1.5 角平分线（课件）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质与判定定理，通过“动手折一折”活动引导学生发现“角平分线上的点到两边距离相等”，经证明（AAS全等）得出性质，再通过逆命题讨论和证明（HL全等）引出判定，结合归纳对比表格构建知识支架，帮助学生理解应用脉络。 其亮点是以“探索—发现—猜想—证明”为主线，折纸活动培养数学眼光，证明过程发展推理能力，几何语言与对比表格规范数学表达。含折纸探究、性质判定对比、实际应用题等实例，学生能提升探究与推理意识，教师可直接用于情境创设和分层教学。

北师大版 八年级下册 5.角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 1 学习目标 1. 探索证明角平分线的性质和判定定理。 2.能运用角平分线性质和其判定解决实际问题。 3.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力。 2 情境导入 动手折一折： ①在∠AOB的角平分线上任取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E。 ②将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？ ③改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？ O E C B A D 进行新课 知识点1 角平分线的性质 O E C B A D 通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD = PE。 O A B C 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°。 ∵ ∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）。 ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的性质： 应用所具备的条件： ①角的平分线； ②点在该平分线上； ③垂直距离。 定理的作用：证明线段相等 O A B P D E 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 几何语言： ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为E，F， ∴PE=PF 角平分线的性质： O A B P D E 练一练 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB。若AC=2，DE=1，则S△ACD=______。 1 F DF=DE=1 S△ACD= AC·DF= ×2×1=1 尝试·思考 知识点2 角平分线的判定 你能写出这个定理的逆命题吗？ 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 逆命题 它是真命题吗？ 角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。 假命题 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 如何证明？ 已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ，且 PD = PE。 求证：OP 平分∠AOB。 O A B 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°。 ∵ PD=PE，OP = OP， ∴Rt△DOP ≌Rt△EOP（HL）。 ∴ ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）。 ∴OP平分∠AOB。 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 角平分线的判定： 应用所具备的条件： ①位置关系：点在角的内部； ②数量关系：该点到角的两边距离相等。 定理的作用：判断点是否在角平分线上 O A B P D E 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 角平分线的判定： O A B P D E 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 例1 如图，在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在边 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长。 A B C D E F 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF， ∴AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)。 又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°。 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。 练一练 如图，BD=CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD交于点F。求证：点F在∠A的平分线上。 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠FDB=∠FEC=90°。 又∵∠BFD=∠CFE，BD=CE， ∴△BDF≌CEF（AAS）。 ∴FD=FE。 又∵FE⊥AC，FD⊥AB， ∴点F在∠A的平分线上。 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 归纳： O A B P D E O A B P D E 1. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E。若CD=2，CE=1，则点D到AB的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 随堂练习 B 2. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若OC=OD，则∠AOQ的度数为_______。 35° 【教材P41 随堂练习 第1题】 3.如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500m，请你在图中标出它的位置（比例尺为1 : 20000）。 O 4. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD。求证： （1）DE平分∠ADC； F 证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于点F。 ∵AE平分∠BAD，∠B=90°， ∴BE=FE。 ∵E是BC的中点， ∴BE=CE，∴CE=FE。 又∠C=90°，EF⊥AD， ∴DE平分∠ADC。 4. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD。求证： （2）AB+CD=AD。 证明：（2）由（1）知BE=FE=CE。 在Rt△ABE和Rt△AFE中， AE=AE，BE=FE， ∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）。 ∴AB=AF。 同理可得DF=CD。 ∴AB+CD=AF+DF=AD。 F 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 布置作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $北师大版 八年级下册 第2课时 三角形内角的平分线 1 学习目标 1.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”。 2.会运用三角形内角的平分线的性质和判定解决问题。 2 复习回顾 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E O A B P D E O A B P D E 进行新课 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD。 E D A B C ∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。 ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。 ∴∠BDE=90°– 45°= 45°。 ∴BE = DE（等角对等边）。 在等腰直角三角形 BDE 中， cm（勾股定理）。 ∴AC = BC = CD + BD = cm. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （2）求证：AB = AC + CD。 E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。 ∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。 ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD。 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内的一点。 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 发现：交点到三条边的距离相等。 你能证明这个结论吗？ 例3 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。 求证：∠A的平分线经过点P。 A B C P M N 证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F。 ∵BM是△ABC的角平分线， ∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。 同理，PE=PF。 ∴PD=PE=PF。 ∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即 ∠A的平分线经过点P。 A B C P M N E F D 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC AB·OE BC·OD AC·OF = (AB+BC+AC)·OD 练一练 1. 如图，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是_______。 E F 30 OE OD OF 相等 练一练 2. 如图，在△ABC中，∠B=100°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC的度数是（ ） A.130° B.140° C.150° D.160° B ∠BAC+∠BCA=180°－∠B=80° ∠DAC+∠DCA= (∠BAC+∠BCA) =40° ∠ADC=180°－(∠DAC+∠DCA) =140° 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 随堂练习 1. 如图，O是△ABC三条角平分线的交点。若△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，则S△ABO ：S△BCO ：S△CAO =_________。 4 : 5 : 6 2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条角平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 C 【教材P43 随堂练习 第1题】 3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N。 求证：FE=FD。 G 证明：如图，过点F作FG⊥AC于点G。 ∵AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，且FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM=FG=FN=FG。 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°。 ∴∠DAC=15°，∠ECB=45°。 在△ADC中，∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=75°。 在△BCE中，∠BEC=180°-∠B-∠ECB=75°。 ∴∠BEC=∠ADC，∴∠FEM=∠FDN。 在△FEM和△FDN中， ∠FEM=∠FDN，∠EMF=∠DNF=90°，FM=FN， ∴△FEM≌△FDN（AAS）。∴FE=FD。 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，且BD=DF。 （1）求证：CF=EB；（2）若CD=4，DB=5，求AF的长。 （1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=DC，△CDF和△EDB是直角三角形。 在Rt△CDF和Rt△EDB中， DF=DB，CD=ED， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）。 ∴CF=EB。 （2）解：由（1）可知DE=DC=4， ∴CF=EB= =3，BC=CD+BD=9。 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD=AD，DC=DE， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）。 ∴AC=AE。 设AF为x，则AC=AF+CF=x+3，AB=AE+BE=x+3+3。 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2， 即(x+3)2+92=(x+3+3)2，解得x=9， ∴AF=9。 课堂小结 A B C P M N E F D 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 布置作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $