精品解析：四川省广安市第二中学校2025-2026学年上学期八年级数学期中考试检测卷

广安二中2025年秋初2024级第二次定时训练数学试题 考试时间：120分钟 总分150分 A卷（共100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，要使，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小9倍 C. 是原来的 D. 扩大到原来的9倍 8. 在中，，，，，平分，则的值为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 若点的坐标为，则它关于轴对称点的坐标为______． 12. 分解因式：______． 13. 如图，在中，，，于点，若，则的长度为 __________ ． 14. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______． 三、解答题：本题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）化简：． 16. 化简求值：，其中． 17. 已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 18. 已知， （1）画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； （2）求的面积； 19. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ B卷（50分） 四、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 20. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 21. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为4，则的面积为__________________ ． 22. 如图，______度． 23. 如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为________． 24. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 五、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 如图，在中，，分别是，的外角平分线， （1）若，，那么___________． （2）若，求的度数用含α的式子表示）． 26. 多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； （1）用配方法将分解因式； （2）用配方法将分解因式； （3）已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 27. 数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安二中2025年秋初2024级第二次定时训练数学试题 考试时间：120分钟 总分150分 A卷（共100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 2. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质．根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和整式的乘法公式，正确运用法则进行计算是解决此题的关键．用幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，整式乘法的完全平方公式逐一排除即可求解． 【详解】解：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘．因此，故正确； 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减．，故B错误； 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故C错误； 根据乘法的完全平方公式：．，故D错误． 故选：A． 4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，通常通过比较最小两边之和与最大边来判断．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，判断各选项是否满足条件． 【详解】解：∵ 对于选项A：最小两边2和3之和为5，小于最大边6， ∴ 不能组成三角形； 对于选项B：最小两边4和4之和为8，等于最大边8， ∴ 不能组成三角形； 对于选项C：最小两边5和6之和为11，大于最大边10， ∴ 能组成三角形； 对于选项D：最小两边5和6之和为11，小于最大边12， ∴ 不能组成三角形． 故选：C． 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算的逆运算，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则的逆运算即可求解． 【详解】解：， 故选：D ． 6. 如图，已知，，要使，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，然后根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， A. 若，则， 不能使，故选项不符合题意； B. 若， ，，此时符合， 不能使，故选项不符合题意； C. 若，则， ， ，， ，故选项符合题意； D. 若，不能使，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），两直线平行内错角相等，等式的性质，利用邻补角互补求角度，等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 7. 把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小9倍 C. 是原来的 D. 扩大到原来的9倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，首先根据题意求得新分式的值，与原分式比较，即可求得答案． 【详解】解：把原分式中的、都扩大到原来的9倍后的分式为， ∴现在的分式与原分式相比扩大到原来分式的9倍， 故选D． 8. 在中，，，，，平分，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积公式．过点D作，根据角平分线性质得出，再证明，设，则，利用勾股定理列出方程求解x的值，从而求得，再利用三角形面积公式即可求得结果． 【详解】解：如图，过点D作， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是求出． 10. 有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，定义新运算，理解新运算的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据材料提示，分别算出第1项，，第2项，，第3项，，由此找出规律，可判定①②；根据计算可得第2023项为，可得，，可判定③；第（为正整数）项为，根据整式的混合运算可得，即，把代入可判定④；由此即可求解． 【详解】解：第1项，，则， 第2项，，则， 第3项，，则， ∴第4项为，， 第5项为，，故①正确； ∴，故②正确； ∴第2023项为，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，，故③错误； 根据上述计算可知，第（为正整数）项为， 令，则， ∴， 解得，，即， ∴当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 若点的坐标为，则它关于轴对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称点的坐标为． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底. 13. 如图，在中，，，于点，若，则的长度为 __________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的乘除混合运算； （1）先根据乘方、零指数幂、算术平方根化简，再计算即可； （2）先把分子分母分解因式，再除法变乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16. 化简求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值、绝对值及平方的非负性，掌握平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式是解题的关键． 17. 已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 【答案】 证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据证明，即可证明． 【详解】略 18. 已知， （1）画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； （2）求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点关于y轴对称的点的坐标特点，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，根据轴对称的性质写出点的坐标； （2）的外接矩形面积减去其周围三角形的面积，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，就是所求的三角形，点的坐标为； 【小问2详解】 解：． 19. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1） ，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． （2）小丽距地面的高为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． B卷（50分） 四、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 20. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，分的角为顶角和底角，两种情况进行求解即可． 【详解】解：①的角可以为顶角； ②当的角为底角时，顶角的度数为：； 故答案为：或 21. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为4，则的面积为__________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两份是解题的关键． 根据三角形中线的性质可推得，再结合的面积为4即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积． 故答案为：． 22. 如图，______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 23. 如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据题意可得，然后分两种情况讨论：若，若，结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 24. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 五、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 如图，在中，，分别是，的外角平分线， （1）若，，那么___________． （2）若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 26. 多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； （1）用配方法将分解因式； （2）用配方法将分解因式； （3）已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，解答的关键是正确理解题意． （1）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （2）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （3）利用配方法分解因式的方法可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ，， ，， ，， 则三边为2，2，1，满足，可构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 27. 数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 【答案】 （1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等： （1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到； （2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． （3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【详解】（1）①略 ②解：由①可知， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵，, ∴， ∴， ∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $