第十八章《分式》期末基础知识复习、易错点避坑指南、备考策略及习题 2025-2026学年人教版数学八年级上册

八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第18章 分式 本章是初中代数的重要运算章节，承接《整式的乘法与因式分解》，聚焦分式的定义、基本性质、运算法则及分式方程的解法与应用，重点考查 “分式有意义的条件判断”“分式化简的规范性”“分式方程的求解与验根”“分式实际问题的建模能力” 四大核心能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破符号处理与验根的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：分式的核心概念与性质（运算的基石） 分式的概念与基本性质是分式运算、化简及解方程的基础，需熟练掌握定义本质、取值条件及性质应用，避免因概念模糊导致错误。 1. 分式的定义与取值条件 定义：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式（A 称为分子，B 称为分母）。 关键区别：分式与整式的核心区别是 分母含字母（整式分母为常数或无分母）。 取值条件（高频考点）： 条件类型 具体要求 分式有意义 分母不为 0（B≠0） 分式无意义 分母为 0（B=0） 分式值为 0 分子为 0 且分母不为 0（A=0 且 B≠0） 分式值为正 分子、分母同号（A＞0，B>0） 分式值为负 分子、分母异号（A＜0，B<0） 易错警示： 忽略分式值为 0 的双重条件（只看分子为 0，忘记分母不为 0）； 化简分式后再判断取值条件。 2. 分式的基本性质（通分与约分的依据） 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于 0 的整式，分式的值不变。 核心应用： 约分：分子分母同时除以它们的 公因式（系数的最大公约数 + 相同字母的最低次幂），化为最简分式（分子分母无公因式）； 通分：分子分母同时乘适当的整式，使几个分式的 分母化为相同的最简公分母（各分母系数的最小公倍数 + 所有字母的最高次幂）。 注意事项： 同乘（或除以）的整式不能为 0； 符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 3. 最简分式与最简公分母 最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 最简公分母：取各分母的 系数最小公倍数 与 所有字母（或因式）的最高次幂 的积。 二、核心突破：分式的运算法则（运算的核心流程） 分式运算需按 “先乘除后加减，有括号先算括号内” 的顺序进行，每类运算都需关注 “符号处理”“因式分解”“化简到底” 三个关键环节。 1. 分式的乘除运算（基础运算） （1）法则 乘法：  = ​（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）； 除法： = ​（除以一个分式等于乘它的倒数）； 乘方：​（n 为正整数，分子分母分别乘方）。 （2）运算步骤（四步法） 因式分解：将分子、分母分别因式分解（便于约分）； 符号处理：根据符号法则统一符号（通常使分母为正）； 约分化简：约去分子分母的公因式（直至最简）； 计算结果：分子乘分子，分母乘分母，结果化为最简分式或整式。 2. 分式的加减运算（重点运算） （1）法则 同分母分式加减： = ​（分母不变，分子相加减）； 异分母分式加减：： = （先通分，化为同分母分式再加减）。 （2）运算步骤（异分母为例，五步法） 找最简公分母：确定各分母的最简公分母； 通分：将每个分式化为以最简公分母为分母的分式； 分子加减：分子相加减（括号括起，避免符号错误）； 合并化简：合并分子中的同类项，约去公因式； 结果检验：确保结果为最简分式或整式。 （3）注意事项 异分母加减的核心是 “通分”，通分后分子是多项式时需加括号； 加减后分子为 0 时，结果为 0（需保证分母不为 0）。 3. 分式的混合运算（综合运算） （1）运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号内（小括号→中括号→大括号）； 同级运算从左到右依次进行。 （2）核心技巧 先因式分解再运算，减少计算量； 及时约分，避免分子分母过大； 符号处理贯穿全程，避免漏变号。 4. 整数指数幂（拓展运算） （1）核心性质（m、n 为整数，a=0，b=0） 性质类型 字母表示 同底数幂相乘 am⋅an=am+n 幂的乘方 (am)n=amn 积的乘方 (ab)n=anbn 同底数幂相除 am÷an=am−n=​ 分式乘方 ​ 负整数指数幂 a−n=​ （2）科学记数法 绝对值小于 1 的数：a×10−n（1≤<10，n 为原数左起第一个非零数字前 0 的个数）； 三、核心突破：分式方程（核心应用） 分式方程是分母含未知数的方程，解法的关键是 “去分母转化为整式方程”，且必须验根，避免增根。 1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 分式方程的解法（五步法） 去分母：方程两边同乘 最简公分母（各分母的最简公分母），转化为整式方程； 解整式方程：按整式方程（一元一次方程）的解法求解； 验根：将解得的未知数的值代入 最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的根；若为 0，则是增根（舍去）； 写结论：明确原方程的根（或无解）； 注意：增根是去分母时产生的，使原方程分母为 0 的根，必须舍去。 3. 分式方程的增根问题（易错考点） 增根的本质：使最简公分母为 0 的未知数的值； 常见题型：已知分式方程有增根，求参数值（步骤：① 求增根；② 代入整式方程求参数）。 四、核心技能：分式的化简求值与实际应用 1. 分式的化简求值（高频考点） 核心流程 化简：按分式运算规则化简代数式（因式分解→约分→通分→合并）； 取值：选择使原分式有意义的字母值（避免分母为 0、除数为 0）； 代入：将值代入化简后的式子计算； 检验：确保代入值符合取值条件，结果正确。 2. 分式方程的实际应用（综合考点） （1）常见实际场景与建模 场景类型 核心等量关系 工程问题 工作效率 = ；总效率 = 各效率之和 行程问题 速度 = ；相遇问题：路程和 = 总路程 增长率问题 最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率)ⁿ 浓度问题 浓度 =  （2）解题步骤（六步法） 审：分析题意，确定已知量、未知量及核心等量关系； 设：设未知数（直接设或间接设，注明单位）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：解分式方程（去分母→解整式方程→验根）； 验：检验解是否符合实际意义（如时间、速度为正）； 答：用完整语言回答问题（带单位）。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 概念理解错误 1. 分式有意义忽略分母不为 0；2. 分式值为 0 只看分子为 0；3. 混淆整式与分式。 1. 牢记 “分式有意义→分母≠0”，值为 0 需 “分子 = 0 且分母≠0”；2. 判断前不化简分式；3. 关键看分母是否含字母。 性质应用错误 1. 分式基本性质漏乘分子 / 分母的项；2. 符号法则应用错误（漏变符号）；3. 约分约去含字母的项（未保证该项不为 0）。 1. 同乘 / 除以整式时，分子分母整体乘除，每项都要乘；2. 符号改变 “任意两个”（分子、分母、分式本身）；3. 约分前先因式分解，只约公因式（保证公因式≠0）。 运算错误 1. 异分母加减未通分直接加减；2. 分子是多项式时加减漏加括号；3. 混合运算顺序错误；4. 乘方时分子分母漏乘方。 1. 异分母加减先通分，再加减；2. 分子多项式加减用括号括起，避免符号错误；3. 牢记 “先乘方，再乘除，最后加减”；4. 乘方时分子分母分别乘方。 分式方程错误 1. 去分母时漏乘常数项；2. 忘记验根；3. 增根不舍去；4. 实际应用未检验解的合理性。 1. 去分母时，方程两边所有项都乘最简公分母（包括常数项）；2. 分式方程必验根（代入最简公分母）；3. 增根（公分母 = 0）直接舍去；4. 解需符合实际（如时间 > 0、速度 > 0）。 化简求值错误 1. 代入使原分式无意义的值；2. 未化简直接代入导致计算复杂。 1. 代入前先列出原分式有意义的条件，选择符合条件的值；2. 严格遵循 “先化简，再求值”。 六、备考策略 夯实基础：概念与方法 “双过关” 默写分式的定义、取值条件、基本性质及运算法则，标注注意事项； 基础训练：每天练 8-10 道基础题（分式有意义 / 值为 0 判断、约分通分、简单乘除），重点关注符号与条件限制。 突破难点：运算与应用 “练熟练透” 运算训练：针对性练习分式混合运算、化简求值题，总结 “因式分解→符号处理→约分→计算” 的固定流程； 方程训练：练分式方程求解（含验根）、增根问题、实际应用题，熟练掌握 “去分母→解→验→答” 步骤； 错题整理：聚焦 “验根遗漏”“符号错误”“通分约分错误” 三类典型错题，标注错误原因，重做时重点检查。 规范步骤：避免 “跳步” 与 “粗心” 书写规范：分式运算按步骤书写（因式分解、约分、通分均标注），分式方程明确写出 “验根” 步骤； 检查习惯：运算后从 “符号、约分、分母不为 0” 三方面检查；方程解完后先验根，再检验实际意义。 分式定义要记牢，分母含字母是关键；有意义分母不为 0，值为 0 分子零且分母不为 0。基本性质用处大，同乘除零整式值不变；符号改变任意俩，公分母为正更方便。约分通分是基础，因式分解先做好；乘除先把倒数变，加减先通分再计算。混合运算按顺序，先乘方再乘除后加减；分式方程去分母，转化整式要验根。增根舍去不手软，实际应用合题意，步骤规范得分全。 一、选择题汇编 1.（25-26·北京期中）中国女药学家屠呦呦获诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为米，用科学记数法表示为（   ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【解答】解：用科学记数法表示为：． 故选：． 2.（25-26·山东月考）下列各式中，，，，是分式的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【解答】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 3.（25-26·四川月考）若式子有意义，则的取值范围是（   ） A.且 B. C.且 D. 【答案】D 【解析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是分别根据二次根式和分式的要求列出不等式求解． 式子有意义的条件是根号下非负且分母不为零，即需满足和．但由于时自动成立，因此取值范围为． 【解答】解：根式有意义， ； 分母； 又时，恒成立， 的取值范围是， 故选：． 4.（25-26·北京期中）若分式的值为零，则的值是（   ） A. B. C. D.或 【答案】C 【解析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为．这两个条件缺一不可． 根据分式值为零的条件可得且，即可求解． 【解答】解：分式的值为零， 且， 解得：． 故选：  5.（25-26·全国期中）下列各式中，变形正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项分析判断即可求解． 【解答】解：、，故该选项不正确，不符合题意；     、 ，分子、分母乘的数不是同一个，故该选项不正确，不符合题意；     、 ，由于，分子、分母同时除以，故该选项正确，符合题意；     、，当时成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 6.（25-26·全国期中）如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A.扩大到原来的倍 B.缩小到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的倍 【答案】A 【解析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【解答】解：， 分式的值扩大到原来的倍． 故选． 7.（25-26·吉林月考）分式，，的最简公分母是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依据最简公分母的含义和确定公分母的方法即可解答． 【解答】解：的分母是，的分母是，即；的分母是， 分式，，的最简公分母是,即为． 故应选： 8.（25-26·贵州月考）计算：（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查的是整数指数幂的运算，负整数指数幂的含义.先计算积的乘方，再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可. 【解答】解：， 故选： 9.（24-25·湖南期中）若，，，，则，，，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则． 根据整数指数幂的运算法则分别求出、、、，再进行比较即可求解． 【解答】， ， ， ， ， 即． 故选：．  10.（24-25·山东开学）下列关于分式的计算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了分式的运算，根据分式的加、减、乘法运算，分式的约分逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解答】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 11.（24-25·山西月考）计算的结果是（    ） A. B. C . D. 【答案】A 【解析】先计算括号内的运算，然后根据分式乘法的运算法则进行计算，即可得到答案． 【解答】解： ； 故选：． 12.（25-26·河北期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【解答】关于的分式方程的解是， 代入得， ． 故选：． 13.（25-26·全国期中）若关于的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出的值，求出之和即可． 【解答】解：解不等式，解得， 不等式组整理的， 由解集为，得到， 分式方程去分母得：，即， 解得：， 由为正整数解且，得到，， ， 故选：．  14.（25-26·山东月考）若关于的方程有增根，则的值是（    ） A. B. C.和 D. 【答案】D 【解析】 本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 分式方程的增根是使得最简公分母为的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【解答】 解：有增根， 的解为方程的增根， 为方程的增根， ， 将代入得， ， 故选． 15.（25-26·山东月考）若方程那么、的值 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由分式的加减运算法则可得： 【解答】解： ，解得： 故选．  16.（25-26·全国月考）已知，则分式的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了整式的运算，分式的化简，把代入计算即可求解，掌握分式的化简是解题的关键． 【解答】解：已知，则， 故选： ．  17.（24-25·山东期中）已知，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了分式的化简求值， 先通分，再根据分式的加减法法则计算，然后约分，最后整体代入求值即可． 【解答】解：原式 ． 因为， 所以． 故选：．  18.（25-26·广西月考）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查列分式方程，设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元，根据“若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍”可列出分式方程，理解题意并找到等量关系是解题的关键． 【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元， 依题意，得：． 故选：．  19.（25-26·全国期中）已知且，，，…，，若的值等于，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【解答】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：． 20.（25-26·全国期中）多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数的值共有个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将所有“变号绝对操作”的化简结果列举出来，可判断①和③；解不等式得到，利用分式的运算法则变形得到，结合为整数，可知是的因数，结合的范围确定符合条件的的值的个数可判断②，即可得出答案． 【解答】解：当时， 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为； 对与变号，则多项式为，化简结果为； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 当时， 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为； 当时，则多项式为，化简结果为或； 所有“变号绝对操作”的化简结果共有种不同的化简结果，故③正确； 原多项式， 只有种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样，故①错误； 多项式，即， 解得， ， 整数可取，，，，，， 为整数， 是的因数， 符合条件的整数的值为，，，，共有个，故②正确； 正确结论的个数为个， 故选：． 二、填空题汇编 21.（25-26·北京期中）当在实数范围内有意义，则的取值范围是______且________． 【答案】且 【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件，可得，解不等式即可得出答案． 【解答】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 且， 故答案为：且． 22.（24-25·山西期末）化简：____________． 【答案】 【解析】本题考查了约分．先将分子因式分解，再约分即可求解． 【解答】解：， 故答案为：． 23.（25-26·辽宁期中）若分式的值为零，则的值为___________． 【答案】 【解析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为，②分母的值不为，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【解答】解：分式的值为零，需分子， 解得或． 当时，分母； 当时，分母 ，分母为零，分式无意义． 故满足条件． 故答案为：． 24.（25-26·全国月考）计算的结果是________________． 【答案】 【解析】本题考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 将原式变形后利用分式的加减法则计算，然后约分即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 25.（24-25·辽宁开学）方程的解是______9_______ 【答案】 【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘，得 ， 解得 检验：把代入 原方程的解为：9 故答案为：9 26.（24-25·四川期末）使得和相等的的值为_______7_______． 【答案】 【解析】本题考查了解分式方程，负整数指数幂，掌握分式方程的解法，负整数指数幂的运算法则是解此题的关键； 根据题意得出分式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：和相等 方程两边同时乘，得 ， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的解． 故答案为：． 27.（24-25·江苏月考）化简____________． 【答案】 【解析】本题考查了幂的运算，单项式除以单项式，负整数指数幂，根据积的乘方以及同底数幂的除法进行计算即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 28.（25-26·全国期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______且________ 【答案】且 【解析】此题考查了解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤， 先解关于的分式方程，再根据关于的分式方程的解为负数，列出关于的不等式，求出的取值范围，然后再根据分式的分母不等于确定的取值范围即可． 【解答】解： 方程两边同乘，得， 整理，得， ， 关于的分式方程的解为负数， ， ， 分式方程有解， ，即， ， 解得且 且． 故答案为：且, 29.（25-26·山东期中）若关于的分式方程无解，则的取值是______或________． 【答案】或 【解析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【解答】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 关于的分式方程无解， 当，即时，原方程无解； 当，即时，则原方程有增根， 或，即或， 当时，，此时不满足题意；当时，， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 30.（24-25·福建期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是________________________． 【答案】 【解析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是，根据题意可得方程：； 故答案为： 31.（24-25·广西期中）已知，则的值是_____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了负整数指数幂及其逆运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据负整数指数幂的逆运算，可分别求出和的值，再根据负整数指数幂的运算法则将和代入求解即可． 【解答】解：，， ，， ，， ． 故答案为：．  32.（25-26·重庆期中）已知，则分式的值为____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【解答】解：， ，， ． ． 故答案为：． 33.（24-25·江苏期末）若的值是，则______________． 【答案】 【解析】先化简后，再解答即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ， 因为原式的值等于， 可得： ， 解得：＝ ， 故答案为： ．  34.（24-25·山东期中）计算的结果是________________． 【答案】 【解析】本题主要考查分式的混合运算，原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果． 【解答】解： ， 故答案为：． 35.（25-26·全国期中）若关于的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的值的和为 ____9______． 【答案】 【解析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到的不等式，进而可求得的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及的取值条件可得到的取值，进而求和即可解答． 【解答】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 原不等式组有解且仅有两个奇数解， 这两个奇数解为，， ， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， 原分式方程的解为非负整数，且为整数，解得且为奇数， ，即且为整数， 或或， 则， 故答案为：9 三、解答题汇编 36.（25-26·上海月考）计算： （1）； （2）． 【答案】 【解析】（1）先进行乘方，负整数指数幂，去绝对值，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式，乘方，零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可． 【解答】（1）解：原式； （2）原式． 37.（24-25·江苏期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】 【解析】（1）先计算分式的乘方，再计算乘法即可； （2）先把除法转化为乘法，同时分解因式，然后计算乘法即可； （3）根据异分母分式的运算法则计算即可； （4）先计算分式的除法，再计算分式的减法即可. 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：   38.（25-26·江苏期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】 无解 【解析】（1）利用解分式方程的一般步骤即可求解； （2）利用解分式方程的一般步骤即可求解； 熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【解答】（1）解：， 两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）两边同时乘得， ， 移项合并得：， 解得：， 经检验是原方程的增根， 原方程无解． 39.（25-26·江苏期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】先分解括号内的第一部分，再算括号内的加法，同时把除法变成乘法，约分后代入求出即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式 ．  40.（25-26·全国期中）先化简，再求值： ，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解 ． 【答案】；当时，原式 【解析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算，分式有意义的条件是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再根据分式有意义的条件确定所选的数，再代入求值即可． 【解答】解：原式 ， ，，， ，， 当时，原式． 41.（25-26·重庆期中）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】本题主要考查分式的化简求值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算及一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后得出不等式组的整数解，进而代值求解即可． 【解答】解： ； 解不等式组得：， 不等式组的整数解有， 由分式有意义可知：， 当时，原式． 42.（19-20·湖南月考）请阅读某同学解下面分式方程的具体过程. 解方程. 解：， ， ， ∴ .  ∴ . 把代入原方程检验知是原方程的解. 请你回答： （1）得到式的做法是____移项____；得到式的具体做法是__通分______；得到式的具体做法是__方程两边同除以______；得到式的根据是___分子相等，则分母相等_____. （2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误？答：____有错误____.错误的原因是___从第步出现错误,可能为零_____(若第一格回答“正确”的，此空不填). （3）给出正确答案(不要求重新解答，只需把你认为应改正的进行修改或加上即可). 【答案】移项,方程两边分别通分,方程两边同除以,分式值相等，分子相等，则分母相等 有错误．从第步出现错误,可能为零 ， ， ， 即， ∴ ，， 解得，， 检验：当时，， 当时，， 所以，都是原方程的解， 因此，原分式方程的解是，. 【解析】（1）首先设有名同学，由意得女学共搬砖块，同学搬的数+女同学搬的砖块由此可列方程，解得，再根据共人可算出女同学的人数根据男同砖总数算出每人搬砖数量． 【解答】（1）解：得到式的做法是移项；得到式的具体做法是方程两边通分； 得到式的具体做法是方程两边同除以；得到式的根据是分式值相等，分子相等，则分母相等. 故答案为：移项；方程两边分别通分；方程两边同除以；分式值相等，分子相等，则分母相等. （2）第步中，若为零，两边不能同除. 故答案为：有错误，从第步出现错误；可能为零. （3）， ， ， 即， ∴ ，， 解得，， 检验：当时，， 当时，， 所以，都是原方程的解， 因此，原分式方程的解是，.  43.（25-26·湖南期中）已知关于的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求的值． 【答案】 【解析】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 【解答】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． 分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ，解得， 若该分式方程无解，的值为 44.（24-25·四川期中）随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用，两种型号机器人搬运原料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运千克，且型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，，两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过小时需完成对千克原料的搬运，则型机器人至少要搬运多少千克原料？ 【答案】型机器人每小时搬运千克原料，型机器人每小时搬运千克原料 型机器人至少要搬运千克原料． 【解析】（1）设型机器人每小时搬运千克原料，则型机器人每小时搬运千克原料，根据工作时间工作总量工作效率，结合型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设型机器人要搬运千克原料，则型机器人要搬运千克原料，根据工作时间工作总量工作效率，结合工作时间不能超过小时，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：型机器人每小时搬运千克原料，型机器人每小时搬运千克原料； （2）设型机器人要搬运千克原料， 由题意得： 解得： 答：型机器人至少要搬运千克原料． 45.（24-25·江西期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的表示__①_____(填序号)，解法二所列方程中的表示____③___(填序号): ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，则至多购进甲种商品多少件? 【答案】①，③ 甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元 至多购进甲种商品件 【解析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案． 【解答】（1）解：由甲商品数量乙商品数量，可得：中的表示甲种商品每件进价元， 由甲商品进价乙商品进价可得：中的表示甲种商品购进件； 故答案为：①，③； （2）解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意得： ， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元； （3）解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品件． 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第18章 分式 本章是初中代数的重要运算章节，承接《整式的乘法与因式分解》，聚焦分式的定义、基本性质、运算法则及分式方程的解法与应用，重点考查 “分式有意义的条件判断”“分式化简的规范性”“分式方程的求解与验根”“分式实际问题的建模能力” 四大核心能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破符号处理与验根的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：分式的核心概念与性质（运算的基石） 分式的概念与基本性质是分式运算、化简及解方程的基础，需熟练掌握定义本质、取值条件及性质应用，避免因概念模糊导致错误。 1. 分式的定义与取值条件 定义：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式（A 称为分子，B 称为分母）。 关键区别：分式与整式的核心区别是 分母含字母（整式分母为常数或无分母）。 取值条件（高频考点）： 条件类型 具体要求 分式有意义 分母不为 0（B≠0） 分式无意义 分母为 0（B=0） 分式值为 0 分子为 0 且分母不为 0（A=0 且 B≠0） 分式值为正 分子、分母同号（A＞0，B>0） 分式值为负 分子、分母异号（A＜0，B<0） 易错警示： 忽略分式值为 0 的双重条件（只看分子为 0，忘记分母不为 0）； 化简分式后再判断取值条件。 2. 分式的基本性质（通分与约分的依据） 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于 0 的整式，分式的值不变。 核心应用： 约分：分子分母同时除以它们的 公因式（系数的最大公约数 + 相同字母的最低次幂），化为最简分式（分子分母无公因式）； 通分：分子分母同时乘适当的整式，使几个分式的 分母化为相同的最简公分母（各分母系数的最小公倍数 + 所有字母的最高次幂）。 注意事项： 同乘（或除以）的整式不能为 0； 符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 3. 最简分式与最简公分母 最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 最简公分母：取各分母的 系数最小公倍数 与 所有字母（或因式）的最高次幂 的积。 二、核心突破：分式的运算法则（运算的核心流程） 分式运算需按 “先乘除后加减，有括号先算括号内” 的顺序进行，每类运算都需关注 “符号处理”“因式分解”“化简到底” 三个关键环节。 1. 分式的乘除运算（基础运算） （1）法则 乘法：  = ​（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）； 除法： = ​（除以一个分式等于乘它的倒数）； 乘方：​（n 为正整数，分子分母分别乘方）。 （2）运算步骤（四步法） 因式分解：将分子、分母分别因式分解（便于约分）； 符号处理：根据符号法则统一符号（通常使分母为正）； 约分化简：约去分子分母的公因式（直至最简）； 计算结果：分子乘分子，分母乘分母，结果化为最简分式或整式。 2. 分式的加减运算（重点运算） （1）法则 同分母分式加减： = ​（分母不变，分子相加减）； 异分母分式加减：： = （先通分，化为同分母分式再加减）。 （2）运算步骤（异分母为例，五步法） 找最简公分母：确定各分母的最简公分母； 通分：将每个分式化为以最简公分母为分母的分式； 分子加减：分子相加减（括号括起，避免符号错误）； 合并化简：合并分子中的同类项，约去公因式； 结果检验：确保结果为最简分式或整式。 （3）注意事项 异分母加减的核心是 “通分”，通分后分子是多项式时需加括号； 加减后分子为 0 时，结果为 0（需保证分母不为 0）。 3. 分式的混合运算（综合运算） （1）运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号内（小括号→中括号→大括号）； 同级运算从左到右依次进行。 （2）核心技巧 先因式分解再运算，减少计算量； 及时约分，避免分子分母过大； 符号处理贯穿全程，避免漏变号。 4. 整数指数幂（拓展运算） （1）核心性质（m、n 为整数，a=0，b=0） 性质类型 字母表示 同底数幂相乘 am⋅an=am+n 幂的乘方 (am)n=amn 积的乘方 (ab)n=anbn 同底数幂相除 am÷an=am−n=​ 分式乘方 ​ 负整数指数幂 a−n=​ （2）科学记数法 绝对值小于 1 的数：a×10−n（1≤<10，n 为原数左起第一个非零数字前 0 的个数）； 三、核心突破：分式方程（核心应用） 分式方程是分母含未知数的方程，解法的关键是 “去分母转化为整式方程”，且必须验根，避免增根。 1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 分式方程的解法（五步法） 去分母：方程两边同乘 最简公分母（各分母的最简公分母），转化为整式方程； 解整式方程：按整式方程（一元一次方程）的解法求解； 验根：将解得的未知数的值代入 最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的根；若为 0，则是增根（舍去）； 写结论：明确原方程的根（或无解）； 注意：增根是去分母时产生的，使原方程分母为 0 的根，必须舍去。 3. 分式方程的增根问题（易错考点） 增根的本质：使最简公分母为 0 的未知数的值； 常见题型：已知分式方程有增根，求参数值（步骤：① 求增根；② 代入整式方程求参数）。 四、核心技能：分式的化简求值与实际应用 1. 分式的化简求值（高频考点） 核心流程 化简：按分式运算规则化简代数式（因式分解→约分→通分→合并）； 取值：选择使原分式有意义的字母值（避免分母为 0、除数为 0）； 代入：将值代入化简后的式子计算； 检验：确保代入值符合取值条件，结果正确。 2. 分式方程的实际应用（综合考点） （1）常见实际场景与建模 场景类型 核心等量关系 工程问题 工作效率 = ；总效率 = 各效率之和 行程问题 速度 = ；相遇问题：路程和 = 总路程 增长率问题 最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率)ⁿ 浓度问题 浓度 =  （2）解题步骤（六步法） 审：分析题意，确定已知量、未知量及核心等量关系； 设：设未知数（直接设或间接设，注明单位）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：解分式方程（去分母→解整式方程→验根）； 验：检验解是否符合实际意义（如时间、速度为正）； 答：用完整语言回答问题（带单位）。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 概念理解错误 1. 分式有意义忽略分母不为 0；2. 分式值为 0 只看分子为 0；3. 混淆整式与分式。 1. 牢记 “分式有意义→分母≠0”，值为 0 需 “分子 = 0 且分母≠0”；2. 判断前不化简分式；3. 关键看分母是否含字母。 性质应用错误 1. 分式基本性质漏乘分子 / 分母的项；2. 符号法则应用错误（漏变符号）；3. 约分约去含字母的项（未保证该项不为 0）。 1. 同乘 / 除以整式时，分子分母整体乘除，每项都要乘；2. 符号改变 “任意两个”（分子、分母、分式本身）；3. 约分前先因式分解，只约公因式（保证公因式≠0）。 运算错误 1. 异分母加减未通分直接加减；2. 分子是多项式时加减漏加括号；3. 混合运算顺序错误；4. 乘方时分子分母漏乘方。 1. 异分母加减先通分，再加减；2. 分子多项式加减用括号括起，避免符号错误；3. 牢记 “先乘方，再乘除，最后加减”；4. 乘方时分子分母分别乘方。 分式方程错误 1. 去分母时漏乘常数项；2. 忘记验根；3. 增根不舍去；4. 实际应用未检验解的合理性。 1. 去分母时，方程两边所有项都乘最简公分母（包括常数项）；2. 分式方程必验根（代入最简公分母）；3. 增根（公分母 = 0）直接舍去；4. 解需符合实际（如时间 > 0、速度 > 0）。 化简求值错误 1. 代入使原分式无意义的值；2. 未化简直接代入导致计算复杂。 1. 代入前先列出原分式有意义的条件，选择符合条件的值；2. 严格遵循 “先化简，再求值”。 六、备考策略 夯实基础：概念与方法 “双过关” 默写分式的定义、取值条件、基本性质及运算法则，标注注意事项； 基础训练：每天练 8-10 道基础题（分式有意义 / 值为 0 判断、约分通分、简单乘除），重点关注符号与条件限制。 突破难点：运算与应用 “练熟练透” 运算训练：针对性练习分式混合运算、化简求值题，总结 “因式分解→符号处理→约分→计算” 的固定流程； 方程训练：练分式方程求解（含验根）、增根问题、实际应用题，熟练掌握 “去分母→解→验→答” 步骤； 错题整理：聚焦 “验根遗漏”“符号错误”“通分约分错误” 三类典型错题，标注错误原因，重做时重点检查。 规范步骤：避免 “跳步” 与 “粗心” 书写规范：分式运算按步骤书写（因式分解、约分、通分均标注），分式方程明确写出 “验根” 步骤； 检查习惯：运算后从 “符号、约分、分母不为 0” 三方面检查；方程解完后先验根，再检验实际意义。 分式定义要记牢，分母含字母是关键；有意义分母不为 0，值为 0 分子零且分母不为 0。基本性质用处大，同乘除零整式值不变；符号改变任意俩，公分母为正更方便。约分通分是基础，因式分解先做好；乘除先把倒数变，加减先通分再计算。混合运算按顺序，先乘方再乘除后加减；分式方程去分母，转化整式要验根。增根舍去不手软，实际应用合题意，步骤规范得分全。 一、选择题汇编 1.（25-26·北京期中）中国女药学家屠呦呦获诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为米，用科学记数法表示为（   ）． A. B. C. D. 2.（25-26·山东月考）下列各式中，，，，是分式的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 3.（25-26·四川月考）若式子有意义，则的取值范围是（   ） A.且 B. C.且 D. 4.（25-26·北京期中）若分式的值为零，则的值是（   ） A. B. C. D.或 5.（25-26·全国期中）下列各式中，变形正确的是（    ） A. B. C. D. 6.（25-26·全国期中）如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A.扩大到原来的倍 B.缩小到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的倍 7.（25-26·吉林月考）分式，，的最简公分母是（    ） A. B. C. D. 8.（25-26·贵州月考）计算：（    ） A. B. C. D. 9.（24-25·湖南期中）若，，，，则，，，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 10.（24-25·山东开学）下列关于分式的计算正确的是（   ） A. B. C. D. 11.（24-25·山西月考）计算的结果是（    ） A. B. C . D. 12.（25-26·河北期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（    ） A. B. C. D. 13.（25-26·全国期中）若关于的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是（    ） A. B. C. D. 14.（25-26·山东月考）若关于的方程有增根，则的值是（    ） A. B. C.和 D. 15.（25-26·山东月考）若方程那么、的值 A. B. C. D.  16.（25-26·全国月考）已知，则分式的值为（   ） A. B. C. D. 17.（24-25·山东期中）已知，则的值为（   ） A. B. C. D. 18.（25-26·广西月考）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（   ） A. B. C. D. 19.（25-26·全国期中）已知且，，，…，，若的值等于，则的值为（    ） A. B. C. D. 20.（25-26·全国期中）多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数的值共有个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A. B. C. D. 二、填空题汇编 21.（25-26·北京期中）当在实数范围内有意义，则的取值范围是______________． 22.（24-25·山西期末）化简：___________． 23.（25-26·辽宁期中）若分式的值为零，则的值为__________． 24.（25-26·全国月考）计算的结果是_____________． 25.（24-25·辽宁开学）方程的解是__________ 26.（24-25·四川期末）使得和相等的的值为__________． 27.（24-25·江苏月考）化简_________． 28.（25-26·全国期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是___________ 29.（25-26·山东期中）若关于的分式方程无解，则的取值是_____________． 30.（24-25·福建期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是_____________________． 31.（24-25·广西期中）已知，则的值是__________． 32.（25-26·重庆期中）已知，则分式的值为__________． 33.（24-25·江苏期末）若的值是，则____________． 34.（24-25·山东期中）计算的结果是_____________． 35.（25-26·全国期中）若关于的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的值的和为 _________． 三、解答题汇编 36.（25-26·上海月考）计算： （1）； （2）． 37.（24-25·江苏期中）计算： （1） （2） （3） （4） 38.（25-26·江苏期中）解方程： （1）； （2）． 39.（25-26·江苏期中）先化简，再求值：，其中． 40.（25-26·全国期中）先化简，再求值： ，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解 ． 41.（25-26·重庆期中）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 42.（19-20·湖南月考）请阅读某同学解下面分式方程的具体过程. 解方程. 解：， ， ， ∴ .  ∴ . 把代入原方程检验知是原方程的解. 请你回答： （1）得到式的做法是________；得到式的具体做法是_______；得到式的具体做法是________；得到式的根据是________. （2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误？答：_______.错误的原因是________(若第一格回答“正确”的，此空不填). （3）给出正确答案(不要求重新解答，只需把你认为应改正的进行修改或加上即可). 43.（25-26·湖南期中）已知关于的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求的值． 44.（24-25·四川期中）随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用，两种型号机器人搬运原料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运千克，且型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，，两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过小时需完成对千克原料的搬运，则型机器人至少要搬运多少千克原料？ 45.（24-25·江西期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的表示__①_____(填序号)，解法二所列方程中的表示____③___(填序号): ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，则至多购进甲种商品多少件? 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $