第十七章《因式分解》期末基础知识复习、易错点避坑指南、备考策略及练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学因式分解单元复习讲义以“概念-方法-步骤-应用”为主线构建知识体系，通过对比表格明晰整式乘法与因式分解的互逆关系，用步骤流程图呈现“提公因式→公式→十字相乘”的分解顺序，结合易错点表格突出公因式提取彻底性、公式结构识别等重难点。 讲义亮点在于“易错点避坑指南”和“复习口诀”的创新设计，如用表格归纳公因式提取错误等五类易错类型及避坑技巧，配套分层习题含基础分解题和几何面积综合题，培养运算能力与模型意识。学生可通过错题复盘自主巩固，教师能依托分层练习实施精准化教学。

八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第17章 因式分解 本章是初中代数的重要运算章节，承接《整式的乘法》，聚焦因式分解的定义、核心方法（提公因式法、公式法、十字相乘法）及综合应用，重点考查 “公因式提取的彻底性”“公式结构的识别准确性”“因式分解的步骤规范性”“与整式乘法的互逆应用能力” 四大核心能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破方法选择与符号处理的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：因式分解的核心概念（运算的前提） 因式分解是整式乘法的逆运算，需明确定义本质与核心要求，避免与整式乘法混淆，为后续方法应用奠定基础。 1. 因式分解的定义与本质 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 本质：整式乘法的逆运算，核心是 “和变积”，与 “积变和” 的整式乘法形成互逆关系。 关键判断标准： 结果必须是 “整式的积”，不能含分式或多项式相加的形式； 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止（初中阶段在有理数范围内）。 2. 公因式的定义与找法（提公因式法的基础） 定义：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 找公因式的 “三步骤”： 找系数：取各项系数的最大公约数（符号优先取各项符号的公约数，通常保留正号）； 找字母：取各项都含有的相同字母； 找指数：取相同字母的最低次幂。 3. 因式分解与整式乘法的互逆关系 运算类型 核心特征 示例 整式乘法 积变和（整式 × 整式 = 多项式） (a+b)(a-b) = a2 - b2 因式分解 和变积（多项式 = 整式 × 整式） a2 - b2 = (a+b)(a-b) 易错警示： 混淆运算方向，把因式分解做成整式乘法； 分解不彻底，未继续分解。 二、核心突破：因式分解的三大核心方法（运算的关键） 因式分解的核心方法包括提公因式法、公式法、十字相乘法，需按 “先提公因式，再用公式，最后十字相乘” 的顺序选择，熟练掌握每种方法的适用条件与操作步骤。 1. 提公因式法（最基础、首选方法） （1）法则 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个整式的积的形式。 （2）运算步骤（四步法） 找公因式：按 “系数→字母→指数” 三步骤找出各项公因式； 提公因式：用多项式的每一项除以公因式，得到另一个因式； 写结果：把公因式与另一个因式用乘号连接，格式为 “公因式 ×（各项除以公因式的结果）”； 验结果：用整式乘法还原，检验分解是否正确。 （3）注意事项 公因式提取要彻底，不能遗漏各项中的公因式（包括常数项的公约数）； 当多项式第一项系数为负数时，先提取负号，使括号内第一项系数为正（提取负号后，括号内各项符号要改变）； 公因式为多项式时，将多项式整体看作公因式提取。 2. 公式法（针对特殊结构多项式） 公式法是利用整式乘法的平方差公式、完全平方公式的逆运算进行因式分解，需精准识别多项式的结构特征，匹配对应公式。 （1）平方差公式因式分解 公式推导：逆用平方差公式； 语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积； 结构特征：多项式是 “两项式”，且两项都是平方的形式，符号相反（“正平方 - 负平方”）； 常见变形： 符号变形：-a2 + b2 = b2 - a2 = (b+a)(b-a)； 系数变形：4x2 - 9y2 = (2x)2 - (3y)2 = (2x+3y)(2x-3y)； 多项式变形：(a+b)2 - c2 = (a+b+c)(a+b - c)。 （2）完全平方公式因式分解 公式推导（逆用完全平方公式）：由 (a+b)2 = a2 ± 2ab + b2，得  a2 + 2ab + b2 =(a±b)2； 语言描述：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方； 结构特征（口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号跟着中间走）： 多项式是 “三项式”； 两项为平方项（符号均为正），一项为中间项（是两平方项底数乘积的 2 倍，符号可正可负）； （3）公式法应用关键 先看多项式项数：两项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式； 3. 十字相乘法（针对二次三项式） （1）法则（针对二次三项式 x2 + px + q） 如果能找到两个数 m 和 n，使得 m + n = p，且mn = q，那么 x2 + px + q = (x + m)(x + n)。 （2）拓展形式（针对二次三项式 ax2 + bx + c，a≠1） 如果能找到两个数 m、n 和 p、q，使得 p×q = a，m×n = c，且 pn + qm = b，那么 ax2 + bx + c= (px + m)(qx + n)。 （3）注意事项 常数项符号决定两个因式中常数项的符号：常数项为正，两常数项同号；常数项为负，两常数项异号； 一次项系数符号由两常数项的和决定，优先匹配符号再确定数值。 三、核心技能：因式分解的一般步骤（规范运算流程） 因式分解需遵循 “一定顺序、分步分解” 的原则，避免盲目操作导致错误或分解不彻底，具体步骤如下： 提公因式：先观察多项式各项是否有公因式，如有则优先提取公因式（包括负号和多项式公因式）； 看项数： 两项式：提取公因式后，若符合平方差公式特征，用平方差公式分解； 三项式：提取公因式后，若符合完全平方公式特征，用完全平方公式分解；若不符合，尝试十字相乘法； 查彻底：分解后检查每个因式是否还能继续分解（初中阶段有理数范围内），若能则继续分解； 验结果：用整式乘法将分解结果还原，检验是否与原多项式一致，确保分解正确。 四、综合应用：因式分解的实际场景（能力迁移） 因式分解的应用主要集中在 “代数式化简求值”“解方程”“实际问题建模” 等场景，需将实际问题转化为因式分解问题，再通过运算求解。 1. 常见应用场景与解题思路 场景类型 核心思路 化简求值 先分解因式，再代入数值计算（简化运算） 解方程 利用 “若两个整式的积为 0，则至少一个整式为 0” 求解 实际问题（面积 / 长度） 用因式分解表示数量关系，结合题意求解 2. 综合应用解题步骤 析题意：明确题目要求（化简、求值、解方程等），提取已知条件与未知量； 选方法：根据多项式结构，按因式分解一般步骤分解； 用条件：结合已知条件代入化简后的式子，或利用因式分解性质求解（如解方程）； 验结果：检验结果是否符合题意（如长度为正、数值合理），规范作答。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 公因式提取错误 1. 遗漏系数的最大公约数； 2. 遗漏相同字母的最低次幂； 3. 首项系数为负时未提取负号； 4. 公因式为多项式时未识别。 1. 找公因式按 “系数→字母→指数” 三步逐一检查； 2. 首项为负先提负号，括号内各项变号； 3. 观察各项是否含相同多项式，优先作为整体提取。 公式应用错误 1. 平方差公式误用； 2. 完全平方公式漏中间项或符号错误； 3. 公式应用前未提公因式。 1. 牢记公式结构特征：平方差 “两项异号平方”，完全平方 “三项两正平方加（减）中间项”； 2. 用公式前先检查是否已提公因式； 3. 完全平方公式中间项系数 = 2× 首项底数 × 尾项底数，符号与原式一致。 分解不彻底 1. 提取公因式后未继续分解； 2. 十字相乘法分解后未检查因式是否可再分。 1. 分解后逐一检查每个因式，两项式看是否符合平方差，三项式看是否符合完全平方或十字相乘； 2. 牢记 “提公因式→用公式→查彻底” 的顺序，不跳步。 符号错误 1. 提取负号后括号内各项符号未改变； 2. 十字相乘法中常数项符号与一次项系数符号匹配错误。 1. 提取负号时，括号内每一项都要变号（正变负，负变正）； 2. 十字相乘法先确定常数项符号（同号 / 异号），再根据一次项系数确定数值。 混淆运算方向 把因式分解做成整式乘法。 牢记因式分解结果是 “整式的积”，若结果含 “+”“-” 连接的多项式，则未完成分解。 六、备考策略 夯实基础：概念与方法 “双过关” 默写因式分解定义、公因式找法、三大核心公式（字母表示 + 结构特征），标注注意事项； 基础训练：每天练 8-10 道基础分解题，覆盖 “提公因式法”“公式法”“十字相乘法”，重点关注符号与分解彻底性。 突破难点：综合分解与应用训练 综合分解训练：针对性练习 “提公因式 + 公式法”“提公因式 + 十字相乘法” 的混合题型，熟练掌握分解顺序； 应用训练：练 “化简求值”“解方程”“实际问题” 类题目，总结 “分解→代入→求解”“分解→转化→建模” 的固定思路。 规范步骤：避免 “跳步” 与 “粗心” 书写规范：分解过程按步骤书写（如 “第一步提公因式得…，第二步用平方差公式分解得…”），公式应用标注公式名称； 检查习惯：分解后从 “公因式提取是否彻底”“公式应用是否正确”“符号是否无误”“结果是否为整式积” 四方面检查。 错题复盘：聚焦高频易错点 整理三类典型错题：“公因式提取错误”“公式应用错误”“分解不彻底”，标注错误原因（如 “遗漏系数最大公约数”“平方差公式符号判断错误”）； 重做错题时，按 “避坑技巧” 逐一核对，形成个人 “因式分解避坑笔记”，反复巩固。 复习口诀 因式分解逆运算，和变积是关键点；先提公因式再看项，分解彻底才完成。公因式：系数公约取最大，相同字母最低次，首项为负先提负，多项式公因式不遗漏。平方差：两项异号平方和，分解和差积形式；完全平方：三项两正加中间，首尾平方积两倍；十字相乘：二次三项看系数，常数拆分凑一次，符号匹配先优先。步骤清晰不跳步，检验还原保正确。 一、选择题汇编 1.（25-26·全国期中）下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（   ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可． 本题考查的是因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义． 【解答】解：．左边为，右边为，展开右边得，次数高于左边，且与原式不等，故错误； ．左边为，右边为，此过程为整式乘法，而非因式分解，故错误； ．左边为，右边为。此变形为配方法，未写成乘积形式，故错误； ．左边为，整理为，可提取负号得，括号内为完全平方式，故右边为，符合因式分解定义，故正确． 故选：．  2.（24-25·河南期中）将多项式分解因式时应提取的公因式是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数． 【解答】解：系数最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是、，应提取的公因式是． 故选：． 3.（25-26·北京期中）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了平方差公式分解因式．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．根据平方差公式的形式求解即可． 【解答】解：、是三项，不能用平方差公式分解因式； 、是三项，不能用平方差公式分解因式； 、是三项，不能用平方差公式分解因式； 、，能用平方差公式分解因式； 故选：． 4.（24-25·辽宁期末）将多项式因式分解，正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【解答】解：， 故选：． 5.（24-25·河南期末）分解因式：（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，进而根据平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式． 故选：． 6.（25-26·四川期中）下列因式分解正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查的是利用公式法，十字乘法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 根据因式分解逐个判断即可． 【解答】解：．不能用完全平方式进行因式分解，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 7.（25-26·全国期中）若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体思想代入求值是解题关键． 将原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得，结合已知条件代入计算． 【解答】解： 代入已知条件 和 ，得： ， 故选． 8.（25-26·全国期中）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【解答】解：， 又多项式可以因式分解成，，为整数， ， ，， ， 即的值是． 故选：． 9.分解因式的正确结果是（      ） A.²² B.² C.² D.²² 【答案】D 【解析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案． 【解答】．故选．  10.（25-26·山东月考）若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了利用完全平方公式进行分解因式，根据完全平方公式进行分解因式得或，即可求解． 【解答】解： 能用完全平方公式分解因式， 可以分解为或， ， 解得：； 故选：． 11.（24-25·河北月考）当为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查利用平方差公式分解因式．先把分解因式可得结果为，结合为正整数可得答案． 【解答】解： ， 为正整数， 一定能被整除， 故选． 12.（25-26·山东期中）已知，求的值．（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【解答】解： ， 当，时， 原式 故选：． 13.（25-26·山东月考）已知三角形的三边长、、满足，则此三角形的形状为（   ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 【答案】A 【解析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．将已知等式因式分解为，则或，由此即可得． 【解答】解：， ， ， ， 或， 或， 此三角形的形状一定是等腰三角形，不一定是等边三角形， 故选：． 14.（25-26·全国月考）已知，且，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．先将式子整理变形得，进而得出，即，再将展开，最后整理代入即可得出答案． 【解答】解：， ， 整理，得， 则， 即， ， ， 即， 由，得， ， ． 故选：． 15.（25-26·湖南月考）已知实数，满足，，，为自然数，则的最小值是    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去，结合的条件得出与的关系，再将转化为关于的二次函数，结合自然数的要求确定最小值． 联立等式消去，整理后因式分解求得每个因式为，利用得到；将代入的表达式，转化为的表达式；根据排除特殊值，结合为自然数确定最小值即可． 【解答】， ， 整理得， ， ． ， ，即． 将代入，得：． ， ，即，故．即， 因为自然数，故的最小值是， 此时，此时，符合题意， 故选：． 16.（24-25·四川期中）如图，长方体的三视图，若用表示面积，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了因式分解的应用，三视图. 先将，分解因式，根据面积公式可知，的公因式即为长方体的高，进而可知长方体的长和宽，进而计算即可. 【解答】，，，， 长方体的高为， 即长方体的长为，长方体的宽为， ， 故选： 17.（24-25·山东期中）计算：的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【解答】原式 ， 故选：． 18.（25-26·全国月考）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如： ，根据上述方法，解决问题：已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据材料方法进行分组分解，最后根据多个因数之积为，得出边长关系即可． 【解答】解：由题意： ， ， 、、是的三边， ， ，即：， 的形状是等腰三角形， 故选：． 19.（25-26·全国月考）有个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为，则； ③第个整式为； ④当时，． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了整式加减的应用、因式分解，理解题意找到规律进行计算是解题的关键．根据题意，先求出、、……，找到规律表示出的代数式，再求出前几个整式，找到规律表示出第个整式，再对题目中的结论逐一分析判断即可． 【解答】解：由题意得，， ， ，故①正确； 以此类推，， ，故④正确； 第一个整式为， 第二个整式为， 第三个整式为， 第四个整式为，…… 以此类推，第个整式为， 第个整式为，故③正确； 第三个整式与第二个整式的差为， ， 解得：，故②错误； 综上所述，结论正确的有①③④，共个． 故选：．  20.（24-25·河南期中）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．以下说法： ①分解因式：； ②若，，是的三边长，且满足，则为等边三角形； ③若，，是的三边长，且满足，则这三边能构成等腰三角形； 正确的有（    ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，非负数的性质，构成三角形的条件．先提取公因式，然后理由平方差公式分解因式即可判定①；根据已知条件式得到，然后利用完全平方公式得到，利用非负数的性质证明即可判断②；根据已知条件式推出，得到，再根据构成等腰三角形的条件即可判断③． 【解答】解： ，故①错误； ， ， ， ， ， 又， ， ， 为等边三角形，故②正确； ， ， ， ， ， ，，是的三边长， ，则， ， ， 这三边能构成等腰三角形，故③正确； 综上，②③正确； 故选：． 二、填空题汇编 21.（25-26·北京期中）与的最大公因式是_________________． 【答案】 【解析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【解答】解：与的公因式是． 故答案为：． 22.（25-26·全国月考）多项式分解因式时，应提取的公因式是__________________． 【答案】 【解析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【解答】解：， 应提取的公因式是． 故答案为：． 23.（25-26·山东月考）多项式和的公因式是______________． 【答案】 【解析】本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【解答】， ， 多项式与多项式的公因式是． 故答案为：．  24.（25-26·北京期中）分解因式：___________． 【答案】 【解析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【解答】解：； 故答案为：． 25.（25-26·全国月考）分解因式： ____________． 【答案】 【解析】本题考查了因式分解-分组分解法，原式前三项结合后，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 26.（25-26·全国月考）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是____________． 【答案】 【解析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【解答】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 27.（25-26·全国月考）若，则的值是______________． 【答案】 【解析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，根据题意可得，由非负数的性质可求出、、的值，据此可得答案． 【解答】解：， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 28.（24-25·河南月考）已知，，分别是的边长，若，，则的周长为______9______． 【答案】 【解析】本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键．先把因式分解可得，从而得到，即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 的周长是 故答案为： 29.（25-26·全国期中）若，且，则的值为_____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【解答】解：， ， ，， ，即 ， 由得， 由得， ， 当时，原式， 故答案为：．  30.（25-26·福建期中）如图，长方体的高为，，则______________． 【答案】 【解析】本题考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，正确进行因式分解是解题的关键． 分别对进行因式分解，确定长方体的长、宽、高，再由长方形面积公式求解即可． 【解答】解：由，， 长方体的宽为，高为，长为， 故， 故答案为：． 31.（24-25·四川期中）若二次三项式可分解为，则的值为______________． 【答案】 【解析】本题考查因式分解的应用，以及多项式乘多项式，先展开，再根据对应项系数相等建立等式求解，即可解题． 【解答】解：， 二次三项式可分解为， ， 解得， ． 故答案为：． 32.（24-25·河南期末）已知， ， 分别是的三边长，若，，则的周长是_______8________． 【答案】 【解析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，将式子变形为，再分解因式可得，结合题意即可得解． 【解答】解：， ， ， ，即的周长是， 故答案为：．  33.（24-25·湖北期末）计算的值为___________． 【答案】 【解析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 34.（24-25·内蒙古期末）若，则的值为____6_______． 【答案】 【解析】此题考查了整式的混合运算、提公因式法因式分解、代数式的求值．把原式变形为，再整体代入即可． 【解答】解：， 故答案为： 35.（24-25·湖北期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论： 若，则二次三项式一定含有因式； 若，且，则； 若，则； 若则无论取何实数，总是正数． 其中正确结论的序号有____________． 【答案】 【解析】此题考查了因式分解、完全平方公式的应用，熟练掌握因式分解和完全平方公式是关键．利用因式分解和完全平方公式逐项进行判断即可． 【解答】解：， ， 二次三项式一定含有因式； 故正确， 若，且， 或， 则或； 故结论不正确； ， ， ， 故结论正确； ， 当时，即时， 无论取何实数时，总是正数， 故结论正确； 故答案为：  三、解答题汇编 36.（25-26·吉林期中）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】； 【解析】（1）提取公因式法分解即可； （2）提取公因式法分解即可； （3）利用平方差公式，完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可． 本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． 【解答】（1）解： （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 37.（25-26·全国期中）因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】； ； ． 【解析】（1）直接提公因式，即可求解． （2）先提公因式，即可求解． （3）根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【解答】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 38.（25-26·山东月考）已知，，求的值． 求证：不论取何实数，多项式的值都不会是正数． 【答案】 见解答 【解析】本题主要考查了因式分解的应用以及平方数的非负性，熟练掌握因式分解的方法和平方数的非负性是解题的关键． 先对所求式子进行变形，利用已知条件将高次幂转化为低次幂，再通过平方差公式求出的值，进而得出结果． 对多项式进行因式分解，然后根据平方数的非负性以及系数的正负来判断多项式的值的范围． 【解答】解：，， ， ，， ， ， ， ， ； 证明：， ，， ． 不论取何实数，多项式的值都不会是正数．  39.（23-24·陕西月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成． （1）根据材料，把分解因式； （2）结合材料和材料，完成下面小题：①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】 ①；② 【解析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可；②利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】（1）； （2）①； ② ． 40.（25-26·四川期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）解决问题：因式分解：； （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 三角形为等边三角形，理由见解析 【解析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【解答】（1）解： ； （2）解：三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 这个三角形为等边三角形． 41.（25-26·吉林期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为_______； （2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】 【解析】（1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【解答】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ， ． 42.（25-26·贵州月考）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． （1）上述分解因式的方法是___提公因式法____，共应用了___2____次； （2）分解因式：． （3）若分解，则需应用上述方法___n___次，结果是_______．（为正整数） 【答案】提公因式法， ， 【解析】（1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【解答】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了次， 故答案为：提公因式法，； （2）解： ； （3）解： ， 故需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，． 43.（25-26·吉林期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为_______． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成块，其中块是边长为 的大正方形，块是边长为 的小正方形，块是长为 、宽为 的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为_______． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】 ①；②图②中空白部分图形的面积为 【解析】（1）观察图形将图①中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图①中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ②根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． 【解答】（1）解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ， 故答案为：． （2）解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ． 又， ， ． ． ． 图②中空白部分图形的面积为．  44.（25-26·贵州月考）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图中的、、三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用张卡片，张卡片，张卡片拼成如图的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图拼图，多项式因式分解的结果是_______． 【自主探索】 （2）请利用图中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图），求剩余草皮面积． 【答案】 示意图见解析， 【解析】（1）根据图形可得计算即可； （2）由题意可得图，再根据图可分解因式； （3）计算出剩余草皮面积，根据题意分情况分析即可． 【解答】（1）解：由图可知，图是由张卡片，张卡片，张卡片拼成的， 图的面积为， 又图的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ， 故答案为：； （2）图形如下： ， （3）由图可知：剩余草皮面积为 ． 45.（25-26·北京期中）阅读下列材料： 材料：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例因式分解： 解： 例因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）若，则的最小值为___________； （2）因式分解：___________； （3）若，求的最小值． 【答案】 【解析】（1）根据即可求解； （2）根据，结合，且，即可求解； （3）根据即可求解； 【解答】（1）解：， 当时，有最小值． （2）解：， ，且， ； （3）解： ， 当时，有最小值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第17章 因式分解 本章是初中代数的重要运算章节，承接《整式的乘法》，聚焦因式分解的定义、核心方法（提公因式法、公式法、十字相乘法）及综合应用，重点考查 “公因式提取的彻底性”“公式结构的识别准确性”“因式分解的步骤规范性”“与整式乘法的互逆应用能力” 四大核心能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破方法选择与符号处理的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：因式分解的核心概念（运算的前提） 因式分解是整式乘法的逆运算，需明确定义本质与核心要求，避免与整式乘法混淆，为后续方法应用奠定基础。 1. 因式分解的定义与本质 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 本质：整式乘法的逆运算，核心是 “和变积”，与 “积变和” 的整式乘法形成互逆关系。 关键判断标准： 结果必须是 “整式的积”，不能含分式或多项式相加的形式； 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止（初中阶段在有理数范围内）。 2. 公因式的定义与找法（提公因式法的基础） 定义：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 找公因式的 “三步骤”： 找系数：取各项系数的最大公约数（符号优先取各项符号的公约数，通常保留正号）； 找字母：取各项都含有的相同字母； 找指数：取相同字母的最低次幂。 3. 因式分解与整式乘法的互逆关系 运算类型 核心特征 示例 整式乘法 积变和（整式 × 整式 = 多项式） (a+b)(a-b) = a2 - b2 因式分解 和变积（多项式 = 整式 × 整式） a2 - b2 = (a+b)(a-b) 易错警示： 混淆运算方向，把因式分解做成整式乘法； 分解不彻底，未继续分解。 二、核心突破：因式分解的三大核心方法（运算的关键） 因式分解的核心方法包括提公因式法、公式法、十字相乘法，需按 “先提公因式，再用公式，最后十字相乘” 的顺序选择，熟练掌握每种方法的适用条件与操作步骤。 1. 提公因式法（最基础、首选方法） （1）法则 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个整式的积的形式。 （2）运算步骤（四步法） 找公因式：按 “系数→字母→指数” 三步骤找出各项公因式； 提公因式：用多项式的每一项除以公因式，得到另一个因式； 写结果：把公因式与另一个因式用乘号连接，格式为 “公因式 ×（各项除以公因式的结果）”； 验结果：用整式乘法还原，检验分解是否正确。 （3）注意事项 公因式提取要彻底，不能遗漏各项中的公因式（包括常数项的公约数）； 当多项式第一项系数为负数时，先提取负号，使括号内第一项系数为正（提取负号后，括号内各项符号要改变）； 公因式为多项式时，将多项式整体看作公因式提取。 2. 公式法（针对特殊结构多项式） 公式法是利用整式乘法的平方差公式、完全平方公式的逆运算进行因式分解，需精准识别多项式的结构特征，匹配对应公式。 （1）平方差公式因式分解 公式推导：逆用平方差公式； 语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积； 结构特征：多项式是 “两项式”，且两项都是平方的形式，符号相反（“正平方 - 负平方”）； 常见变形： 符号变形：-a2 + b2 = b2 - a2 = (b+a)(b-a)； 系数变形：4x2 - 9y2 = (2x)2 - (3y)2 = (2x+3y)(2x-3y)； 多项式变形：(a+b)2 - c2 = (a+b+c)(a+b - c)。 （2）完全平方公式因式分解 公式推导（逆用完全平方公式）：由 (a+b)2 = a2 ± 2ab + b2，得  a2 + 2ab + b2 =(a±b)2； 语言描述：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方； 结构特征（口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号跟着中间走）： 多项式是 “三项式”； 两项为平方项（符号均为正），一项为中间项（是两平方项底数乘积的 2 倍，符号可正可负）； （3）公式法应用关键 先看多项式项数：两项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式； 3. 十字相乘法（针对二次三项式） （1）法则（针对二次三项式 x2 + px + q） 如果能找到两个数 m 和 n，使得 m + n = p，且mn = q，那么 x2 + px + q = (x + m)(x + n)。 （2）拓展形式（针对二次三项式 ax2 + bx + c，a≠1） 如果能找到两个数 m、n 和 p、q，使得 p×q = a，m×n = c，且 pn + qm = b，那么 ax2 + bx + c= (px + m)(qx + n)。 （3）注意事项 常数项符号决定两个因式中常数项的符号：常数项为正，两常数项同号；常数项为负，两常数项异号； 一次项系数符号由两常数项的和决定，优先匹配符号再确定数值。 三、核心技能：因式分解的一般步骤（规范运算流程） 因式分解需遵循 “一定顺序、分步分解” 的原则，避免盲目操作导致错误或分解不彻底，具体步骤如下： 提公因式：先观察多项式各项是否有公因式，如有则优先提取公因式（包括负号和多项式公因式）； 看项数： 两项式：提取公因式后，若符合平方差公式特征，用平方差公式分解； 三项式：提取公因式后，若符合完全平方公式特征，用完全平方公式分解；若不符合，尝试十字相乘法； 查彻底：分解后检查每个因式是否还能继续分解（初中阶段有理数范围内），若能则继续分解； 验结果：用整式乘法将分解结果还原，检验是否与原多项式一致，确保分解正确。 四、综合应用：因式分解的实际场景（能力迁移） 因式分解的应用主要集中在 “代数式化简求值”“解方程”“实际问题建模” 等场景，需将实际问题转化为因式分解问题，再通过运算求解。 1. 常见应用场景与解题思路 场景类型 核心思路 化简求值 先分解因式，再代入数值计算（简化运算） 解方程 利用 “若两个整式的积为 0，则至少一个整式为 0” 求解 实际问题（面积 / 长度） 用因式分解表示数量关系，结合题意求解 2. 综合应用解题步骤 析题意：明确题目要求（化简、求值、解方程等），提取已知条件与未知量； 选方法：根据多项式结构，按因式分解一般步骤分解； 用条件：结合已知条件代入化简后的式子，或利用因式分解性质求解（如解方程）； 验结果：检验结果是否符合题意（如长度为正、数值合理），规范作答。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 公因式提取错误 1. 遗漏系数的最大公约数； 2. 遗漏相同字母的最低次幂； 3. 首项系数为负时未提取负号； 4. 公因式为多项式时未识别。 1. 找公因式按 “系数→字母→指数” 三步逐一检查； 2. 首项为负先提负号，括号内各项变号； 3. 观察各项是否含相同多项式，优先作为整体提取。 公式应用错误 1. 平方差公式误用； 2. 完全平方公式漏中间项或符号错误； 3. 公式应用前未提公因式。 1. 牢记公式结构特征：平方差 “两项异号平方”，完全平方 “三项两正平方加（减）中间项”； 2. 用公式前先检查是否已提公因式； 3. 完全平方公式中间项系数 = 2× 首项底数 × 尾项底数，符号与原式一致。 分解不彻底 1. 提取公因式后未继续分解； 2. 十字相乘法分解后未检查因式是否可再分。 1. 分解后逐一检查每个因式，两项式看是否符合平方差，三项式看是否符合完全平方或十字相乘； 2. 牢记 “提公因式→用公式→查彻底” 的顺序，不跳步。 符号错误 1. 提取负号后括号内各项符号未改变； 2. 十字相乘法中常数项符号与一次项系数符号匹配错误。 1. 提取负号时，括号内每一项都要变号（正变负，负变正）； 2. 十字相乘法先确定常数项符号（同号 / 异号），再根据一次项系数确定数值。 混淆运算方向 把因式分解做成整式乘法。 牢记因式分解结果是 “整式的积”，若结果含 “+”“-” 连接的多项式，则未完成分解。 六、备考策略 夯实基础：概念与方法 “双过关” 默写因式分解定义、公因式找法、三大核心公式（字母表示 + 结构特征），标注注意事项； 基础训练：每天练 8-10 道基础分解题，覆盖 “提公因式法”“公式法”“十字相乘法”，重点关注符号与分解彻底性。 突破难点：综合分解与应用训练 综合分解训练：针对性练习 “提公因式 + 公式法”“提公因式 + 十字相乘法” 的混合题型，熟练掌握分解顺序； 应用训练：练 “化简求值”“解方程”“实际问题” 类题目，总结 “分解→代入→求解”“分解→转化→建模” 的固定思路。 规范步骤：避免 “跳步” 与 “粗心” 书写规范：分解过程按步骤书写（如 “第一步提公因式得…，第二步用平方差公式分解得…”），公式应用标注公式名称； 检查习惯：分解后从 “公因式提取是否彻底”“公式应用是否正确”“符号是否无误”“结果是否为整式积” 四方面检查。 错题复盘：聚焦高频易错点 整理三类典型错题：“公因式提取错误”“公式应用错误”“分解不彻底”，标注错误原因（如 “遗漏系数最大公约数”“平方差公式符号判断错误”）； 重做错题时，按 “避坑技巧” 逐一核对，形成个人 “因式分解避坑笔记”，反复巩固。 复习口诀 因式分解逆运算，和变积是关键点；先提公因式再看项，分解彻底才完成。公因式：系数公约取最大，相同字母最低次，首项为负先提负，多项式公因式不遗漏。平方差：两项异号平方和，分解和差积形式；完全平方：三项两正加中间，首尾平方积两倍；十字相乘：二次三项看系数，常数拆分凑一次，符号匹配先优先。步骤清晰不跳步，检验还原保正确。 一、选择题汇编 1.（25-26·全国期中）下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（   ） A. B. C. D.  2.（24-25·河南期中）将多项式分解因式时应提取的公因式是（    ） A. B. C. D. 3.（25-26·北京期中）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A. B. C. D. 4.（24-25·辽宁期末）将多项式因式分解，正确的是（   ） A. B. C. D. 5.（24-25·河南期末）分解因式：（    ） A. B. C. D. 6.（25-26·四川期中）下列因式分解正确的是（   ） A. B. C. D. 7.（25-26·全国期中）若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 8.（25-26·全国期中）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A. B. C. D. 9.分解因式的正确结果是（      ） A.²² B.² C.² D.²² 10.（25-26·山东月考）若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（   ） A. B. C. D. 11.（24-25·河北月考）当为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（   ） A. B. C. D. 12.（25-26·山东期中）已知，求的值．（   ） A. B. C. D. 13.（25-26·山东月考）已知三角形的三边长、、满足，则此三角形的形状为（   ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 14.（25-26·全国月考）已知，且，则的值为（   ） A. B. C. D. 15.（25-26·湖南月考）已知实数，满足，，，为自然数，则的最小值是    A. B. C. D. 16.（24-25·四川期中）如图，长方体的三视图，若用表示面积，，，则（   ） A. B. C. D. 17.（24-25·山东期中）计算：的值为（    ） A. B. C. D. 18.（25-26·全国月考）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如： ，根据上述方法，解决问题：已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 19.（25-26·全国月考）有个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为，则； ③第个整式为； ④当时，． A. B. C. D. 20.（24-25·河南期中）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．以下说法： ①分解因式：； ②若，，是的三边长，且满足，则为等边三角形； ③若，，是的三边长，且满足，则这三边能构成等腰三角形； 正确的有（    ）个． A. B. C. D. 二、填空题汇编 21.（25-26·北京期中）与的最大公因式是_________________． 22.（25-26·全国月考）多项式分解因式时，应提取的公因式是_______________． 23.（25-26·山东月考）多项式和的公因式是___________． 24.（25-26·北京期中）分解因式：__________． 25.（25-26·全国月考）分解因式： _________． 26.（25-26·全国月考）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 27.（25-26·全国月考）若，则的值是___________． 28.（24-25·河南月考）已知，，分别是的边长，若，，则的周长为________． 29.（25-26·全国期中）若，且，则的值为___________． 30.（25-26·福建期中）如图，长方体的高为，，则____________． 31.（24-25·四川期中）若二次三项式可分解为，则的值为___________． 32.（24-25·河南期末）已知， ， 分别是的三边长，若，，则的周长是___________．  33.（24-25·湖北期末）计算的值为__________． 34.（24-25·内蒙古期末）若，则的值为________． 35.（24-25·湖北期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论： 若，则二次三项式一定含有因式； 若，且，则； 若，则； 若则无论取何实数，总是正数． 其中正确结论的序号有__________． 三、解答题汇编 36.（25-26·吉林期中）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 37.（25-26·全国期中）因式分解： （1）； （2）； （3）． 38.（25-26·山东月考）已知，，求的值． 求证：不论取何实数，多项式的值都不会是正数． 39.（23-24·陕西月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成． （1）根据材料，把分解因式； （2）结合材料和材料，完成下面小题：①分解因式：； ②分解因式：． 40.（25-26·四川期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）解决问题：因式分解：； （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 41.（25-26·吉林期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为_______； （2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 42.（25-26·贵州月考）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． （1）上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； （2）分解因式：． （3）若分解，则需应用上述方法_____次，结果是_______．（为正整数） 43.（25-26·吉林期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为_______． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成块，其中块是边长为 的大正方形，块是边长为 的小正方形，块是长为 、宽为 的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为______． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为，求图②中空白部分图形的面积． 44.（25-26·贵州月考）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图中的、、三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用张卡片，张卡片，张卡片拼成如图的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图拼图，多项式因式分解的结果是______． 【自主探索】 （2）请利用图中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图），求剩余草皮面积． 45.（25-26·北京期中）阅读下列材料： 材料：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例因式分解： 解： 例因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）若，则的最小值为__________； （2）因式分解：_______； （3）若，求的最小值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $