7.3 平行线的证明 专项练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

7.3平行线的证明 题型一同位角相等两直线平行 1.羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了 一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线AB和CD是 否平行，如图2所示在下列关于∠1、∠2、∠3、∠4的条件中，可得到AB∥CD的 是() 3 CH D 4 B 图1 图2 A.∠1=90° B.∠1=∠2 C.∠1=∠3 D.∠2=∠4 2.如图，直线AB、CD被直线DE所截，交点分别为点F、D,添加一个条件， 使得AB∥DC,你添加的是 (添加一个即可) A C D 3.如图，点C是AB的中点，AD=CE,CD=BE, B E (1)求证：△ACD≌△CBE; (2)求证：BE∥CD. 题型二内错角相等两直线平行 4.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是() B3 D E A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.LECD=∠D D.∠ABD+∠A=180° 5.如图，添加一个条件： ,使得AD∥BC. 4 D B 6.如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，BE=CF,AC∥DE,∠A=∠D. D (1)求证：△ABC≌△DFE; (②)请判断AB和DF的关系，并说明理由. 题型三同旁内角互补两直线平行 7.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是() -E C A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.ZD=ZDCE D.∠D+∠ACD=1809 8.如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 ,使得AE∥BC.(写出一种情况即可) E 9.如图，直线MN分别交AB、CD于点M、N,点E、L分别在AB、CD上，点F、 H是直线AB、CD内的两点，连接EF、FH、HL,∠I+∠2=I80°，∠AEF=∠HLN,延 长EF交CD于点G.求证：EG∥HL. A D 题型四在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10.下列命题中，不正确的是() A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C.垂直于同一直线的两条直线垂直 D.平行于同一直线的两条直线平行 11.如图，AB⊥1，AC⊥1，那么A,B,C三点在同一条直线上.根据 A B 12.如图，在ABC中，点D在BC上，CE⊥AB,垂足为E, B D (1)过点D画DF⊥AB,垂足为F. (2)过点E画EH∥BC,交AC于H. (3)证明：∠FDB=LCEH. 题型五平行公理的应用 13.如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2=32°，则∠1的 度数为() A.45° B.58° C.65° D.75° 14.如图，AB∥EF,∠C=90°，用∠B和∠D表示∠E,∠E= D 15.(1)如图①所示，AB∥ED,LABC=48°，∠CDE=42°，则BC和CD有怎样 的位置关系？请对你的结论进行证明 (2)如果图①中仍是AB∥ED,但∠ABC=a°，∠CDE=B°，则∠BCD等于多少度？ (直接写出结果) (3)如图②，AB∥ED,当∠ABC=138°时，要使BC和CD保持和图①一样的位置 关系，则LCDE的度数应是多少？并结合所给的条件进行证明. 图① 图② 题型六平行公理推论的应用 16.如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘l∥12，三角板ABC中30° 角的顶点B在（上，直角顶点C在马上，三角板与直尺边缘形成的∠2=40°，则 ∠1=() A.20° B.25° C.30° D.35 17.如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使1=150°，AB1BC,则 ∠2的度数为」 18.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF,EC平分∠DEF. E (I)求证：AE⊥CE; (2)若∠B=2L2,∠C+∠1=90°，求证：AB∥CD. 题型七两直线平行同位角相等 19.如图，直线a∥b,直线c⊥d,若1=a,则∠2=() A.a+90 B.a-90 C.180°-a D.2a-180° 20.如图，a⊥c,b1c.若∠1=70°，则∠2的度数为 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长BC至点N使得CN=BC. A M E B C (1)请在图中连接AN,求证：ABC≌ANC; (2)D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC,延长DE至点M使得EM=DE,求证： A,M,N三点共线. 题型八两直线平行内错角相等 22.如图，已知点C在AE上，AB∥CD,AE∥DF,∠I=63°，则∠2的度数是() B D A.53 B.589 C.63° D.69 23.如图所示，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C、D分别落在点C 、D处，C'E交AF于点G,∠CEF=70°，则∠GFD'= D' D 24.如图，点A,F,C,D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,AB|DE;求 证：△ABC≌△DEF. 6 题型九两直线平行同旁内角互补 25.如图，1∥m,∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（) 17m A.20° B.30° C.40° D.45° 26.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,点E是DC上一点，且∠DAE=20°， ∠EBC=70°，若AE=5,BE=12,则AB的长度为 B 27.如图，AD∥BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平 分线， (1)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长. 题型十根据平行线判定与性质证明 28.如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠D+∠BCD=180°： ④AD‖IBE且∠B=∠D.其中，能得到AB II DC的条件为() A D B C E A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ > 29.如图，AM是一段斜坡，AB是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高 度CN,他在点C处立上一根竹竿CD,竹竿CD垂直于斜坡AM,在竿顶点D处 垂下一根绳子DE,与斜坡AM的交点是E.当DE=AC时，测得CE=2m,则CN 的长为 m. D E N B 30.如图，点D,E分别在ABC的边AB,AC上，点F在线段BE上，且LEDF=LC, DE∥BC. 4 D B (I)判断DF与AC的位置关系，并说明理由； (2)若DF平分∠BDE,∠ADE=38°，求∠AED. 7.3 平行线的证明 题型一 同位角相等两直线平行 1．羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 2．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ． 在与中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 题型二 内错角相等两直线平行 4．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的关系． 直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； B．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故符合题意； C．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； D．，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，故不符合题意； 故选：B． 5．如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 6．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明、，再运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：，，理由如下： ， ， ∴． 题型三 同旁内角互补两直线平行 7．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的关系． 直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； B．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故符合题意； C．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意 ； D．，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，故不符合题意， 故选B． 8．如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 9．如图，直线分别交、于点M、N，点E、L分别在、上，点F、H是直线、内的两点，连接，，延长交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，相交线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 先根据对顶角相等得到，结合，得到，根据同旁内角互补，两直线平行得到，再根据两直线平行，内错角相等得到，结合，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 题型四 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 11．如图，，那么三点在同一条直线上．根据 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了垂直的性质，熟练掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是解题的关键．根据垂直的性质，判断三点共线的依据． 【详解】解：因为 ，，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 所以 ，， 三点在同一条直线上． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 12．如图，在中，点在上，，垂足为， (1)过点画，垂足为． (2)过点画，交于． (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查画垂线、画平行线，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握垂线、平行线的定义和性质． （1）根据垂线的概念画图即可得； （2）根据平行线的性质利用直尺和三角板，画图即可得； （3）先证得，再由知，据此可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）证明：、， ， ， ， 又， ， ． 题型五 平行公理的应用 13．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 14．如图，，，用和表示， ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（1）如图①所示，，，，则和有怎样的位置关系？请对你的结论进行证明． （2）如果图①中仍是，但，，则等于多少度？ （直接写出结果） （3）如图②，，当时，要使和保持和图①一样的位置关系，则的度数应是多少？并结合所给的条件进行证明．          【答案】（1）和垂直，见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，垂直的含义． （1）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下： 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2），理由如下：如图， 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， （3）当时，．理由如下： 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型六 平行公理推论的应用 16．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 17．如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是正确添加平行线． 设长方形右上角为，右下角为点，过点向左作，则，求得，即，再代入数据求解即可． 【详解】解：设长方形右上角为，右下角为点，如图， 过点向左作， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， 又， ． 故答案为：． 18．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型七 两直线平行同位角相等 19．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 20．如图，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握垂直于同一条直线的两条直线平行，以及平行线的同位角相等的性质是解题的关键． 先根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ ． 故答案为：70°． 21．如图，在中，，延长至点使得． (1)请在图中连接，求证：； (2)分别是上的点，且，延长至点使得，求证：三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）证明，得出，根据，得出，从而得出，说明射线和重合，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴射线和重合， ∴三点共线． 题型八 两直线平行内错角相等 22．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 23．如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点C、D分别落在点、处，交于点G，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，的度数，再由折叠的性质可得的度数，再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等），， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 24．如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质定理． 根据平行得到，然后可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 题型九 两直线平行同旁内角互补 25．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 26．如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平行线的性质和勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，据此得出三角形是直角三角形，结合和的长进行计算即可． 【详解】解：， 、 在中， 故答案为：13． 27．如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型十 根据平行线判定与性质证明 28．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 29．如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 1 学科网（北京）股份有限公司 $