16.5.2 一次函数、反比例函数的实际应用（课件）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与反比例函数的实际应用，通过销售收入与销售量关系的图象导入，引导学生观察收支平衡及盈利亏损情况，衔接函数图象知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以丰富实例（合金体积与温度、课桌椅高度等）为载体，通过描点、定函数、检验、应用四步建模流程，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理函数表达式、用数学语言描述现实问题的核心素养。实例贴近生活且层次递进，助力学生提升建模能力，也为教师提供清晰教学路径。

第2课时 一次函数、反比例函数的实际应用 华东师大·八年级数学下册 新课导入 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空. 销售收入 销售成本 2 ①当销售量为2吨时，销售收入=____元，销售成本=____元； ②当销售量为6吨时，销售收入=____元，销售成本=____元； 250 250 700 450 销售收入 销售成本 ③当销售量等于______时，销售收入等于销售成本； ④当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量________时，该公司亏损（收入小于成本）. 2吨 大于2吨 小于2吨 销售收入 销售成本 问题3 为了研究某合金材料的体积 V(cm3) 随温度 t (℃)变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下： t/℃ ﹣40 ﹣20 ﹣10 0 10 20 40 60 V/cm3 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3 能否据此寻求 V 和 t 之间的函数关系式？ 进行新课 O -10 -30 -20 -40 10 20 30 40 50 60 t/℃ V/cm3 998.5 999.0 999.5 1000.0 1000.5 1001.0 1001.5 1002.0 这些点大致位于同一条直线上，V与t之间近似地符合一次函数关系. 我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近，求出近似的函数关系式. t/℃ ﹣40 ﹣20 ﹣10 0 10 20 40 60 V/cm3 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3 O -10 -30 -20 -40 10 20 30 40 50 60 t/℃ V/cm3 998.5 999.0 999.5 1000.0 1000.5 1001.0 1001.5 1002.0 如图所示的就是一条这样的直线，较接近的点可考虑取(10，1000.3)和(60，1002.3). 设V=kt+b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k=0.04，b=999.9． V=0.04t＋999.9． 将直线稍稍挪动一下，换上其他适当的两点，试一试. 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式. 但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析，进行近似计算和修正，列出比较接近的函数关系式. 概括 方法归纳 通过上面的问题，我们知道建立两个变量之间的函数模型，可以通过下列四个步骤完成： (1)将得到的数据在平面直角坐标系中描出； (2)观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式(一般采用待定系数法)； (3)进行检验； (4)应用这个函数模型解决问题. 小刚观察了学校新添置的一批课桌椅，发现它们可以根据人的身高调节高度. 他测量了一套课桌椅上的四档高度，得到如下数据： 凳高x/cm 37 40 42 45 桌高y/cm 70 75 78 82.5 【教材P65 练习】 请你和同学一起讨论，研究y与x可能满足什么函数关系. 练习 凳高x/cm 37 40 42 45 桌高y/cm 70 75 78 82.5 O 35 40 45 x/cm y/cm 70 75 80 85 解：设一次函数为y=kx+b(k≠0)，将表中数据任取两组，不妨取(37，70)和(42，78)代入，得 解得 所以y与x近似满足一次函数关系式y=1.6x+10.8. 1.研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系. 某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表： 气体温度x/℃ … 25 30 35 … 气体体积y/L … 596 606 616 … (1)求у与x之间的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热. 求停止加热时的气体温度. 随堂练习 解：(1)根据表格，可知气体温度每升高1℃，气体体积增大2L， 则y=596+2(x-25)= 2x+546， ∴y与x之间的函数关系式为y=2x+546. (2)当y=700时，得2x+546=700，解得x=77. 答：停止加热时的气体温度为77℃. 气体温度x/℃ … 25 30 35 … 气体体积y/L … 596 606 616 … 2. 某校组织科技活动“机器人走进校园”，在校园里一 条笔直的“勤学路”上依次设置了 A、B、C 三个互动 区，机器人甲、乙分别从 A、C 两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以 20 m/min 的速度匀速向 B 区行进，行至 B 区时停留 4.5 min (与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向 C 区匀速行进. 机器 人乙沿“勤学路”以 10 m/min 的速 度匀速向 B 区行进，行至 B 区时接到 指令立即匀速返回，结果两机器人同 时到达 C 区. 机器人甲、乙距 B 区的距离 y (m) 与机器人乙行进的时间 x (min) 之间的函数关系如图所示. 请结合图象信息解答下列问题： (1)A、C两区相距_____m，a=____； (2)求线段EF所在直线的函数表达式； (3)机器人乙行进的时间为多少分钟时，机器人甲、乙相距30m？(直接写出答案即可) 240 7.5 A→B：150m B→C：90m 甲：从A区匀速出发，速度是20m/min，到达B区停留4.5min后，继续向C区匀速行进. 乙：从C区匀速出发，速度是10m/min，到达B区后立即匀速返回. 甲、乙同时到达 C 区 (2)求线段EF所在直线的函数表达式； (15，90) 乙到达B区 解：机器人乙到达B区时所用时间为90÷10=9(min)， ∴E(9，0)、F(15，90)， 用待定系数法可求得线段EF所在直线的函数表达式为 y=15x-135. 乙的速度为10m/min (3)机器人乙行进的时间为多少分钟时，机器人甲、乙相距30m？(直接写出答案即可) 7.5 9 12 解：①0≤x≤7.5，由机器人甲、乙相距30m，得20x+10x+30=240，解得x=7. ②9≤x≤12，由机器人甲、乙相距30m，得15x-135=30，解得x=11. ③12<x≤15，机器人甲的速度为 90÷(15-12)=30(m/min)， 则y=30(x-12)=30x-360. 由机器人甲、乙相距30m， 得15x-135 -(30x-360)=30，解得x=13. ∴机器人乙行进的时间为7min或11min或13min时，机器人甲、乙相距30m. 3. 黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容. 如图，一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条长方形小路以供通行，滩涂起点 A 和终点 B 之间的距离为 18 m，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定. 设小路的长为 x m，宽为 y m，当 x = 20 时，y = 3. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）按照小路宽度为 4 m 搭建小路， 这种设计是否合理？请说明理由. 解：(1)根据石板搭建的小路面积一定，可得xy为定值，∴y与x之间的函数为反比例函数. 设y= (k≠0). 把x=20，y=3代入，解得k=60， ∴y与x之间的函数关系式为y= (x≥18). (2)这种设计不合理，理由如下： 当y=4时，解得 x=15， ∵15<18， ∴不符合题意，这种设计不合理. 课堂小结 谈谈你在这节课中，有什么收获？ 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $