期末冲刺专题09 因式分解（高频考点归纳+解析+单元检测）2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题09 因式分解（高频考点归纳+解析+单元检测） 考点01 因式分解 考点02 提公因式法因式分解 考点03 运用公式法因式分解 考点04 十字相乘法因式分解 考点05分组分解法因式分解 考点06因式分解的应用 考点01 因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列由左边到右边的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东德州期末）下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 考点02 提公因式法因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 2．（24-25八年级上河北石家庄·期末）整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（   ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 二、填空题 4．（24-25八年级上·广东东莞·期末）多项式的最大公因式是 ． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是 ． 6．（24-25八年级下·广东梅州·期末）分解因式： ． 三、解答题 7．（24-25八年级下·广东梅州·期末）分解因式： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·北京顺义·期末）已知，求代数式的值． 考点03 运用公式法因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25广东深圳期末）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 二、填空题 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）因式分解： ． 6．（24-25七年级下·北京延庆·期末）在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）． 三、解答题 7．（24-25八年级上·山西晋中·期末）因式分解： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·福建宁德·期末）因式分解： (1)； (2)． 考点04 十字相乘法因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式： ． 3．（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 6．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1)． (2)． 7．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： 8．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解： 考点05分组分解法因式分解 一、填空题 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 二、解答题 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式=； 解法二：原式=． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解： 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解： 【应用】（3）已知的三边a，b，c满足，请通过计算说明是什么三角形? 8．（24-25八年级上·河北承德·期末）通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 考点06因式分解的应用 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京·期末）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）观察下面拼图过程，写出相应的关系式 ． 三、解答题 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）利用因式分解说明能被33整除． 5．（24-25八年级上·广东河源·期末）若一个关于的二次三项式能因式分解成（其中为实数，为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． 【问题理解】 （1）分解因式______，则关于______对称； 【知识应用】 （2）若关于对称，求的值； 【能力拓展】 （3）若，且关于对称，求的值． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）对一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)如图，若将图1中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动变换成如图2所示的图形，将图2阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若阴影部分的面积为，则围成的长方体盒子的高为___________． (2)若将图1中的阴影部分移动变换成如图3所示的图形，图中四边形是正方形，四边形是长方形，长方形的面积为8，周长为12，且，求阴影部分的面积． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张，他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形（如图②）． (1)根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型卡片各多少张． (3)分解因式：． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 3．多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 4．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 6．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 7．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 9．若实数，，满足，，则的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．把多项式分解因式的结果是 ． 12．因式分解： 13．分解因式： ． 14．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则 ． 15．若，且，则的值为 ． 三、解答题（共8小题，75分） 16．（10分）因式分解： (1)； (2)． 17．（8分）因式分解或利用因式分解计算 (1) (2) (3)； (4)． 18．（8分）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 19．（6分）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 20．（8分）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 21．（9分）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 22．（13分）综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 23．（13分）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题09 因式分解（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版） 考点01 因式分解 考点02 提公因式法因式分解 考点03 运用公式法因式分解 考点04 十字相乘法因式分解 考点05分组分解法因式分解 考点06因式分解的应用 考点01 因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列由左边到右边的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，即把多项式转化为几个整式的积的形式．需逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】解：A. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法而非因式分解，故错误． B. ，右边为乘积与常数相加的形式，未完全转化为积的形式，故错误． C. ，左边是单项式与多项式的乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，故错误． D. ，左边是二次多项式，右边分解为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义，故正确． 故选：D 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边出现分式，不符合整式乘积的要求，故A不符合题意； B、右边为，是乘积后减1，未完全分解为积的形式，故B不符合题意； C、左边可写成，符合整式平方的积的形式，属于因式分解，故C符合题意； D、右边为，是乘积后加1，未完全分解为积的形式，故D不符合题意． 故答案为：C． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式，根据完全平方公式、因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； C、，原分解错误，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东德州期末）下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：因式分解需满足左边为多项式，右边为整式的乘积， 选项A：右边不是整式的乘积的形式，不符合题意； 选项B：左边为多项式，右边为整式乘积，符合题意； 选项C：左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法，不符合题意； 选项D：左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的判定，首先要理解因式分解的概念，即把一个多项式转换为几个因式乘积的形式．因此，对于给定的选项，需要判断哪些选项展示的是因式分解，即从多项式形式变为几个多项式乘积的形式． 【详解】A选项：，这个等式左边是两个一次多项式的乘积，右边是一个二次多项式．这是一个典型的展开过程，不是因式分解．因此，A选项不是因式分解． B选项：，这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，它不是一个多项式乘积的形式，所以B选项不是因式分解． C选项：，这个等式右边是乘以一个一次多项式再减去一个常数，这也不是一个多项式的乘积形式，因此C选项不是因式分解． D选项：，这个等式左边是一个二次多项式，右边是两个一次多项式的乘积．因此D选项是一个正确的因式分解． 故选：D． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、，含有分式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、，不是积的形式，故该选项不符合题意； C、，左边不是多项式，故该选项不符合题意；     D、，是因式分解，故该选项符合题意； 故选D． 考点02 提公因式法因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 【答案】A 【分析】本题考查了提取公共因式． 直接提取公共因式即可． 【详解】解：、均存在因式， 故选：A． 2．（24-25八年级上河北石家庄·期末）整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（   ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故结论一正确； ∵， ∴，的公因式为，故结论二不正确； 故选：A． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据长方形周长和面积计算公式可得，，再把所求式子分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个长方形的长、宽分别为m、n，且这个长方形的周长为18，面积为15， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·广东东莞·期末）多项式的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式的确定，根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式解答即可． 【详解】解：8、6的最大公约数为2，公因式a的最低次数为1，公因式b的最低次数为2， 所以的最大公因式为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东梅州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 利用提公因式法，将各项的公因式 提出，将各项剩下的商式写在一起，作为因式． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·广东梅州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了因式分解，正确找出公因式是解题关键． （1）直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． （2）直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25八年级上·北京顺义·期末）已知，求代数式的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，熟记乘法公式并正确化简是解答的关键．先根据乘法公式化简所求代数式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 考点03 运用公式法因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； C 、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．（24-25广东深圳期末）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 二、填空题 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·北京延庆·期末）在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 三、解答题 7．（24-25八年级上·山西晋中·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的步骤一提、二套、三检查、分解要彻底成为解题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）先运用平方差公式进行分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 8．（24-25八年级上·福建宁德·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解答的关键． （1）先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可求解； （2）提公因式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点04 十字相乘法因式分解 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将二次三项式因式分解，需找到两个数使其积为常数项，和为一次项系数，逐项验证即可． 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程． 按照“十字相乘法”的步骤逐一分解即可． 【详解】解：先分解二次项系数：， 再分解常数项：， 交叉相乘，求代数和：，2等于一次项系数，如图所示： ∴， 故答案为 ：． 3．（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）多项式分解因式得 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题． （1）令，代入式子得； （2），令，原式，据此证明． 【详解】（1）解：令， ； （2） ， 令， 原式 ， 所以代数式的值为一个整数的平方． 6．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先分组，再根据提公因式法和十字相乘法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解； （2）先分组，再根据平方差公式和提公因式法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：. . （2）解： 7．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过寻找两个数使其和为、积为10进行因式分解即可． 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 8．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，多项式乘法． 利用十字相乘法分解因式，重新组合，按照多项式乘法计算，再用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 考点05分组分解法因式分解 一、填空题 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分组分解法因式分解，配方法的运用，掌握以上知识，正确配方是关键． 由已知条件得到，代入整式中，通过配方法将转化为完全平方式与常数的和，进而利用非负性求最小值． 【详解】解：由，得， 代入，得： ， 对和分别配方：，， 代入得： ， 由于， 且，故， 当时，满足，且， 因此，整式的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）4 【分析】本题考查了因式分解、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）①将因式分组为，再利用提取公因式法分解因式即可得； ②将因式分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可得； （3）先利用完全平方公式分解因式可得，根据偶次方的非负性可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）① ． ② ． （3） ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式=； 解法二：原式=． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解： 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解： 【应用】（3）已知的三边a，b，c满足，请通过计算说明是什么三角形? 【答案】（1）；（2）；（3）三角形为等腰三角形，计算说明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用题中示例的分组分解法分解因式． （1）运用分组分解法将式子进行因式分解； （2）运用分组分解法将式子进行因式分解； （3）运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得，据此可得三角形为等腰三角形． 【详解】解：（1） （2） （3）， ， ， ， ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 8．（24-25八年级上·河北承德·期末）通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 因为， 所以； （3）解： 考点06因式分解的应用 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京·期末）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）观察下面拼图过程，写出相应的关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查长方形的面积，提公因式法分解因式，解决本题的关键是数形结合，根据三个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，依据此等量关系即可列出关系式． 【详解】解：根据题意：． 故答案为：． 三、解答题 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）利用因式分解说明能被33整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，先运用提公因式法进行因式分解，再根据约数的概念进行分析即可． 【详解】解： ． 因为， 所以能被33整除． 5．（24-25八年级上·广东河源·期末）若一个关于的二次三项式能因式分解成（其中为实数，为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． 【问题理解】 （1）分解因式______，则关于______对称； 【知识应用】 （2）若关于对称，求的值； 【能力拓展】 （3）若，且关于对称，求的值． 【答案】（1），1；（2）t的值为4；（3）， 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，然后根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义求出的范围，再利用多项式乘以多项式的法则以及恒等式的性质，求出的值即可； （3）将转化为，再根据新定义得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ∴关于对称； （2）∵关于对称， 解得：， ， （或） 解得： 即t的值为4． （3） ∴该多项式关于对称 又∵M关于对称， ， 即， 根据题意可知，c均为正整数， ，． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)，；；； (2)． 【分析】本题考查了换元法因式分解，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握换元思想是解题的关键． （）设，然后代入通过因式分解即可求解； （）设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设， 原式 将代入， 得原式， 故答案为：，；；； （2）解：设， 原式 ， 将代入， 得原式 ． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）对一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)如图，若将图1中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动变换成如图2所示的图形，将图2阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若阴影部分的面积为，则围成的长方体盒子的高为___________． (2)若将图1中的阴影部分移动变换成如图3所示的图形，图中四边形是正方形，四边形是长方形，长方形的面积为8，周长为12，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积问题. （1）利用面积法进行计算，得出，进而根据阴影部分的面积为，即可求解． （2）由（1）可得小正方形的边长为，则，，根据长方形的面积为8，周长为12得到，因式分解得到，根据有理数乘法中的意义求出两边长，计算即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积表示的数学等式：， 阴影部分的面积为， ， 或（舍去）， 这个长方体盒子的高， 这个长方体盒子的高为． 故答案为：； （2）解：由（1）可得小正方形的边长为，则，， 阴影部分的面积 ∵长方形的面积为8，周长为12， ∴，， ∴，即， ∴， 即， ∵， ∴， ∵只有0乘以任何数都等于0， ∴或， 即或， ∴或（不符合）， ∴， ∴，， 即， ∴阴影部分的面积． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张，他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形（如图②）． (1)根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型卡片各多少张． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)需要Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张 (3) 【分析】本题主要考查了多项式的乘法与图形的面积以及因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是； （2）由面积计算可得共需Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张； （3）根据（2）的结论，进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）这个乘法公式是， 故答案为； （2）如图，拼成一个长为，宽为的大长方形， 根据， 则需要Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张． （3）如图 由图形可得． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，关键是知识点的熟练应用； 根据因式分解的定义，判断哪个选项是将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； ∴选项A：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项B：右边是，不是积的形式； 选项C：右边是，不是积的形式； 选项D：右边是，是积的形式，符合因式分解； 故选：D． 2．利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解,正确提取公因式是解题的关键．先提取公因数，再提取公因数，计算即可得答案． 【详解】解：原式 ． 故选D． 3．多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是n， 故选：C． 4．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．平方差公式适用于形如的多项式，检查各选项是否可化为该形式即可． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，能用平方差公式分解因式，故符合题意； 选项B：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项C：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项D：，是提公因式，不是平方差形式，故不符合题意； 故选：A． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 6．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先将代数式分解因式，再根据密码手册匹配对应的字． 【详解】解： ． 根据密码手册：对应“勤”，对应“奋”，对应“自”，对应“主”， ∴密码信息为“勤奋自主”． 故选：D． 7．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了用平方差公式因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式因式分解是解题的关键．利用平方差公式将表达式因式分解为，由于n为自然数，为整数，因此表达式一定能被4整除． 【详解】解： ， 为自然数， 为整数， 能被4整除， 因此，原式一定能被4整除． 故选：B． 8．无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解的应用，将原式化为，根据偶次幂的非负性，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴原式大于或等于，即最小为7 故选：B． 9．若实数，，满足，，则的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．由可得，将其代入中并整理后利用偶次幂的非负性求得的值，然后求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 整理得：， 则， 那么，， 因此， 则， 故选：A． 10．已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 12．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，准确的计算是解决本题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 15．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，75分） 16．（10分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． （1）直接提公因式即可分解因式； （2）首先提取公因式，进而利用平方差分解因式得出答案； 【详解】（1）解： （2）解： 17．（8分）因式分解或利用因式分解计算 (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先运用提公因式法，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （4）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 18．（8分）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．（6分）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 【答案】212814，211428，282114 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． 根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题． 【详解】解：， 当，时，，， 所以可以形成的数字密码是212814，211428，282114，281421，142128，142821． 20．（8分）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 21．（9分）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 22．（13分）综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解. （1）根据题干过程作答即可； （2）仿照（1）作答即可； （3）仿照题干所给示例得到，，，合理拆项计算即可 【详解】（1）解： ∴对每组分别提取公因式后原式变形为，再提取公因式，最终分解为 故答案为：， （2） （3）将多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数） 因为，与对应， 所以，，， 所以， 即或或或 因为 所以 则可分为， 即. 23．（13分）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1） （2）1，2 （3） （4） （5）1，7，13，29 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，数形结合思想和多项式乘以多项式法则是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于四个小长形面积和，列式即可； （2）根据，得到，，解之即可求解； （3）根据即可求解； （4）设，根据，得，，解之即可求解； （5）设，得，，，再根据a、b、m、n为整数，求解即可． 【详解】解：（1）由图可得， 故答案为：； （2）∵， ∴，， 解得：或， ∵ ∴， 故答案为：1；2． （3）∵ ∴ 故答案为：； （4）设， 则 ∴，， 解得：，， 故答案为：； （5）设 ∴，，， ∵a、b、m、n为整数， ∴或或或或或或或或或或或， ∵k为正整数， ∴． ∴正整数的值为1，7，13，29． 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $