即可. 【详解】设椭圆的方程为，由题意知，其中， 令，得，所以， 又，所以，所以， 所以四边形的面积为. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北邯郸·月考）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据题意得，进而，再根据得，进而得，所以可得曲率半径的最大值与最小值，列方程组确定的值，从而得椭圆的方程. 【详解】因为点在椭圆上，则，即， 所以， 因为， 所以，则，所以， 则，，所以， 故椭圆的标准方程为. 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $