精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

塘沽一中2025——2026学年度第一学期 高二年级第二次月考数学学科试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 10 B. 19 C. 21 D. 29 6. 如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 7. 已知点，在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 8. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 11. 数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 12. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 14. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 15. 已知是公比为2的等比数列，若，则______． 16. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 17. 已知数列的前项和为，且，则________ 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为___________. 19. 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差，现给出以下命题： ①若数列满足，则该数列不是比等差数列； ②若数列满足，则该数列是比等差数列，且比公差； ③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有正确的序号是_________； 三、解答题 20. 已知椭圆：的焦距为4，且经过点. （1）求椭圆M的标准方程； （2）若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 21. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 22. 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 23. 已知为正项等差数列，，为的前项和. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2025——2026学年度第一学期 高二年级第二次月考数学学科试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 2. 双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】将双曲线化为标准式可得， 则，即， 且其实轴长是虚轴长的2倍，即，解得， 即， 离心率. 故选：C 3. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【详解】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 4. 在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点关于坐标轴及平面对称得出点，再应用空间向量的数量积坐标公式计算求解. 【详解】由已知得点关于轴的对称点为， 点关于坐标平面的对称点为， . 故选：A. 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 10 B. 19 C. 21 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 6. 如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 【答案】B 【解析】 【分析】归纳出递推公式，再累加求通项即可. 【详解】记第层有个球，则，，，，， ，，，， 则第30层的小球个数为， . 故选：B 7. 已知点，在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得Q点的轨迹为圆，转化为圆上点与直线距离的最小值，利用圆心到直线的距离减半径得解. 【详解】由可得， 所以圆心C为，半径为， 又，所以， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， 设到直线的距离为，则， 所以的最小值为， 故选：B 8. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 9. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得曲线为圆的右半圆，数形结合，再利用切线性质计算即可得解. 【详解】由，可得，且， 故曲线为圆的右半圆， 作出直线与曲线的图象如下图所示： 当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，， 且有，解得， 当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时； 当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时， 结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点. 故选：A. 10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案. 【详解】在数列中，，， 因此数列是以3为周期的周期数列，而，所以， 故选：D 11. 数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，数列是以1为首项，公差为4的等差数列，，设，可得是递减数列，可得的最大值，代入可得答案. 【详解】解：由题意：数列满足，，可得且， 所以数列是以1为首项，公差为4的等差数列，可得，，，设， 则，所以是递减数列，，即， 所以，可得，又因为,故的最小值为10， 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列前n项的和及数列与不等式的综合，综合性大，属于难题. 12. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交双曲线于点，连接，由已知条件得到四边形为矩形，再由双曲线的定义和勾股定理求出的关系，即可求解. 【详解】 如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接， 因为，且以为直径的圆恰好过点， 所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形. 设，则，，， 因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知， ，， 所以，， 所以在直角，中，由勾股定理可得， ，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由双曲线的定义得到，， 关键二：在直角，中，由勾股定理列出方程组. 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定准线方程，结合抛物线的定义确定点P的纵坐标，代入即可求解. 【详解】由题可知抛物线即的准线方程为. 设点，根据抛物线的定义可知，即. 由抛物线方程可得，即，所以点P到y轴的距离为. 故答案为： 14. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离. 【详解】记的焦点为，则， 由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离， 故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和 其最小值为点到直线的距离. 故答案为：. 15. 已知是公比为2的等比数列，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将两个等式左右分别相除，借助于公比，找到两式间的数量关系即得. 【详解】记等比数列的公比为，则. 因， 故． 故答案为：200. 16. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 17. 已知数列的前项和为，且，则________ 【答案】57 【解析】 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，所以， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，解得，因此双曲线的标准方程为. 故答案为：. 19. 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差，现给出以下命题： ①若数列满足，则该数列不是比等差数列； ②若数列满足，则该数列是比等差数列，且比公差； ③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有正确的序号是_________； 【答案】①② 【解析】 【分析】①数列为斐波那契数列,根据数列的性质代入化简即可判断; ②数列为等比数列,所以代入公式化简即可判断; ③利用具体数列,代入即可判断; ④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断. 【详解】对于①,数列为斐波那契数列, 所以常数 不满足比等差数列的定义,所以①正确; 对于②, 数列,则 满足比等差数列的定义,所以②正确; 对于③,设等比数列,则,所以等比数列一定是比等差数列; 当等差数列为常数数列时, 也是比等差数列,所以③错误; 对于④, 是等差数列，是等比数列,所以设 则 所以常数 不满足比等差数列的定义,所以④错误. 综上可知, ①②正确 故答案为: ①② 【点睛】本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题. 三、解答题 20. 已知椭圆：的焦距为4，且经过点. （1）求椭圆M的标准方程； （2）若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程； （2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 21. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知条件求出等比数列的公比，再求通项即可； （2）先由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，然后由分组求和法及公式法求数列的前n项和即可. 【详解】解：（1）因为是正数等比数列，且 所以， 即 分解得， 又因为，所以， 所以数列的通项公式为； （2）因为是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n项和，属中档题. 22. 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，先得到的值，再根据椭圆上的点可求，得到椭圆的标准方程. （2）方法1：设直线方程：，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理，表示出，进而表示出的面积，利用基本不等式求三角形面积的最大值.方法2：设直线方程：，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理，表示出，进而求弦的长，结合点到直线的距离，求三角形的高，可表示三角形的面积，再利用导数分析函数的单调性，求三角形面积的最大值. 【小问1详解】 设椭圆的右焦点，则， 由点在椭圆上可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：如图： 由题意，直线的斜率显然不为0，设直线的方程为，代入椭圆的方程，则，其中，解得， 设，则， ， 令，由得，， （当且仅当时，等号成立）， 所以面积的最大值为. 法二：由题意，直线的斜率一定存在，设的方程为，代入椭圆的方程， 则，其中，解得， 设，则，可得， 点到直线的距离为， ， 令，令， 在区间上递增，在上递减， 所以时，， 所以面积的最大值为. 23. 已知为正项等差数列，，为的前项和. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 因为，所以 裂项化简通项 所以 因为，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，得到，所以. （2）先求出，代入得到，利用错位相减法求得； （3）化简得到，利用裂项相消法求出，则 【小问1详解】 利用等差数列性质：，结合 所以 是方程 的根， 因为为正项等差数列，所以公差，，所以 由 ，所以 所以 【小问2详解】 由（1）知等差数列前n项和： 所以，利用错位相减法求前项和， 两式相减得到 所以 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $