精品解析：湖北省重点高中智学联盟2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025年秋季高一年级12月月考 数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B 2. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先需要分别求解集合和集合，然后根据充分不必要条件的定义，确定集合与集合的关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】由得：，∴， 解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集， 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，则需满足； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 3. 下列命题中的真命题是（ ） A. B. C. 函数和函数的图象在定义域内有且只有三个交点 D. “”是“”的充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过推理分析判断A项不正确；通过举反例可判断B项不正确；利用作图观察分析可判断C项；利用充要条件的判断方法判断D项. 【详解】对于A，因为，所以不存在，满足，故A错误； 对于B，当时，，即不成立，故B错误； 对于C，由作图可知，两函数图象在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点， 故共有三个交点，即C正确； 对于D，由“”易得“”，即“充分性”成立； 若“”，则“”不成立，如，满足， 但推不出，即“必要性”不成立. 故“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：C. 4. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断. 【详解】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 5. 若函数，且满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得在上单调递增，结合分段函数的单调性要求即可求解. 【详解】解：∵对任意的实数都有成立， ∴函数在上单调递增， ∴,解得， 故选：C 6. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的性质得到函数在和上函数值的正负，由二次函数的性质可知方程的根的情况，从而建立关系式，然后求得的最大值. 【详解】， 当，，当， ∴当时，，当时，， ∵函数是一个开口向下的二次函数， ∴的一个根小于等于0，一个根为1， 则，，所以的最大值为1， 故选：D 7. 设，则取最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可变形为，再通过基本不等式求其最小值并确定取最小值时的值即可. 【详解】因为 ， 因为，当且仅当时等号成立， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，，，即，，时，等号成立，此时. 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，函数在上单调递增，化简为的形式，即可得出答案. 【详解】构造函数，可知函数为偶函数，不妨设，， 因为，所以， 所以，即，因此函数在上单调递增； 又 由于，故. 故选: B 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 10. 设，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据判断A；直接利用基本不等式求解判断B；结合基本不等式“1”的用法判断C；利用特殊值法检验判断D，也可以利用赫尔德不等式或权方和不等式求解判断D. 【详解】解：选项A：因为，且，由可知,又，解得，故A正确， 选项B：由，当且仅当时取等号，此时，解得，故B错误； 选项C：因为， 当且仅当时取等号，此时，故C正确， 选项D：方法一：代入，故D错误， 方法二：赫尔德不等式，当且仅当时等号成立,故的最小值为，小于，故D错误； 方法三：权方和不等式，即，当且仅当时等号成立，故的最小值为，小于，故D错误； 故选：AC. 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是减函数 D. 的值域是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，通过计算和的值，从而判断不是偶函数；对于选项B，利用奇函数定义，通过计算，证明是奇函数；对于选项C，通过分析的表达式，得出在上是减函数；对于选项D，先求的值域，再根据高斯函数定义，得出的值域是. 【详解】∵， ， ∴，则不是偶函数，故A错误； ∵的定义域为， ， ∴为奇函数，故B正确； ∵，又在上单调递增， ∴在上是减函数，故C正确； ∵，∴，则，可得 即，∴，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：________________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】根据指数幂与对数的运算公式，可得： 故答案为：. 13. 已知函数，则不等式的解集为________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用函数的奇偶性定义证明是上的奇函数，分析判断其为上的增函数，利用以上函数的性质求解抽象不等式即可. 【详解】令，函数的定义域为，关于原点对称， 由 ，即为定义在上的奇函数. 因和为增函数，设，则在定义域内单调递增， 且在上单调递增，则在上单调递增函数， 故函数在上是单调递增函数.则等价于， 即，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知集合，，设，且，又中所有元素之和为234，则____________，________________. 【答案】 ①. 1 ②. 15 【解析】 【分析】根据得得，进而得，此时中必定有一个为3，通过假设不成立得，再根据即可得，. 【详解】因为，， 所以 因，所以，， 若,则,显然结合中最小的元素不小于4，此时无法满足, 所以, 因为，所以 因为 所以中必定有一个为3， 若，则，由于中所有元素之和为234，故，此方程没有整数解，故不成立， 所以，此时， 因为中所有元素之和为234，故， 因为，故当，中无正整数解， 所以 当，则，无整数解， 当，则，解得或（舍）， 所以，此时，满足题意 所以， 故答案为：；. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. （1）设集合，，求； （2）设命题：对任意，不等式恒成立， 命题：存在，使得不等式成立， 若命题、都是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求解集合、，再根据集合并集的定义求解即可. （2）由命题、都是真命题，可以得到以及，求解即可. 【详解】（1）由，得集合， 由，得集合， 则； （2）命题：对任意，不等式恒成立， 即 ，当时，取到最小值， ∴，∴ 所以为真命题时，实数的取值范围是. 命题：存在，使得不等式成立， 只需，而在实数集上单调递增， 所以当时，取到最大值为， ∴， 故命题都是真命题，实数的取值范围是. 16. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） （2）当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元 【解析】 【分析】（1）根据条件得到销售额为（万元），分和两种情况讨论得到利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）由，则分两种情况，分别在对应范围内利用二次函数的对称轴和基本不等式讨论最大值，最后取最大者即为最大利润. 【小问1详解】 每辆售价 6 万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为（万元） 当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 当时，， 这个二次函数的对称轴为，所以当时，为最大值， 当时，， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即当时，取到最大值2300， ∵，∴当时， 即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元. 17. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求证：当时，恒有； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若，求不等式的解. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）运用赋值法，令，代入求出，由条件舍去0，得到，由于，时，只需时，即可，令，则，对讨论即可； （2）运用函数的单调性定义证明，令，则，由时，，得，再由，得到，再由（1）得证； （3）根据条件，令，求出，再令，求出，再根据得到，结合单调性解出即可． 【小问1详解】 证明：已知定义在上的函数满足， 令，则， 又当时，，所以，即， 当时，则.在中， 令，有，所以， 综上：当时，恒有 【小问2详解】 证明：设是上的任意两个实数，且， 则，且， ， 由第一问可知当时，恒有，且， 所以， 因此函数在上单调递增； 【小问3详解】 若，求不等式的解， 在中，令，则，即， 令，则， 不等式等价于， 即，即， 所以不等式的解集为. 18. “函数图象关于原点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足. （1）若定义在上的函数图象关于原点对称，且当时，， ①求函数的解析式； ②对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. （2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数图象关于点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.若定义在上的函数的图象关于对称，且当时，. ①判断函数在上的单调性并且证明； ②关于的方程在上有四个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；② （2）①单调递增，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设，得到；再由，即可求得的解析式； ②根据题意，求得在上为单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为对于任意的，等价于恒成立，结合的单调性，列出不等式，即可求解； （2）①根据题意，当时，得到，结合求得的解析式，利用函数单调性的定义和判定方法，即可证得在上单调递增； ②由，求得有三个零点，根据题意，得到方程有且只有异于上述三个零点的一个根，利用的单调性，对称性，结合图象，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：①因为定义在上的函数图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 因为时， 设，则，可得， 当时，，可得， 所以函数解析式为. ②当时，，可得在为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数，且，即函数的图象过原点， 所以在上为单调递增函数，且为的奇函数， 由对于任意的，不等式恒成立， 即对于任意的，等价于恒成立， 即对于任意的，等价于恒成立， 因为在上为单调递增函数， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：①因为定义在上的函数的图象关于对称， 且当时，， 由，当时，； 当时，， 所以， 设，且， 则， 因为，所以， 所以，即，所以函数在上单调递增； ②由①知，函数， 当时，令，即，解得； 当时，； 当时，令，即，解得， 所以函数有三个零点，分别为， 因为方程在上有四个不同的零点， 所以原方程等价于有且只有异于上述三个零点的一个根， 由①知在和上单调递增，且函数的图象关于对称， 当时，；当时，， 要使得只有一个根，即与的图象只有一个公共点， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围为. 19. 用表示中的最小值，用表示中的最大值. （1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，函数，试讨论函数的零点的个数. 【答案】（1） （2） （3）2个 【解析】 【分析】（1）根据中间量比较大小即可求解； （2）解法一：由得，再结合基本不等式求解即可；解法二：由得，令，转化为求的最大值即可； （3）求函数的零点，结合判别式，分别在，或，或时研究函数的零点，由此求结论. 【小问1详解】 由对数函数性质知，即， 又由指数函数性质知，即 又因为 所以 【小问2详解】 解法一：由，可得 则， 所以，当且仅当，取等号，所以的最大值为. 解法二：由，可得， 下面研究的最大值：（此处可以把除下来变为对勾函数求也行）， 令，则有， 由及可得，故的最大值为， 接下来验证等号的条件 当时，，所以取等号的条件为，即时取等号， 所以，故的最大值为. 【小问3详解】 解：，，由可得， 对，则， ①当，即时，恒成立，有2个零点，分别为1和； ②当，即或 （i）当时，，此时，是的2个零点； （ii）当时，，此时是的2个零点； ③当，即或，有2个零点，记为， （i）当时，，且关于对称，且， 又，，所以，此时，有2个零点，分别为和 （ii）当时，关于对称，且， ，所以，此时，有2个零点，分别为1和， 综上所述：无论取何值时，恒有2个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高一年级12月月考 数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C D. 2. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中的真命题是（ ） A. B. C. 函数和函数的图象在定义域内有且只有三个交点 D. “”是“”的充要条件 4. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，且满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A B. C. 2 D. 1 7. 设，则取最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 10. 设，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是减函数 D. 的值域是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：________________. 13. 已知函数，则不等式的解集为________________. 14. 已知集合，，设，且，又中所有元素之和234，则____________，________________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. （1）设集合，，求； （2）设命题：对任意，不等式恒成立， 命题：存在，使得不等式成立， 若命题、都是真命题，求实数的取值范围. 16. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2025年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） （2）当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 17. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求证：当时，恒有； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若，求不等式的解. 18. “函数图象关于原点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足. （1）若定义在上的函数图象关于原点对称，且当时，， ①求函数的解析式； ②对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. （2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数图象关于点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.若定义在上的函数的图象关于对称，且当时，. ①判断函数在上的单调性并且证明； ②关于的方程在上有四个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 用表示中的最小值，用表示中的最大值. （1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，函数，试讨论函数零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $