寒假作业05 椭圆8类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业05 椭圆 椭圆方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 焦点 、 、 焦距 离心率 点和椭圆 的关系 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 中点弦问题 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 椭圆的定义 1．（25-26高二上·广西南宁·月考）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ） A．8 B．12 C．32 D．72 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则 ． 5．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 6．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 题型二 椭圆方程的充要条件 1．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 5．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 6．方程表示椭圆的充要条件是 ． 题型三 焦点三角形的周长、面积及其它问题 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 3．（25-26高二上·四川成都·月考）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 5．（25-26高二上·北京昌平·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为 . 6．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 题型四 椭圆中两点距离的最值问题 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 2．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C．6 D．5 4．（23-24高三上·福建厦门·月考）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为 . 5．（25-26高二上·海南·月考）椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 6．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知椭圆的左焦点为F，点是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 题型五 离心率 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为6，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知椭圆（）的右焦点为F，点P是椭圆C上一点，且（O为坐标原点），以P为圆心，PF为半径的圆与y轴相交于A，E两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西景德镇·月考）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为 . 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率 . 6．（25-26高二上·广东清远·期中）设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 题型六 直线与椭圆的位置关系 1．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 2．（25-26高二上·山西·月考）已知椭圆的离心率是，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知圆过点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 4．（2025高二·全国·专题练习）设椭圆，记A为椭圆下端点，B为右端点，，且椭圆C的离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设点， （ⅰ）设R是射线AP上一点，，求R的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设直线OR的斜率为，直线OP的斜率为，若，M为椭圆上一点，求的最大值 题型七 定点与定值问题 1．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过点，左焦点为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知不与轴垂直的直线交椭圆于，两点（，异于点），直线，分别与轴交于，两点，若，的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 2．（25-26高二上·湖北十堰·月考）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． (1)求的方程； (2)求证：的值为定值． 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 4．（2025高二·全国·专题练习）如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．    题型八 最值与范围问题 1．（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N． (1)求椭圆C的方程； (2)当的面积为时，求直线l的方程； (3)若存在实数t，使得成立，求实数t的取值范围． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 4．（25-26高二上·山东德州·期中）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的坐标； (3)椭圆上的任意一点及（2）中的点，点在圆上，求的最小值. 1．（25-26高二上·天津南开·月考）如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的标准方程为 ．    5．（25-26高二上·北京·期中）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，且轨道II的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的有 .    ① ② ③ ④椭圆II比椭圆I更扁 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·海南·月考）（多选题）如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最大值为 C．若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为 D．曲线上的点到直线的距离的最小值是 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）（多选题）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ）    A．椭圆的离心率为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是2 D．的周长为 4．（25-26高二上·广东中山·月考）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为 （用表示）.    1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业05 椭圆 椭圆方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 焦点 、 、 焦距 离心率 点和椭圆 的关系 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 中点弦问题 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 椭圆的定义 1．（25-26高二上·广西南宁·月考）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ） A．8 B．12 C．32 D．72 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】由椭圆方程可知，结合椭圆定义即可得结果. 【详解】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求出两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，从而判断动圆的轨迹为椭圆，进而得出方程. 【详解】圆可化为，圆心，半径， 圆可化为，圆心，半径 ∴. 设动圆圆心为点，半径为， ∵动圆与圆外切， ∴， 又动圆与圆内切， ∴ , ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：A 3．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 4．（25-26高二上·重庆·期中）椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则 ． 【答案】35 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆定义及辨析、余弦定理解三角形 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得. 【详解】由题可知，. 所以， 化简得，所以. 故答案为：35. 5．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的定义判断即可． 【详解】设， 因为表示点到的距离，表示点到的距离， 又动点满足， 又，即， 动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆． 得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 6．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、利用椭圆定义求方程 【分析】根据椭圆的定义求标准方程或者用待定系数法求标准方程. 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上， 所以由椭圆的定义知， 所以，又因为，所以. 因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而——①， 又因为点在椭圆上，所以——②， 由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 故答案为： 题型二 椭圆方程的充要条件 1．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由方程研究曲线的性质、必要条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系. 【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断方程是否表示椭圆、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 5．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 【答案】必要不充分 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、既不充分也不必要条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案. 【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立； 当为椭圆，则，可得且，必要性成立； 综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 6．方程表示椭圆的充要条件是 ． 【答案】答案不唯一 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【详解】方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 题型三 焦点三角形的周长、面积及其它问题 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】因为，所以，解得， 由椭圆方程知，所以，解得，即. 所以的周长为， 故选：D. 3．（25-26高二上·四川成都·月考）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】结合椭圆的几何性质及椭圆中三角形的面积确定正确选项. 【详解】依题意，设的纵坐标的绝对值为， 因为，且的面积为，则. 所以. 故选：B. 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 5．（25-26高二上·北京昌平·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】由椭圆的方程可知；根据椭圆的定义知，再由余弦定理得出，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由椭圆知， 由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得：， 即， . 故答案为：.    6．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积 【详解】在椭圆中，， 由椭圆的定义可得，， 在中，，由余弦定理， 得 ， 解得，因此. 故答案为：. 题型四 椭圆中两点距离的最值问题 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题 【分析】根据题目条件利用椭圆的定义转化，结合三角形性质即可求出的最大值. 【详解】已知椭圆方程：， 故：，， 焦距：， 焦点为：， 已知，在椭圆上，求： 由椭圆的定义：，可得， 代入目标：， 问题转化为求：， 对于任意点，由三角形性质可得（三点共线时取等）：， 因此：，又， ， ，. 故选：C 2．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 3．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， . 由椭圆的定义得： ， 当点Q在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：D. 4．（23-24高三上·福建厦门·月考）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义结合图形得出当四点共线时，取得最小值，从而可得出答案. 【详解】椭圆左焦点，右焦点， 由圆，得，半径为，如图： 由椭圆的定义可得：，则， 则， 等号成立时三点共线， 又，等号成立时三点共线， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 答案为：. 5．（25-26高二上·海南·月考）椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】先根据椭圆方程及椭圆的定义得出焦点坐标及，再根据圆与椭圆的位置关系结合两点间的距离公式计算求解． 【详解】 椭圆，， ， 根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足，右焦点坐标， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， ， ， ，当在的延长线与椭圆交点时取等号， ， ， 故答案为：． 6．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知椭圆的左焦点为F，点是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可. 【详解】如图，设椭圆的右焦点为， 由椭圆，得， 则， 所以，， 设，则，， 故， 则当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：. 题型五 离心率 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据对称性以及得出四边形为矩形，再结合定义得出，，最后在中利用勾股定理即可. 【详解】连接， 因，且为线段的中点，则四边形为矩形， 则， 因，则， 则，， 在中利用勾股定理得，，则， 故椭圆的离心率为. 故选：C． 2．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为6，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】根据基本不等式，椭圆的定义，椭圆离心率的公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得，所以，当且仅当时等号成立. 由题可知，椭圆的半焦距，所以离心率. 故选：B 3．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知椭圆（）的右焦点为F，点P是椭圆C上一点，且（O为坐标原点），以P为圆心，PF为半径的圆与y轴相交于A，E两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件得出，再结合垂直关系列式解齐次式得出离心率. 【详解】由题可知，，过作轴，垂足为，如图所示． 因为点是椭圆上一点，且，设，所以， 即，解得， 不妨设点在第一象限，所以， 即圆的半径，因为圆心在弦的垂直平分线上，所以为的中点． 又因为，所以． 在中，，，所以，所以， 即，即，解得或， 因为，所以． 故选：D. 4．（25-26高二上·江西景德镇·月考）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、椭圆中向量共线比例问题 【分析】利用椭圆的定义设出焦半径，结合勾股定理列方程组，求得离心率. 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接. 设由知且， 由椭圆的定义可知. 又所以，所以所以由椭圆的定义可知. 因为， 所以在中，由勾股定理得即.① 在中，由勾股定理得即整理得. 将代入①式得，整理得，所以离心率. 故答案为：. 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆焦点三角形面积公式可得，设的外接圆半径为，内切圆半径为，则，，利用外接圆与内切圆的面积关系求解即可. 【详解】  令，，设的外接圆半径为，内切圆半径为， 则，，即，， 又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则，即， 即，即0，即，又，即. 故答案为：. 6．（25-26高二上·广东清远·期中）设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知求出的中点坐标，判断出点与点重合，利用，建立关系，结合，即可求解. 【详解】设点，因为，所以的中点， 即点在轴上，又点在直线上，所以点与点重合， 由，得，即，得， 可得，解得，或舍去， 故答案为：. 题型六 直线与椭圆的位置关系 1．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点的坐标求出的值，进而得到椭圆方程. （2）先根据已知条件求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，方法一：利用求出的面积；方法二：求出的面积. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，且过点，可得 解得，，所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆右焦点，直线斜率，所以直线的方程为， 设，，联立消去得 则， 方法一：的面积 方法二： 点到直线的距离 所以的面积. 2．（25-26高二上·山西·月考）已知椭圆的离心率是，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，最小值为，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由得，又得，由在椭圆上，利用待定系数法即可求解； （2）（i）由题意可得直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得，利用弦长公式即可求解； （ii）可设，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由为定值得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，得，得， 又，所以， 又，两式联立，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设； （i）由题意可得直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以； （ii）存在点，使得为定值，的最小值为； 由题意，可设，联立， 得， 则， 且， 因为， 所以 ， 因为为定值， 所以，得， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 3．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知圆过点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由短轴长求得，将点M的坐标代入椭圆方程求得，即可求出椭圆方程，然后求出，即可求出离心率； （2）易知直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，，，求得.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，代入两点式斜率公式化简得，即可证明. 【详解】（1）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为. 因为椭圆C过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 因为，，所以， 所以，，所以离心率. （2）由题意知，直线AB的斜率存在. 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为，点A，B是长轴的端点. 设，， 则，，所以. 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB的方程为，，. 把直线AB的方程代入椭圆C的方程，化简得. 由，得. 所以. 所以 . 把，代入得 . 4．（2025高二·全国·专题练习）设椭圆，记A为椭圆下端点，B为右端点，，且椭圆C的离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设点， （ⅰ）设R是射线AP上一点，，求R的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设直线OR的斜率为，直线OP的斜率为，若，M为椭圆上一点，求的最大值 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由建立，由离心率建立，计算得解； （2）（ⅰ）解法一：设，，利用向量法将点用表示，将转化为向量的式子，利用向量的数量积求解；解法二：设，当射线的斜率存在时，利用点斜式求出射线所在的直线方程，利用两点间距离公式求出，由R是射线AP上一点可知、m同号，解出的值，求出的值，得到点的坐标．（ⅱ）利用已知直线上两点的斜率公式求出，求出，由建立的等式，又的最大值为，令，利用两点间的距离公式计算，利用二次函数求出最大值. 【详解】（1）由题可得：，；，故椭圆C的方程：； （2）（ⅰ）解法一：设，因为，， ，； 即，， 因为，即，故， 即，，故，， 即； （ⅰ）解法二：设，由题意可知射线AP所在直线斜率存在，， ， 由R是射线AP上一点可知、m同号，故， 将代入，得， 故．    （ⅱ）由，， 由得：，即，， 故的最大值为，令， 故，当时； 取最大值27；即的最大值为，故的最大值为． 题型七 定点与定值问题 1．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过点，左焦点为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知不与轴垂直的直线交椭圆于，两点（，异于点），直线，分别与轴交于，两点，若，的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件求出、、的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出，再根据直线、与轴交点的横坐标乘积为，求出直线所过的定点。 【详解】（1）设椭圆的标准方程为已知椭圆过点，则， 左焦点，由可得，，解得， 所以，故椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，，， 由消去得，当时，，，    由，得，则直线的方程为，令，得点的横坐标，直线的方程为，令，得点的横坐标， 于是， 即， 则有，化简得，解得或（舍去），所以直线的方程为，直线恒过定点． 2．（25-26高二上·湖北十堰·月考）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． (1)求的方程； (2)求证：的值为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题目条件求得a、b的值即可； （2）分两种情况，一种当两条直线的斜率一个为0，另一个不存在时，直接求出的值即可；另一种当两条斜率都存在时，设直线的方程为，则DE为，根据弦长公式求出弦AB和DE的长，代入题中表达式化简即可． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意得， 解得，所以， 所以的方程为． （2）由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， 假设AB斜率为零，DE斜率不存在， 则，，（或）， 此时； 同理，当DE斜率为零，AB斜率不存在时，同样有； 若直线与直线的斜率都存在时，如图， 设直线的方程为，， 由，得， 所以， 所以 ， 因为，将换成，得， 所以； 综上所述，的值为定值． 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求椭圆上点的坐标、椭圆中的定值问题、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）设，根据，结合点在椭圆上可构造方程组求得点坐标； （2）设，可得直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得点坐标，由此可表示出，结合可求得，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意知：，， 设，则，， ，， 又，，解得：或， 与不重合，，， 点的坐标为. （2） 设，则直线，设， 由得：， ，解得：，，； ，又， ，即为定值. 4．（2025高二·全国·专题练习）如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．    【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、直线与二次曲线方程及性质、椭圆中向量点乘问题 【分析】由题设易得椭圆标准方程为，进而结合曲线系方程求证即可. 【详解】由题意，，则， 所以椭圆标准方程为，设P的坐标为，Q的坐标为， 设，，， 因为椭圆过二次曲线AC，BD与二次曲线AB，CD的四个交点A，C，B，D有： 四点的曲线系方程为， xy的系数：，y的系数：， 联立，解得，， 则，为定值． 题型八 最值与范围问题 1．（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由题意的方程可得的值，进而求出的值，求出右焦点的坐标及该椭圆的离心率； （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况，设AB直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和，可得AB的中点，由题意可得的坐标，分 ，的横坐标相等和不相等两种情况，分别求出直线MN的方程，进而可得直线MN必过的定点的坐标. （3）由（2）可得直线MN必过的定点的坐标及，的纵坐标，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，焦距为， 由椭圆的方程，可得，可得， 所以，即右焦点的坐标为，离心率， 所以椭圆右焦点的坐标为，离心率. （2）证明：当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为， 设联立， 整理可得：， 可得，， 所以的中点， 同理可得的坐标，即， 当，的横坐标不相等时，则， 所以的方程为， 整理可得 所以直线恒过定点. 当，的横坐标相等时，，即时，则轴， 且此时的方程为，显然也过， 当的斜率为时，直线的方程为， 当的斜率不存在时，直线的方程为， 可证得直线必过定点. （3）由（2）可得直线必过的定点， 可得 ， 设，则， 在上单调递减，所以， 所以面积的最大值为. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N． (1)求椭圆C的方程； (2)当的面积为时，求直线l的方程； (3)若存在实数t，使得成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）由顶点坐标、离心率以及椭圆参数的关系即可求椭圆方程； （2）设直线l的参数方程为，代入得，进而得到，，再根据求解即可； （3）根据题意可得即可求解． 【详解】（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上， 由一个顶点为，得， 椭圆的离心率，得，， 椭圆的标准方程为； （2）设直线l的参数方程为（n为参数），代入， 得， 则，， ， 化简得：，即， 故，， 则直线l的方程； （3）若存在实数t，使得成立， 则， ， 在线段上， 故， 所以 ， 故实数t的取值范围是． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)4. 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4.      4．（25-26高二上·山东德州·期中）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的坐标； (3)椭圆上的任意一点及（2）中的点，点在圆上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求椭圆上点的坐标、求椭圆中的最值问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由焦点坐标得到，然后由题意得到坐标，然后代入椭圆方程，即可求得，即可写出椭圆方程； （2）设坐标，由题意得，从而建立方程组，记得两点坐标的关系，然后代入椭圆方程消元后得到M的坐标； （3）由（2）可知的坐标，设，使，建立方程后由在圆上得到坐标，由椭圆定义化简得，当R，P，三点共线时取最小值，求出最小值. 【详解】（1）由题可知，即， 若，且，则此时轴，即 所以，即，解得，， 所以椭圆C的标准方程.      （2）设，，，， 由题可知，则，解得 因为两点M，N在椭圆C上，所以，所以， 即， 解得，，所以M的坐标为.    （3）由题意，设，，使， 即，则， 整理得，     又点Q在圆上，所以，解得， 由椭圆定义得， 所以 当三点共线时，， 所以有最小值. 1．（25-26高二上·天津南开·月考）如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题中条件，结合球的性质作出截面，结合三角形内切圆性质求出的长，即可得解. 【详解】平面截球得到球面大圆，如图，是球大圆的外切三角形， 其中切圆于点，则有，， ，， ， ， ，，，， ，，， 为椭圆的一个焦点，，， . 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C. 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的标准方程为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】先根据椭圆的性质确定焦点坐标与焦距，再利用等腰三角形的性质推出垂直关系，通过勾股定理求出相应线段长度，最后依据椭圆的定义即可求出. 【详解】由题意可得，设右焦点为，连接，如图，    由知，，，，，即． 在中，，,由勾股定理，得， 由椭圆的定义，得，从而，于是，椭圆的标准方程为． 故答案为：. 5．（25-26高二上·北京·期中）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，且轨道II的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的有 .    ① ② ③ ④椭圆II比椭圆I更扁 【答案】①②③ 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的定义及几何性质得，据此对所给结论逐一判断即可. 【详解】由题可得，. 对于①，，所以①正确； 对于②，，所以②正确； 对于③，，所以③正确； 对于④，由③知，，即，所以椭圆I比椭圆II更扁，所以④不正确. 故答案为：①②③. 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理边角互化的应用、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据圆锥的轴截面性质找出椭圆的长轴和短轴所在位置，利用勾股定理和余弦定理以及三角形相似性质，分别求出短轴和长轴，再由离心率定义计算可得结果. 【详解】设，由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 因此可得，所以； 又点为线段中点，所以， 由勾股定理可得， 由椭圆对称性可知，连接，延长交于点，如下图所示， 由于都是中点，所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 又在中，，可得； 因此可得， 设椭圆的短轴的两个端点为，连接并延长分别交圆锥底面于点， 易知，所以， 因为为圆锥母线，所以，因此， 在中，由勾股定理可知， 所以在椭圆中，， 因此可得， 可得椭圆离心率. 故选：B 2．（25-26高二上·海南·月考）（多选题）如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最大值为 C．若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为 D．曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平行线间的距离、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或（舍去）， 取直线和直线； 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 取直线和直线； 以直线为临界，结合图形可知： 若直线与曲线有2个交点，则或， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）（多选题）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ）    A．椭圆的离心率为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是2 D．的周长为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】由题意易知，上半椭圆的方程为，下半圆的方程为，由此即可求出椭圆的离心率为；由椭圆的性质易知，结合，即可求得线段长度的取值范围是；当直线斜率不存在时，三点共线，由此可判断出面积无最小值；由椭圆的定义易知，结合的周长为即可判断D. 【详解】设上半椭圆的方程为 ， 因为半圆的圆心在原点，且过椭圆的焦点 ， 所以半圆的半径，即椭圆的短轴长 ，故。 因为椭圆的焦点为，所以， 又，. 因此上半椭圆的方程为，下半圆的方程为. 所以椭圆的离心率 ，A正确； 设，则 则 ， 所以，故， 又因为, 所以，B正确； 很明显，当直线斜率不存在时，三点共线， 所以面积无最小值.C错误. 由题意知，,即点也是椭圆的焦点， 由椭圆的定义可知:， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高二上·广东中山·月考）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为 （用表示）.    【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设球的半径为，根据几何关系先用表示出长轴长，然后再根据球心在地面的射影为椭圆焦点计算出关于的表示，由此可得的结果，则离心率可知. 【详解】设篮球半径为，显然平面平面，连接，，则平面， 过作交于点，则，，    于是椭圆长轴长， 因为，所以， 由，可知与全等， 所以， 令椭圆半焦距为，而， 则， 解得，所以该椭圆的离心率为， 故答案为：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $