数列与概率、解析几何综合问题专项训练——2026届高三数学一轮复习

数列与概率、解析几何综合问题专项训练 数列与概率、解析几何综合问题专项训练 考点目录 数列与概率综合问题 数列与解析几何综合问题 考点一 数列与概率综合问题 例1．（2026·四川攀枝花·模拟预测）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 例3．（24-25高二下·广东中山·月考）“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 单位：人 附：. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组､组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和.经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； (3)定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值. 例4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有3个大小､质地完全相同的小球，小球上分别标有三个数字，抽奖规则为：每个顾客从盒中随机抽取1个小球，抽到标有数字5的中一等奖，抽到标有数字2的中纪念奖，抽到标有数字0的没有奖，每位顾客只能抽取一次，且每位顾客抽取的结果相互独立.记位消费者抽取的小球上的数字之和为的不同取值个数为. (1)求的值； (2)当时，求的概率； (3)求数列的前项和. 变式1．（2025·辽宁·模拟预测）设为正整数，数列，，…，的各项均为正整数，若该数列满足下列性质：①，，，都有且，②，则称该数列是—特性数列． (1)若数列是－特性数列，求与的最小值； (2)若数列是—特性数列，是否存在数列是—特性数列？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (3)从，，，…，中一次任取四个不同的数，记抽取的四个数组成的数列是—特性数列的概率为，求． 变式2．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 变式3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）甲、乙两盒子中各有2枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄．称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为． (1)求的值． (2)求数列的通项公式，并求使不等式成立的的最小值． (3)若随机变量X服从两点分布，且，则 ．记前次（即从第1次到第次交换）中甲、乙两盒中仍各有一红一黄棋子的次数为，求． 考点二 数列与解析几何综合问题 例1．（25-26高二上·浙江·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，斜率为的直线与的两支分别交于A，B两点，与轴交于点，且． (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上存在点，使得的角平分线交轴于点． （Ⅰ）求的取值范围： （Ⅱ）若，，求数列的前项和． 例2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线：的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 例3．（25-26高三上·广西·月考）已知点在抛物线：（）上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直作下去，设（）． (1)求抛物线的方程； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求（）的面积． 例4．（25-26高二上·浙江杭州·月考）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)求的面积． 变式1．（2026·四川巴中·模拟预测）若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为． (1)设为坐标原点，若，求的面积． (2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 变式2．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知平面上两定点A，B及一动点P，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，阿氏圆的圆心在线段的延长线上.在平面直角坐标系中，记点，，其中，，，满足的点的轨迹与轴交于，两点. (1)求点的轨迹方程； (2)求数列的通项公式； (3)记的面积的最大值为，求的表达式. 变式3．（24-25高二下·广东·月考）如图所示，直线与是两条相交直线．直线与轴交于点，过作平行轴的直线交直线于点，再过点作平行轴的直线交直线于点，过点作平行轴的直线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，设点的横坐标为，则点的坐标为，将点的横坐标构成数列． (1)求，，的值，用表示点的坐标，并求与的关系式； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 变式4．（2025·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. (1)求曲线的方程并确定点的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列与概率、解析几何综合问题专项训练 数列与概率、解析几何综合问题专项训练 考点目录 数列与概率综合问题 数列与解析几何综合问题 考点一 数列与概率综合问题 例1．（2026·四川攀枝花·模拟预测）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． （3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以. 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，6个 【详解】（1）设事件“分配到低空任务”，则“分配到高空任务”， 事件“在一个阶段中成功完成任务”， 依题意，，，，， 因此， 所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为. （2）①设事件“该无人机在第个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 故当时，则第1、2阶段至少成功完成一次，， ， 同理. ②设事件“第个阶段任务结束时挑战仍然未结束”， 当时，第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种： （i）第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止； （ii）第阶段失败，且第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止， 因此第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为， 而各阶段任务成功与否相互独立， 因此， 当时，， 当时，，要证数列单调递减，只需证， 即， 当时，，，， 当时，，由于，故. 因此，对于，都有，从而. 当时，, 为单调递减数列. 由当时，，经计算，， 所以该无人机最多能挑战6个阶段的任务. 例3．（24-25高二下·广东中山·月考）“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 单位：人 附：. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组､组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和.经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； (3)定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值. 【答案】(1)无关 (2)分布列见解析， (3)证明见解析， 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； （2）依题意可知，可取， 则， ， 0 1 2 所以次数的数学期望. （3）第次挑战后挑战权在组的概率分别是时，则，由题意得方程组： ②+③得：，由①得， ， ，其中， 是以为首项，为公比的等比数列， ， 由聚点数列的定义：， 由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列为“聚点数列”； . 例4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有3个大小､质地完全相同的小球，小球上分别标有三个数字，抽奖规则为：每个顾客从盒中随机抽取1个小球，抽到标有数字5的中一等奖，抽到标有数字2的中纪念奖，抽到标有数字0的没有奖，每位顾客只能抽取一次，且每位顾客抽取的结果相互独立.记位消费者抽取的小球上的数字之和为的不同取值个数为. (1)求的值； (2)当时，求的概率； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)；；. (2) (3) 【详解】（1）1）①当时，的取值可能为，共3个，故； ②当时，的取值可能为，故； ③当时，的取值可能为，故. （2）②由题意得，每个小球被抽到的概率均为. 当抽到2个标有数字5的小球，3个标有数字0的小球时， ，概率为； 当抽到5个标有数字2的小球时，，概率为， 所以的概率为. （3）当时，根据规则，得分情况如下： 因为奇数列的得分为偶数，偶数列的得分为奇数，最后一行得分的前一项得分为 （第列最后一个数），与第列第一个得分，得分恰好差2， 所以从4到刚好连接上来（之间所有的偶数和奇数没有缺）； 因为最后一行得分（第列最后一个数），与第列第一个得分， 得分恰好差4，所以连接起来后恰好缺了得分， 由表知也取不到， 综上，在中不能取到的值构成的集合为 所以也适合. 结合（1）可得 所以当时，；当时，； 当时，， 则， 当时，满足上式， 所以 变式1．（2025·辽宁·模拟预测）设为正整数，数列，，…，的各项均为正整数，若该数列满足下列性质：①，，，都有且，②，则称该数列是—特性数列． (1)若数列是－特性数列，求与的最小值； (2)若数列是—特性数列，是否存在数列是—特性数列？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (3)从，，，…，中一次任取四个不同的数，记抽取的四个数组成的数列是—特性数列的概率为，求． 【答案】(1)的最小值为3，的最小值为6 (2)存在，证明见解析 (3) 【详解】（1）由②可知，所以， 又数列，，，的各项均为正整数，所以． 由①可知且， 所以，则， 当时，，不满足性质②； 当时，因为且，所以，所以． 当时，，，满足性质①②． 所以的最小值为3． 当时，数列2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5均不满足性质②， 所以的最小值为6． （2）存在数列是—特性数列． 证明如下： 因为数列是一特性数列，由上可知， 所以 ， 又，， 则， 由定义可知，数列，，…，，，，，，，…， ，…，是—特性数列； 故存在数列是—特性数列． （3）若数列是—特性数列， 则，，由上可知， 当时，，矛盾， 所以，故． 又，所以， 因为， 所以，则． 当时，，则， 所以，则，又，所以，则，即， 因为，所以当时，； 当时，；当时，18； 当时，；当时，（舍去）． 当时，同理，因为，所以当时，； 当时，；当时，（舍去）． 当时，同理，又，所以， 又，所以（舍去）． 经验证，从1，2，3，…，20中一次任取四个不同的数，数列是—特性数列， 有，，，，共4个， 故． 变式2．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）依题意可得，， . （2）由（1）可知， 当时，， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则； （3）当时，，所以，即， 依题意，所以. 变式3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）甲、乙两盒子中各有2枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄．称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为． (1)求的值． (2)求数列的通项公式，并求使不等式成立的的最小值． (3)若随机变量X服从两点分布，且，则 ．记前次（即从第1次到第次交换）中甲、乙两盒中仍各有一红一黄棋子的次数为，求． 【答案】(1)，； (2)，14； (3). 【详解】（1）设事件第次操作时，从甲盒中取出的是红色棋子为， 事件第次操作时，从乙盒中取出的是红色棋子为， 则事件第一次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子可表示为， 又，事件与事件互为互斥事件，事件与事件独立， 则， 所以， 若第1次操作后甲、乙盒中各有一红一黄棋子， 则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为， 若第1次操作后甲盒中为两个红色棋子，乙盒中为两个黄色棋子或甲盒中为两个黄色棋子，乙盒中为两个红色棋子， 则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为， 所以. （2）依题意，，则，， 又，因此数列为首项为，公比为的等比数列， 于是，所以； 由，得，则，， 而，，函数为增函数， 所以的最小值为. （3）前次（即从第1次到第次交换）中甲、乙两盒中仍各有一红一黄棋子的次数为，则服从两点分布， ， 因此 . 考点二 数列与解析几何综合问题 例1．（25-26高二上·浙江·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，斜率为的直线与的两支分别交于A，B两点，与轴交于点，且． (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上存在点，使得的角平分线交轴于点． （Ⅰ）求的取值范围： （Ⅱ）若，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【详解】（1）因为直线斜率为，且过点， 所以直线， 设，，双曲线， 左右焦点坐标为，，则， 由，得， 将代入得到，恒成立， 由韦达定理得，， 又， 由，得， 又，所以， 则，解得，， 则双曲线的方程. （2）（Ⅰ）解法一：由，得，所以， 则 ， 其中 其中，可得， 又，可得，则， 所以. 解法二：由题意有，则， 整理得， 同理， 由题意得点到与到距离相等，即， 其中， ， 即，可得， 又，可得，则， 所以. （Ⅱ）由，得， 将代入上式可知， 由（Ⅰ）知， 所以， 则， 两式相减得 则， 所以 例2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线：的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）双曲线的离心率为2，故，结合得. 双曲线过点，代入得，结合， 得，故，. 双曲线的方程为. （2）(i) 数列为等比数列，故，， 过作直线，， 由消去并化简得， 其中，所以. ， 所以，. 过作直线， 同理可求得，. 所以直线的方程为， 直线的方程令，得， ， ，， . 因，故，即是等比数列. (ii) 由，，得. 的面积. 设， 由于， 由对勾函数单调性，当或时，， 当时，， 设，则单调递增，， 故. 求和得. 例3．（25-26高三上·广西·月考）已知点在抛物线：（）上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直作下去，设（）． (1)求抛物线的方程； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求（）的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）因为点在抛物线：上，则， 解得，所以抛物线的方程为； （2）由可知，， 因为点在抛物线：上， 则，且，过，，    且斜率为的直线：． 联立方程，消去得， 解得或， 因为，故，即， 故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以，所以， 又是关于的递增函数，故，的取值范围是； （3）由（2）知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为 ， ， 所以（）的面积为． 例4．（25-26高二上·浙江杭州·月考）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)求的面积． 【答案】(1)1 (2)证明见解析，， (3)16 【详解】（1）由题意可得，化简得，解得. （2） 如图所示，，即， 设，，， 由抛物线方程，可得，作差可得， 化简得， 由，可得，化简得， 则，可知数列是首项为，公差为的等差数列， 则，则. （3） 如图所示，过作垂直于轴于，过作垂直于轴于，过作垂直于轴于， 由（2）可知， 则， 则， ， ， 可知， 即. 变式1．（2026·四川巴中·模拟预测）若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为． (1)设为坐标原点，若，求的面积． (2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【详解】（1）点在抛物线上，则，解得， 抛物线的方程为， ，是斜率相关的，点，， 的方程为， 由，解得或， 设，， 又在上，，解得，则， ， 点到的距离为， 的面积为． （2）根据斜率相关的定义可知，的斜率为， 把，代入得， ，则， ①， 同理可得，，即②， ③， ， 对任意的正整数是定值． （3）由（2）中①②消去得，， 是以为首项，为公差的等差数列， ， 由（2）知， ， ， ， 对单调递增，且对任意的正整数，都有， ， 又， 原式化简为，解得， 实数的取值范围为． 变式2．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知平面上两定点A，B及一动点P，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，阿氏圆的圆心在线段的延长线上.在平面直角坐标系中，记点，，其中，，，满足的点的轨迹与轴交于，两点. (1)求点的轨迹方程； (2)求数列的通项公式； (3)记的面积的最大值为，求的表达式. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）设，由及得， 整理得. （2）对于第个阿氏圆，设，由得， 令，得， 所以，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，其通项为. （3）的底为，高为到轴的距离，也即圆的半径， 第个阿氏圆的半径，因此面积最大值为： ，代入， 得. 变式3．（24-25高二下·广东·月考）如图所示，直线与是两条相交直线．直线与轴交于点，过作平行轴的直线交直线于点，再过点作平行轴的直线交直线于点，过点作平行轴的直线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，设点的横坐标为，则点的坐标为，将点的横坐标构成数列． (1)求，，的值，用表示点的坐标，并求与的关系式； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，，，， (2) (3) 【详解】（1）由直线，令，可得，即，所以， 又由，令，可得，即， 可得，所以，，所以，所以   显然，，所以   因为在直线上，故，即； （2）由（1）知：，所以， ，即   即数列是首项为，公比为的等比数列，故   所以的通项公式 （3）因为，所以， 设， 则， 两式相减，得    所以   又由， 故 变式4．（2025·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. (1)求曲线的方程并确定点的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 【答案】(1)，点为坐标原点 (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）依题意，得即 ，故曲线方程为. 点在曲线上，，故曲线方程为 由对称性可知，点为坐标原点 （2）（i）依题意，得， 得①， 又直线的斜率为2且， ②. 将②代入①中，得③， 将②和③相加，得， 从而是首项为1，公比为的等比数列， . （ii）点在定直线上. 证明如下： ， 直线的方程为， 令，得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为， 令，得， 直线与直线的交点坐标为， 故点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $