精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年高二上学期第二次学情调研检测数学试卷

府谷中学2025年秋高二年级第二次学情调研检测卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章4.1—4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 点与椭圆的位置关系为（ ） A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定 5. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 8. 已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 11. 点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（ ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为 _________ 13. 设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______． 14. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则点到直线的距离是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 16. 如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 18. 已知点、，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025年秋高二年级第二次学情调研检测卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章4.1—4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B 2. 已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据，分析规律，即可得答案. 【详解】由题意可知1，4，9，16，…的通项公式可能是. 故选：C. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】由直线，可化为，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，又因为，所以. 故选：A 4. 点与椭圆的位置关系为（ ） A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系. 【详解】，可知点在椭圆内． 【分析】故选：B. 5. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆C过原点可得半径，结合圆的标准方程即得解. 【详解】由题意，圆心，半径， 故圆C方程为. 故选：B 6. 已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进而可求出公差. 【详解】因为，解得， 所以公差． 故选：C． 7. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义得，求出，再分析求解即可. 【详解】根据抛物线定义得：，解得，所以， 所以. 故选：B. 8. 已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得圆心与半径，求得面积最大时，，进而计算即可求得的值. 【详解】由，得，可得圆心，半径， 由，当最大时，， 此时点到直线的距离为， 设线段的中点为，则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式可判断A；看向量是否有倍数关系可判断B；根据数量积的坐标运算，可判断C；根据向量的坐标运算结果可判断D. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以不存在使，所以B不正确； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D不正确． 故选：AC． 10. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可. 【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确， ∴到直线的距离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11. 点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（ ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义判断A；利用椭圆中点的纵坐标的取值范围判断B；利用椭圆的定义和基本不等式判断C；利用椭圆的定义和二次函数的最值判断D. 【详解】由，可得，则， 即， 因为点在椭圆上，所以. 对于A，的周长为，故A错误； 对于B，设，因为， 所以时，即点在短轴端点时，的面积取得最大值，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为4，故C正确； 对于D，由上分析，可得，故， 因为，即， 所以当或时，取得最小值1，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为 _________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意，渐近线为，所以，解得． 考点：双曲线的渐近线． 13. 设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和的性质直接求解即可. 【详解】由题意可得． 故答案为： 14. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则点到直线的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】由题意得，，，，， 设点到直线的距离为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以 . 16. 如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正四棱柱中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，而， 则，取，得，又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】（1），； （2）证明:由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【小问1详解】 由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； 【小问2详解】 略 18. 已知点、，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹的方程； （2）求出圆的方程，分析可知，圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由得， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 解：∵点的坐标为且圆与轴相切，∴圆的半径为， ∴圆的方程为， ∴圆与圆两圆心的距离为， ∵圆与圆有公共点，∴， 即，且，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解； （2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程. 【小问1详解】 将分别代入双曲线C得:, 解得,所以. 【小问2详解】 ,所以双曲线的右焦点为 当直线的斜率不存在时, 此时,, , 以为直径的圆不经过坐标原点； 直线的敘率存在,设 联立,消去并整理得, 其中,即, , 以为直径的圆经过坐标原点, ,即， ， ,整理得,解得， 所以即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $