期末冲刺专题11 分式（高频考点归纳+解析+单元检测）2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题11 分式（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版） 考点01 分式的识别 考点02 分式有意义的条件 考点03 分式值为0的条件 考点04 最简分式 考点05分式的运算 考点06分式的化简求值 考点07负整式指数幂 考点08科学记数法 考点09解分式方程 考点10分式方程的解的情况问题 考点11分式方程无解问题 考点12实际问题与分式方程 考点01 分式的识别 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】A、，分母为，含有字母，符合分式定义，是分式； B、，分母为常数，不含字母，属于整式中的系数形式，不是分式； C、，分母为常数（圆周率），不含字母，不是分式； D、，分母为常数，不含字母，不是分式． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）代数式中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式的识别，涉及分式的定义：分母中含有字母的代数式，熟记分式的定义是解决问题的关键．由分式的特点，逐项验证各个代数式的分母是否含有字母即可得到答案． 【详解】解：代数式中，分母中均是数，不含字母，则其中分式只有，共1个， 故选：A． 3．（24-25八年级上·海南海口·期末）下列各式中不属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，，分母中含有字母，因此是分式． 的分母中均不含有字母，因此是整式，而不是分式． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．需逐一判断各选项分母是否含字母． 【详解】解： 选项A：的分母为，含字母，符合分式定义． 选项B：的分母为数字2，不含字母，属于分数而非分式． 选项C：的分母为数字3，不含字母，是整式． 选项D：的分母为数字7，不含字母，可化为，属于整式． 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期末）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，而是整式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； B．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； C．的分母含字母，是分式，故符合题意； D．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； 故选C． 6．（24-25八年级上·江苏常州·期末）下列各式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键． 形如，A、B都是整式，B中有字母的式子叫分式，根据定义判断． 【详解】解：是整式，是分式，是分式，是分式，共3个， 故选：C． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的概念，分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对，就能判断出有几个代数式是分式． 【详解】解：分母含有变量x，是分式； 分母为常数3，不含变量，不是分式； 分母为，含有变量b，是分式； 分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式； 分母为，含有变量x，是分式． 因此，是分式的有，，，共3个． 故选：C． 考点02 分式有意义的条件 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列分式中，有意义的条件为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：A、要使分式有意义，则，即，故符合题意； B、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； C、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； D、要使分式有意义，则，即，故不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西吕梁期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故选：A． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题时注意分式的分母不等于零，否则无意义．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足， 解得， 故选：C 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母必须不等于零． 解， 得． 因此，的取值范围是， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．根据分式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】解：分式有意义， ，解得：， 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）若分式的值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为；（2）分母不为．这两个条件缺一不可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得 故选：B． 7．（24-25八年级上·山西太原·月考）若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为零成为解题的关键． 根据分式无意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：A． 考点03 分式值为0的条件 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京·期末）已知分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．0 C．1或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件可得且，再解出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D 2．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，当分式的值为0时，分子必须为0且分母不为0．将代入分式，解方程并验证分母是否非零． 【详解】解：当时，原分式化为 由分式的值为0，则分子必须为0，解得，即或． 同时，分母不能为0．当时，分母，符合条件；当时，分母，分式无意义，故排除． 因此，的值为2， 故选A． 3．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的概念及性质，根据题意得到且，计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为零，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分式的分母不为零且分子为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：． 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列分式的取值结果可以是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0成为解题的关键． 根据分式的值为0的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．分子恒为1，不可能为0，不符合题意； B．（），当分子时，分母，分式无意义，不符合题意； C．，当分子时，分母，分式值为，符合条件； D．．当分子（即）时，分母也为0，分式无意义，不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）要使分式的值为0，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，即分子为零，而分母不为零，熟练掌握和运用分式有意义的条件和分式的值为零的条件是解决本题的关键．根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，关键是注意分式的分母不能为零．当且时，此分式的值为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得，． 故答案为： 考点04 最简分式 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化成最简分式． 找出分子分母的最大公因式即可． 【详解】解：分式存在最大公因式， ∴应将其分子分母同时约去的公因式为， 故选：C． 3．（22-23八年级上·山东滨州·期末）下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最简分式的定义，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； B、，分子与分母中不含相同因式，故是最简分式； C、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； D、的分子、分母中含有相同因式，故不是最简分式； 故选B． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键． 5．（24-25八年级上·福建宁德·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式；根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式，据此解答即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、不能化简，是最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据题意可得，再整理可得答案. 【详解】解：将分式中x，y都扩大3倍，得， 所以分式的值扩大3倍. 故选：A. 7．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的同时扩大为原来的2倍可得，即该分式的值不变， 故选：A． 考点05分式的运算 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题； （2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题． 【详解】（1）小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误； （2） ． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式，最后代入求值即可． 【详解】解： 当时，． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将变形为，，将化简得，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，包括分式的运算、因式分解以及代数式的代入求值，熟练掌握分式的基本运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 首先对代数式进行化简，这包括对分子进行因式分解，将除法转化为乘法，并进行约分，化简后将代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先确定符合，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后通分后进行同分母的减法运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）小韩同学计算时，是这样做的： 原式……………………    第一步 ……………………    第二步 …………………………        第三步 ．………………………………        第四步 (1)小韩同学的做法从第_________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二； (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （）根据题干中的计算步骤进行判断即可； （）利用分式的加减法则计算即可． 【详解】（1）解：由题干中的计算步骤可得小韩同学的做法从第二步开始出现漏掉分母， 故答案为：二； （2）解：原式 ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)二；漏掉了分母 (2) 【分析】（1）从第二步开始出现错误，错误的原因是通分漏了分母． （2）根据分式的运算，化简代入求值计算即可， 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第二步出现错误，漏了分母， 故答案为：二；漏掉了分母． （2）解：                 ， 由 得 故原式． 考点06分式的化简求值 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，根据得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1)二；去括号没有变号 (2)；当时，原式的值为（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的化简求值， （1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可； 解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【详解】（1）解：在第二步出现错误，错误的原因是去括号没有变号， 故答案为：二；去括号没有变号； （2） ， ∵（为整数），且、、， 当时，原式； 当时，原式． 3．（24-25·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再化除为乘并约分，最后代入x的值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）利用分式的混合运算法则，首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果． 【详解】解： ； 当时，原式． 6．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中x是从，0，1，2中选取一个合适的数． 【答案】(1)，3； (2)，时为2． 【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将，代入计算即可得解； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时； 原式； （2）解：原式 ， 由分式有意义的条件得，，， ∴，， 取得，原式． 【点睛】本题主要考查整式和分式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练掌握整式、分式的混合运算顺序和运算法则． 考点07负整式指数幂 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，根据平方根的定义解方程； （1）根据二次根式的性质以及负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解：（1） （2） 移项得， ∴ ∴， 解得：或 2．（24-25八年级上·广东清远·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，绝对值，再计算乘法，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；利用零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的定义计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 5．（24-25八年级上·北京海淀·期末）计算：． 【答案】2 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂解答即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、零次幂、负整数次幂等知识点，灵活掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据算术平方根、立方根、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先根据算术平方根、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂、有理数加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【详解】解： 考点08科学记数法 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）西瓜是消暑解渴的好帮手．西瓜中的番茄红素含量比番茄还高．番茄红素是食物中的天然色素，属于类胡萝卜素的一种，具有很强的抗氧化能力．西瓜中的番茄红素更容易被人体吸收，鲜食即可被人体直接吸收，其有效性比番茄高．经检测一个红瓤西瓜的番茄红素含量是克．其中克用科学记数法表示为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】题目主要考查利用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握表示方法是解题关键． 利用科学记数法表示绝对值小于1的数时，形式为，n为负数，确定n时，由从左往右第一个不为零的数字前面的零的个数决定，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）中国“超级显微镜（散裂中子源）”二期工程正在建设，中子穿透性强，是科学家探索微观世界的“理想探针”．中子的直径大约是0.00000169纳米，数据0.00000169用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东清远·期末）总悬浮颗粒物是指漂浮在空气中的固态和液态颗粒物的总称，通常把粒径在10微米以下的颗粒物称为可吸入颗粒物，又称，某种粉尘的直径约为0.000006米，数据0.000006用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．正确地确定的值即可． 【详解】解：． 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京平谷·期末）2024年，在某大学的实验室里，一束直径不足头发丝千分之一的激光正在创造历史．该校团队成功研制出模式体积仅为的奇点介电纳米激光器，首次将光场压缩至原子尺度，突破了困扰光学领域百余年的衍射极限．这一突破不仅为超分辨成像技术带来革命，更在光通信、量子计算等领域埋下了创新种子．将0.0005用科学记数法表示应为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：A． 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据1纳米米，将纳米换算成米，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1纳米米， ∴纳米米米． 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）碳纳米管是一种前沿纳米材料，某种碳纳米管的直径是12纳米．已知1纳米米，那么这种碳纳米管的直径用科学记数法可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，将12纳米转换为米，并用科学记数法表示．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：12纳米米米． 故选：B 7．（24-25八年级上·山东烟台·期末）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（    ）m ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 考点09解分式方程 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程，请你认真阅读并完成相应任务： 习题1：计算：． 解：原式        ……第一步 ……第二步                         ……第三步                            ……第四步 习题2：解方程： 解：方程两边同乘，得         ……第一步               ……第二步                          ……第三步 检验：当时，    ……第四步 ∴原方程得解是．         ……第五步 任务： (1)习题1中第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是______，习题2中第一步变形的依据是______； (2)习题1的解答过程是从第______步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第______步开始出现错误的； (3)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)平方差公式；等式的基本性质2 (2)第二步；第二步 (3)见详解 【分析】（1）习题1中，第一步将分母分解因式为：，这是利用因式分解的平方差公式；习题2中，第一步去分母，方程两边各项都乘以，这是利用等式性质2； （2）习题1中，第二步通分结果为：，而题目第二步错误地给整个分式乘公分母化为整式；习题2中，​第二步错误：化简时未因式分解约分：错误写法：(实际应为正确步骤：； （3）习题1，利用平方差公式将分式的分母因式分解，根据分式的基本性质将分式通分，最后按同分母分式的加减法进行运算；习题2，根据等式的性质2，将方程两边乘去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】（1）解：习题1中，第一步进行因式分解变形时应用了乘法的平方差公式；习题2中第一步变形的依据是等式的基本性质2（等式两边同时乘以同一个不为零的整式，等式仍然成立） （2）解：习题1的解答过程是从第二步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第二步开始出现错误的； （3）解：习题1正确过程如下： 原式 ， ​， ， ． 习题2正确过程如下： 去分母，得 ， 去括号，得， 移项合并同类项，得，                      检验：当时，    ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查了分式运算和分式方程的解法，解题的关键是掌握分式通分的步骤、平方差公式、分式方程的检验方法，需要特别注意通分时的符号变化和分母不为零的条件． 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 移项、合并同类项得， 把系数化为1，得 ， 检验： 时，， 所以，是原方程的解． 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）将分式方程转化成整式方程进行求解，并检验即可； （2）将分式方程转化成整式方程进行求解，并检验即可． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，，故不是该方程的解，为方程的增根， ∴该方程无解； （2）解： ， 检验：当时，，故是该方程的解， ∴该方程的解为． 4．（24-25八年级上·广东清远·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验． （1）先两边同时乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，注意检验即可得； （2）先两边同时乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，注意检验即可得． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的增根， 故方程无解． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先将分式方程去分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程， 根据去分母，解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解：， 两边同乘，得． 解这个一元一次方程，得． 检验：当时，， 所以是原方程的解． 考点10分式方程的解的情况问题 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）解分式方程时产生了增根，这个增根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，掌握使得最简公分母为0的根叫做增根是解题的关键． 先得到最简公分母为，则，即可求出增根． 【详解】解：∵方程的最简公分母为， ∴当，即时，产生了增根， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）若关于的分式方程的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握分式方程的运算是解题关键． 去分母，将分式方程转化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解： 整理，得：， 去分母，得：， 解得：， 把代入，得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，结合已知条件，得到k所满足的条件． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 关于x的方程的解是正数， ∴且，， 且 故答案为：且 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，先将分式化为整式，然后解方程得到用m表示的分式方程的解，然后根据解为正整数讨论可得到m的值，注意分式的分母不能为0． 【详解】解：，， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，2，3，6， 整数m的值为，，，1， ，即， ， 即， 整数m的值为，，， 故答案为：，，． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 由于解为非正数，即， 所以， 即， 又因为分母且，即且， 当时，，解得，但此时，不符合非正数条件； 当时，，解得，但此时分母，分式无意义， 因此需排除， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 三、解答题 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 考点11分式方程无解问题 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 2．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A．3 B．2 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，接着根据分式方程无解的情况有两种：1. 化简后的整式方程无解；2. 解为增根（使分母为零）．需分别分析这两种情况对应的m值．注意分两种情况分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 两边同乘 （注意 ），得： ， ∴， ∴， 解得 ． 情况一：整式方程无解 当 （即 ）时，方程变为 ，显然无解，此时 ； 情况二：解为增根 若解 是增根（即 ），代入得： ， ， ， 此时解 使分母为零，原方程无解，此时 ． 综上，当 或 时，方程无解． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解方程无解的含义、掌握求解的方法是关键； 分式方程去分母化为整式方程，根据方程无解可得x的值，代入整式方程即可求出答案． 【详解】解：去分母，得， ∵原分式方程无解， ∴当方程产生增根时方程无解， 即当时方程无解， 代入上述整式方程可得； 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的增根，将原方程去分母得，将其整理后再把增根代入解得的值即可．解题的关键是掌握依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：①先将分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：在方程两边同时乘，得：， 整理得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入，得：， 解得：， 即的值是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查分式方程无解问题．分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程产生了增根两种情况分别进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得，， 当，即是原方程的增根， 把代入， 解得， 故答案为：1． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于x的方程无解，则a的值为 ． 【答案】3或4 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键，将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中含x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 【详解】解：原方程去分母，得：， 当，即时，原分式方程无解， 解得：， 当时，原分式方程无解， 综上，的值为3或4， 故答案为：3或4． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若分式方程无解，则 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件．先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，得到，再根据分式方程无解分两种情况讨论即可． 【详解】解：， 得， 即， 当，即时，方程无解； 当时，， 解得：， ∴若分式方程无解，则或， 故答案为：或． 考点12实际问题与分式方程 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）无人机快递拉开了我国低空经济的大幕，无人机快递可实现全天候工作，且不受交通道路拥堵的影响．已知从物流集散地到某收货点，无人机的飞行距离为，人工运输距离为，无人机送货时间比人工送货时间少用，无人机送货的平均速度是人工送货平均速度的2倍．求人工送货的平均速度． 【答案】人工送货的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，设人工送货的平均速度为，则无人机速度为，根据题意列出分式方程求出结果并检验即可． 【详解】解：设人工送货的平均速度为，则无人机速度为， 根据题意得：， 解得： 验证：当时，符合题意， 答：人工送货的平均速度为． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到月日全球票房超亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园的路程为千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为，已知高速公路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过小时后到达目的地．求汽车在高速路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价元，敖丙手办单价元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 【答案】(1)千米时； (2)个． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出分式方程和不等式是解题的关键． （）设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设小明购买了个哪吒手办，根据题意得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合实际， （千米时） 答：汽车在高速公路路段行驶的平均速度为千米时； （2）解：设小明购买了个哪吒手办， 根据题意，得， 解得：， ∵为正整数且取最大值， ∴， 答：小明最多能买个哪吒手办． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (2)他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，分式方程的工程问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1)设1班每小时种植，则2班每小时种植．根据“1班所需时间是2班的倍”，列出方程求解即可； (2) 先计算两班已工作1小时分钟后的剩余工作量，再计算2班完成本班剩余任务所需时间，之后两班合作完成1班剩余任务．判断合作时间是否能在乘车前(1小时内)完成． 【详解】（1）解：设1班每小时种植，则2班每小时种植．​ 由题意，1班完成任务时间为小时，2班为小时， 解得∶． 2班每小时种植 所以1班每小时种植，2班每小时种植． （2）计算两班能否在乘车前完成任务．​ 两班已制作1小时分钟=​小时． 此时1班完成， 剩余． 2班完成， 剩余． 此后2班需先完成本班剩余，用时​小时（即分钟）， 在2班完成本班剩余任务的分钟内，1班完成了． 此时距集中乘车还剩1小时−分钟=分钟=小时． 两班合作每小时可完成． 在最后的小时内，可共同完成． 但此时1班仍有未完成，而合作只能完成， 因此无法在乘车前完成任务． 答案：不能，因为1班还剩未完成，而两班合作在剩余时间内只能完成． 4．（24-25·江苏南京·期末）机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物． 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键． 设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，再根据题意列出分式方程求解并检验即可解答． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：，解得：， 经检验：为分式方程的解， 则． 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克． 5．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）为提高学生的身体素质，学校准备购买甲、乙两种运动器材共600件，且甲种运动器材的数量是乙种运动器材的2倍 (1)求学校计划购买甲、乙两种运动器材各多少件？ (2)已知甲种运动器材的单价比乙种运动器材的单价少3元，用2000元购买甲种运动器材和用2300元购买乙种运动器材的数量相同，求学校购买这600件运动器材共花费多少元？ 【答案】(1)购买甲400件，购买乙200件 (2)学校购买这600件运动器材共花费12600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）设购买甲m件，购买乙n件，根据购买甲、乙两种运动器材共600件，且甲种运动器材的数量是乙种运动器材的2倍列方程组求解即可； （2）设甲种运动器材的单价为x元，则乙种运动器材的单价为元，根据“用2000元购买甲种运动器材和用2300元购买乙种运动器材的数量相同”，列出方程即可求解． 【详解】（1）设购买甲m件，购买乙n件，由题意，得 解得 所以购买甲400件，购买乙200件； （2）设甲种运动器材的单价为x元，则乙种运动器材的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 元． 答：学校购买这600件运动器材共花费12600元． 6．（24-25·江苏盐城期末）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪新能源充电桩的单价为2500元，双枪新能源充电桩的单价为3750元 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：单枪新能源充电桩的单价为2500元，双枪新能源充电桩的单价为3750元． 7．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 一、单选题（每小题分，共30分） 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·山西临汾·期末）近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（    ）． A．每天多完成100m，结果提前2天完成 B．每天少完成100m，结果推迟2天完成 C．每天多完成100m，结果推迟2天完成 D．每天少完成100m，结果提前2天完成 【答案】A 【分析】本题主要查了分式方程的应用．根据方程 ， 表示原计划天数， 表示实际天数，方程表明原计划天数比实际天数多2天，即实际提前2天完成，且实际每天完成量比原计划多100m． 【详解】解：∵ 原计划每天完成米，总路程4000m， ∴ 原计划天数为天． ∵ 实际每天完成m， ∴ 实际天数为天． ∵ 方程表示原计划天数减实际天数等于2， ∴ 实际比原计划提前2天完成，且实际每天多完成100m． ∴ 文中省略的内容为“每天多完成100m，结果提前2天完成”． 故选A 4．（25-26七年级上·上海·期中）不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分析各选项分母是否可能为零即可解答． 【详解】解：由分式有意义的条件是分母不为零， A、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； B、分母，始终不为零，分式总有意义，符合题意； C、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； D、分母，当时，，分式无意义，不符合题意． 故选：B． 5．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）用科学记数法表示结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解： 故选：B． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 7．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，解分式方程 ，得到 ，但需满足分母不为零，即 ，从而 ，然后根据各选项条件判断． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 当 时，方程无解， 对于选项A：当 时，，方程有解 ，且 ，故解为负数，A正确，符合题意； 对于选项B：当 时方程无解，故B错误，不符合题意； 对于选项C：当 时，若 无解，故解不一定为正数，C错误，不符合题意； 对于选项D：以上A正确，故不符合题意； 故选：A． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 9．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 10．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（25-26八年级上·全国·期末）华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 13．（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，先化成同分母，再根据同分母的分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·期末）若关于x的分式方程的解是2，则a的值为 ；若该分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程：①将代入方程即可求出a值；②将分式方程去分母化简，分情况讨论即可． 【详解】解：把代入方程，得，解得； 去分母，得：，移项、合并同类项，得：． 分两种情况： 当，即时，不成立，方程无解； 当，即时，分式方程无解，则方程有增根，即，即， 把代入整式方程得：， 解得， ∴； 故答案为：． 15．（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 【答案】或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 三、解答题（共8小题，75分） 16．（10分）（23-24八年级下·四川眉山·期中）（1）计算： （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，解分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将小括号里的通分，再作除法； （2）先去分母，化为整式方程求解，再验根． 【详解】（1）解： ； （2）去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得：， 经检验使分母等于0， 所以是增根，原分式方程无解． 17．（8分）（24-25八年级下·四川内江·期末）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选出一个合适的整数a的值，代入求值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从0，1，2中选出使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； （2） ， 对于，则或1或2， 当或1时，原分式无意义， ∴，则原式． 18．（8分）（25-26八年级上·湖南娄底·期中）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【答案】(1)A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； (2)该超市最多购进B型文具袋个； 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解； 【详解】（1）解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； （2）解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 19．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ (1)该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 【答案】(1)② (2)过程见解析；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． （1）分式加减法中通分化为同分母分式进行加减，所以第②步中去括号错误； （2）根据分式混合运算的法则计算即可，再根据分式有意义的条件选取的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：这位同学的错误出现在第②步， 故答案为：②． （2）解：原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 20．（8分）（25-26八年级上·河北邢台·期末）(1)先化简，再求值：，其中 ． (2)先化简： ，再从，，，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1) ， (2) ，当 时，原式 【分析】本题考查了整式的化简求值，分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式乘以多项式，平方差公式计算得到最简结果，再把的值代入计算即可求解． （2）先将括号内的两项通分，再对各项分子分母进行因式分解，同时利用除法法则变形，然后约分得到最简结果，最后选取使分式有意义的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：原式 ， 且， 且， 从 ，，，， 中选择，可选，，， 当时，原式． 21．（9分）（24-25八年级下·宁夏银川·期末）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以，得，① 去括号，得，② 解得， 检验：当时，，③ 所以是原分式方程的解．④ (1)你认为小明在哪里出现了错误 （只填序号）； (2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事项； (3)写出上述分式方程的正确解法． 【答案】(1)①② (2)注意方程中的每项都要乘以最简公分母；解分式方程求出x的值要进行检验（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母、去括号法则可以判断出出现错误的步骤是①②； （2）根据解分式方程的方法写出注意事项即可； （3）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】（1）解：第①步去分母错误，应该为 第②步移项后变号和去括号错误，应该为 小明在①②出现了错误； 故答案为：①②； （2）两条注意事项：注意方程中的每项都要乘以最简公分母；解分式方程求出x的值要进行检验（答案不唯一）； （3）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 22．（12分）（24-25七年级下·安徽安庆·期末）综合与实践 背景 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，A款盲盒比B款盲盒每个贵2元，且用200元购买的A款盲盒与用160元购买的B款盲盒个数相同． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求款盲盒和款盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个，若在线下商店购买，共需要_____元，若在线上淘宝店购买，共需要_____元．（均用含的代数式表示，并填化简后的结果） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的个数在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】任务1：A款盲盒的销售单价为元，B款盲盒的销售单价为元 任务2：； 任务3：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． 任务1：根据用200元购买的A款盲盒与用160元购买的B款盲盒个数相同，列出分式方程求解即可； 任务2：根据线上和线下销售活动规则分别列式表示即可； 任务3：根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元， 根据题意得，解并检验得， B款盲盒单价元 答：该商店在无促销活动时，A款盲盒单价为元，B款盲盒单价为元； 任务2：若在线下商店购买，共需要元， 若在线上淘宝店购买，共需要元； 任务3：由题意可得， 解得：， 答：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算． 23．（12分）（25-26八年级上·河北唐山·月考）综合与实践 【情境】已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【验证】 对于，我们可以用“作差法”进行证明： ， ， ， , ，即， ． （1）由上述证明过程，已知，，我们可猜想与的大小关系是： （横线上填“>”“<”或“=”），请你用“作差法”验证你的结论； 【探究】（2）若时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的式子； 【应用】（3）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，两船同时航行1小时后立即返航．已知甲、乙两船返航所用时间分别为，，请根据，的大小关系，直接写出哪条船先返回港．（提示：根据返航顺水或逆水情况分类讨论） 【答案】（1），见解析；（2）不成立，；（3）当返航为顺水时，，乙船先返回；当返航为逆水时，，甲船先返回 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （1）根据作差法求解即可； （2）根据作差法求解即可； （3）分为当返航为顺水时，和当返航为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， ， ，即， ． （2）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（1）可得， ， ， ，即， ． （3）当返航为顺水时，． ， ， ，即； 当返航为逆水时，， ， ， ，即， 所以当返航为顺水时，乙船先返回，当返航为逆水时，甲船先返回． 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题11 分式（高频考点归纳+解析+单元检测） 考点01 分式的识别 考点02 分式有意义的条件 考点03 分式值为0的条件 考点04 最简分式 考点05分式的运算 考点06分式的化简求值 考点07负整式指数幂 考点08科学记数法 考点09解分式方程 考点10分式方程的解的情况问题 考点11分式方程无解问题 考点12实际问题与分式方程 考点01 分式的识别 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）代数式中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·海南海口·期末）下列各式中不属于分式的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期末）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏常州·期末）下列各式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点02 分式有意义的条件 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列分式中，有意义的条件为的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西吕梁期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）若分式的值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西太原·月考）若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 考点03 分式值为0的条件 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京·期末）已知分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．0 C．1或 D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 3．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 4．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列分式的取值结果可以是的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）要使分式的值为0，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）当 时，分式的值为0． 考点04 最简分式 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·山东滨州·期末）下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（   ） A．4 B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建宁德·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 7．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的4倍 考点05分式的运算 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）小韩同学计算时，是这样做的： 原式……………………    第一步 ……………………    第二步 …………………………        第三步 ．………………………………        第四步 (1)小韩同学的做法从第_________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 7．（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 考点06分式的化简求值 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 3．（24-25·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：，求代数式的值． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中x是从，0，1，2中选取一个合适的数． 考点07负整式指数幂 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 2．（24-25八年级上·广东清远·期末）计算：． 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）计算：． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算：． 5．（24-25八年级上·北京海淀·期末）计算：． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）计算：． 考点08科学记数法 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）西瓜是消暑解渴的好帮手．西瓜中的番茄红素含量比番茄还高．番茄红素是食物中的天然色素，属于类胡萝卜素的一种，具有很强的抗氧化能力．西瓜中的番茄红素更容易被人体吸收，鲜食即可被人体直接吸收，其有效性比番茄高．经检测一个红瓤西瓜的番茄红素含量是克．其中克用科学记数法表示为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）中国“超级显微镜（散裂中子源）”二期工程正在建设，中子穿透性强，是科学家探索微观世界的“理想探针”．中子的直径大约是0.00000169纳米，数据0.00000169用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东清远·期末）总悬浮颗粒物是指漂浮在空气中的固态和液态颗粒物的总称，通常把粒径在10微米以下的颗粒物称为可吸入颗粒物，又称，某种粉尘的直径约为0.000006米，数据0.000006用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京平谷·期末）2024年，在某大学的实验室里，一束直径不足头发丝千分之一的激光正在创造历史．该校团队成功研制出模式体积仅为的奇点介电纳米激光器，首次将光场压缩至原子尺度，突破了困扰光学领域百余年的衍射极限．这一突破不仅为超分辨成像技术带来革命，更在光通信、量子计算等领域埋下了创新种子．将0.0005用科学记数法表示应为（　　） A．5 B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）碳纳米管是一种前沿纳米材料，某种碳纳米管的直径是12纳米．已知1纳米米，那么这种碳纳米管的直径用科学记数法可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25八年级上·山东烟台·期末）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（    ）m ． A． B． C． D． 考点09解分式方程 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程，请你认真阅读并完成相应任务： 习题1：计算：． 解：原式        ……第一步 ……第二步                         ……第三步                            ……第四步 习题2：解方程： 解：方程两边同乘，得         ……第一步               ……第二步                          ……第三步 检验：当时，    ……第四步 ∴原方程得解是．         ……第五步 任务： (1)习题1中第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是______，习题2中第一步变形的依据是______； (2)习题1的解答过程是从第______步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第______步开始出现错误的； (3)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）解分式方程：． 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·广东清远·期末）解方程：． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）解方程：． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）解方程：． 考点10分式方程的解的情况问题 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）解分式方程时产生了增根，这个增根是 ． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）若关于的分式方程的解是，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是 ． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 三、解答题 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 考点11分式方程无解问题 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A．3 B．2 C．或 D． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是 ． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于x的方程无解，则a的值为 ． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若分式方程无解，则 考点12实际问题与分式方程 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）无人机快递拉开了我国低空经济的大幕，无人机快递可实现全天候工作，且不受交通道路拥堵的影响．已知从物流集散地到某收货点，无人机的飞行距离为，人工运输距离为，无人机送货时间比人工送货时间少用，无人机送货的平均速度是人工送货平均速度的2倍．求人工送货的平均速度． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到月日全球票房超亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园的路程为千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为，已知高速公路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过小时后到达目的地．求汽车在高速路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价元，敖丙手办单价元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 4．（24-25·江苏南京·期末）机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物． 5．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）为提高学生的身体素质，学校准备购买甲、乙两种运动器材共600件，且甲种运动器材的数量是乙种运动器材的2倍 (1)求学校计划购买甲、乙两种运动器材各多少件？ (2)已知甲种运动器材的单价比乙种运动器材的单价少3元，用2000元购买甲种运动器材和用2300元购买乙种运动器材的数量相同，求学校购买这600件运动器材共花费多少元？ 6．（24-25·江苏盐城期末）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 7．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 一、单选题（每小题分，共30分） 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西临汾·期末）近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（    ）． A．每天多完成100m，结果提前2天完成 B．每天少完成100m，结果推迟2天完成 C．每天多完成100m，结果推迟2天完成 D．每天少完成100m，结果提前2天完成 4．（25-26七年级上·上海·期中）不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）用科学记数法表示结果为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（25-26八年级上·全国·期末）华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 13．（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 14．（25-26八年级上·全国·期末）若关于x的分式方程的解是2，则a的值为 ；若该分式方程无解，则a的值为 ． 15．（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 三、解答题（共8小题，75分） 16．（10分）（23-24八年级下·四川眉山·期中）（1）计算： （2）解分式方程：． 17．（8分）（24-25八年级下·四川内江·期末）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选出一个合适的整数a的值，代入求值． 18．（8分）（25-26八年级上·湖南娄底·期中）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 19．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ (1)该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 20．（8分）（25-26八年级上·河北邢台·期末）(1)先化简，再求值：，其中 ． (2)先化简： ，再从，，，，中选一个合适的数代入求值． 21．（9分）（24-25八年级下·宁夏银川·期末）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以，得，① 去括号，得，② 解得， 检验：当时，，③ 所以是原分式方程的解．④ (1)你认为小明在哪里出现了错误 （只填序号）； (2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事项； (3)写出上述分式方程的正确解法． 22．（12分）（24-25七年级下·安徽安庆·期末）综合与实践 背景 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，A款盲盒比B款盲盒每个贵2元，且用200元购买的A款盲盒与用160元购买的B款盲盒个数相同． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求款盲盒和款盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个，若在线下商店购买，共需要_____元，若在线上淘宝店购买，共需要_____元．（均用含的代数式表示，并填化简后的结果） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的个数在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 23．（12分）（25-26八年级上·河北唐山·月考）综合与实践 【情境】已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【验证】 对于，我们可以用“作差法”进行证明： ， ， ， , ，即， ． （1）由上述证明过程，已知，，我们可猜想与的大小关系是： （横线上填“>”“<”或“=”），请你用“作差法”验证你的结论； 【探究】（2）若时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的式子； 【应用】（3）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，两船同时航行1小时后立即返航．已知甲、乙两船返航所用时间分别为，，请根据，的大小关系，直接写出哪条船先返回港．（提示：根据返航顺水或逆水情况分类讨论） 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $