数列回归课本专题：数列的综合问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列的查缺补漏 班级：__________,姓名：___________ 一．子数列问题 1.已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意知：当时： ① 当时： ② 联立①②，解得.所以数列的通项公式. （2）由（1）知，.所以. 所以. 设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.则， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列,所以所以 化简得所以 又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 2．已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 【解析】（1）依题意，所以 ， 由于，所以.而符合，故. （2）由（1）得，， 是单调递增数列， 又因为是奇数列，，而， 所以数列的前项中有数列的项，即， 所以. 2. 应用题 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列， ∴S7==381，解得a1=3．故答案为3. 4.某教育网站本月的用户为2000人。网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加30%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人(精确到1)?（参考数据：；） 【详解】设经过个月可使用户达到1万人，则2000(1+30%)=10000，即1.3x=5, 所以大约 经过6个月可使用户达到1万人。 5.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为，第2次还款后欠银行贷款为， …，第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即，所以.故选：C. 6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为， 依题意可得，， ， ，解得， .故选:A. 7. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）A B. C. D. 【详解】观察发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，所以为首项为，公比为的等比数列， .故选：B. 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列． （1）写出数列的一个递推公式； （2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意可知， ，，，， ； 所以数列的一个递推公式为； （2）由题意，， 故， 所以数列的一个通项公式为. 9.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围为__________. 解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得 . 由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是 . 根据题意，得 即解这个不等式组，得. 所以，d的取值范围为. 10.正方形的边长为，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去． （1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解：设正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则． 由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以 ．因此，是以25为首项，为公比的等比数列． 设的前n项和为．（1）． 所以，前10个正方形的面积之和为． （2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和．而 ，随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50． 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50． 三．数列的综合问题 11．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 【答案】     5     【详解】若a，b，c三个数成等差数列. 所以.若a，b，c三个数成等比数列. 所以，故答案为：5，. 12．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 【答案】72【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 13．在等差数列中，若，求k=_____． 【答案】16【详解】因为，所以， 即，因此， 所以，由题意知， 所以，所以 14．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数． 【答案】此数列中间一项是，项数为.【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， ，解得，项数，中间项为， 由，所以此数列中间一项是，项数为. 15．求集合，且中元素的个数，并求这些元素的和为_______． 【答案】集合中有30个元素，这些元素的和为900. 【详解】集合，且，即 共30个奇数，构成以1为首项，公差为2的等差数列 利用等差数列求和公式得，故集合中有30个元素，这些元素的和为900. 16.数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．于是得 解方程组，得 或 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，． 17．已知是等差数列的前n项和．（1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）∵ ∴ ∴∴是等差数列； （2）， 公差 又∵ ∴ ∴ ∴. 18．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和为________． 【答案】1472【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项.共有个，也是等差数列， 它们的和为，这个新数列的各项之和为1472 19. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n． 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为，则 ，若，即， 因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为. 20．在数列的首项为 ，且满足． （1）求证：是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【详解】（1）由题意，数列满足，即， 则，又由，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，所以， 所以， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得， 综上可得，. 21．已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由题意知：， 即：化简得. 所以数列的通项公式. （2）因为 所以 化简得：. 22．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证：（1）数列为等差数列；（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 【详解】解：（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以 所以，即，即为公差为的等差数列； （2）设数列中任意三项，， 则，假设成等比数列，则 即 因为 所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列． 23．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为． （1）求出； （2）试归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式探求的表达式． 参考公式：． 【答案】（1）10；（2）；；证明见解析； 【详解】； ； ； （1） （2）由上知， 则 故 又，则 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列回归课本专题：数列的综合问题 班级：________,姓名：_______ 一．子数列问题 1.已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 2．已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 2. 应用题 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 4.某教育网站本月的用户为2000人。网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加30%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人(精确到1)?（参考数据：；） 5.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ） A． B． C． D． 7. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）A.B. C. D. 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列． （1）写出数列的一个递推公式； （2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式． 9.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围为____________. 10.正方形的边长为，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去． （1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 三．数列的综合问题 11．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 12．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求=______________． 13．在等差数列中，若，求k=_______________． 14．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数． 15．求集合，且中元素的个数，并求这些元素的和为___________． 16.数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 17．已知是等差数列的前n项和．（1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求． 18．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和为_____________． 19. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n． 20．在数列的首项为 ，且满足． （1）求证：是等比数列． （2）求数列的前n项和． 21．已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和． 22．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证：（1）数列为等差数列；（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 23．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为． （1）求出； （2）试归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式探求的表达式． 参考公式：． 学科网（北京）股份有限公司 $