专题03 位置与坐标（必备知识+7大题型+分层训练）（期末复习课件）八年级数学上学期新教材北师大版

这是北师大版八年级数学上学期期末复习课件，聚焦“位置与坐标”专题，以学情分析为起点，梳理平面直角坐标系概念、点的坐标特征等必备知识，通过七种重难点题型突破，搭配分层验收练习，构建完整复习学习支架。 资料特色鲜明，融合核心素养，如用坐标表示地理位置培养应用意识，规律探究题型发展创新思维，典例与变式结合强化推理能力。分层练习满足不同学生需求，帮助学生夯实基础提升能力，为教师提供系统教学资源。 八年级学生处于初中知识深化阶段，需巩固平面直角坐标系等基础，提升综合解题能力，为后续函数等内容学习和中考复习奠定基础。

专题03 位置与坐标 八年级数学上学期 期末复习大串讲 北师大版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、原点、象限），明确点的坐标表示方法 基础必考点，常出现在小题，是后续知识的基础 点的坐标特征 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的坐标规律 高频考点，易与对称、象限问题综合考查，小题为主，易错点集中在对称点坐标的符号变化 用坐标表示地理位置 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标描述地理位置，或根据坐标确定地点 应用考点，多以实际应用题形式出现，考查建模和应用能力 轴对称与坐标变化 能根据轴对称的性质（关于x轴、y轴对称），推导并应用点的坐标变化规律；反之，能根据坐标变化判断轴对称关系 核心考点，易与几何图形的轴对称综合考查，在小题和解答题中均有体现，易错点为坐标变化规律的混淆 平面直角坐标系的概念 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、原点、象限），明确点的坐标表示方法 基础必考点，常出现在小题，是后续知识的基础 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 知识点 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴（x轴、y轴）组成，交点为原点；坐标用有序数对(x,y)表示，x是横坐标（对应x轴），y是纵坐标（对应y轴）。 示例 点A(3, -2)，横坐标是3，纵坐标是-2，位于第四象限。 易错点 混淆横、纵坐标的顺序，如将点(2,3)写成(3,2)；误判点所在象 限，如点(-1,-3)错认为在第二象限（实际在第三象限）。 平面直角坐标系的基本概念 知识点01 知识点 各象限内点的坐标符号：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 示例 点B(-5, 1)关于x轴对称的点为(-5, -1)，关于y轴对称的点为(5, 1)。 易错点 对称点坐标符号变化错误，如关于y轴对称的点误将横坐标保持 不变；混淆x轴、y轴上点的坐标特征，如认为x轴上点横坐标为 0。 点的坐标特征 知识点02 知识点 可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点。 示例 以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，单位长 度1km，图书馆坐标为(2, 3)，即位于学校东2km、北3km处。 易错点 建立坐标系时原点、方向选择不当，导致坐标表示错误；单位长度与实际距离换算错误。 用坐标表示地理位置 知识点03 知识点 图形关于x轴对称时，各点横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称时，各点纵坐标不变，横坐标变为相反数。 示例 三角形顶点为C(1,2)、D(3,4)、E(5,1)，关于x轴对称后的顶点为 C'(1,-2)、D'(3,-4)、E'(5,-1)。 易错点 轴对称时横、纵坐标变化规律混淆，如关于x轴对称误改横坐标；未结合图形整体判断轴对称关系，仅单一改变点坐标导致图形变形。 轴对称与坐标变化 知识点04 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 判断点所在的象限 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 明确象限符号规律：牢记四个象限的坐标符号特征，这是解题基础。 - 第一象限：横坐标（）>0，纵坐标（y）>0（“+，+”） - 第二象限：横坐标（）<0，纵坐标（y）>0（“-，+”） - 第三象限：横坐标（）<0，纵坐标（y）<0（“-，-”） - 第四象限：横坐标（）>0，纵坐标（y）<0（“+，-”） 2. 先判符号，再对号入座：拿到点的坐标（）后，先 判断点所在的象限 题型一 解｜题｜技｜巧 分别判断x和y的正负，再对照上述规律，确定对应的象限。例如点（-3，2），=-3<0，y=2>0，对应第二象限。 3. 排除特殊情况：若=0或y=0，点在坐标轴上（x轴、y轴），不属于任何象限，需先排除这类情况再判断。 【典例1】（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：在平面直角坐标系中，点， 横坐标为-2025为负，纵坐标为为正， 故点在第二象限， 故选：B． B 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 解：∵，，， ∴点一定在第四象限， 故选：D． 【变式1-2】 （24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 解：点在第三象限内， ，， ， 故选D． D 平面直角坐标系中点的特征 题型二 解｜题｜技｜巧 1. 抓坐标符号定位置：核心是判断横（）、纵坐标（y）的正负。四个象限按“右上为一，逆时针递增”记符号：一（+，+）、二（-，+）、三（-，-）、四（+，-），非正负（=0或y=0）则在坐标轴上。 2. 记坐标轴特殊特征：x轴上点y=0，向右增大；y轴上点=0，向上y增大；原点坐标（0，0），是两轴交点，需优先排除这类非象限点。 平面直角坐标系中点的特征 题型二 解｜题｜技｜巧 3. 用对称关系快速推导：关于轴对称，不变、y变号；关于y轴对称，y不变、变号；关于原点对称，、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征。 【典例2】 （24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知点，根据条件解决下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上，求线段的长度． （1）解：∵点A在y轴上， ∴，解得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】 （24-25七年级下·吉林白山·期末）已知点． (1)若点P在轴上，求点P的坐标； (2)若点，轴，求线段PQ的长度． （1）解：点在轴上， ， 解得， ∴， ； （2）解：轴， ， ， ，   ． 【变式2-2】 （24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． （1）解：∵P点在过点且与y轴平行的直线上， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）由题意知，点M的坐标为，即， ∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴，解得． 已知平面直角坐标系中的对称点求参数 题型三 解｜题｜技｜巧 1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 - 关于轴对称：横坐标（）不变，纵坐标（y）变为相反数。 - 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（）变为相反数。 - 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 已知平面直角坐标系中的对称点求参数 题型三 解｜题｜技｜巧 2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。 【典例3】 （24-25八年级下·甘肃张掖·期末）若点和关于x轴对称，则的值是 ． 解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：2025 2025 【变式3-1】 （24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则 ． 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为： 12 【变式3-2】 （24-25八年级上·青海·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是 ． 解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 1 平面直角坐标系中作轴对称图形 题型四 解｜题｜技｜巧 1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 - 关于x轴对称：横坐标（x）不变，纵坐标（y）变为相反数。 - 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（x）变为相反数。 - 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 25 平面直角坐标系中作轴对称图形 题型四 解｜题｜技｜巧 3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。 26 【典例4】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示， 在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为，，按要求回答下列问题： (1)在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标； (2)画出关于x轴对称的图形； (3)求的面积． 27 （1）解：所建立的平面直角坐标系，如图所示： 点B的坐标为：； （2）解：所作如图所示： （3）解： ， 答：的面积为5． 28 （1）解：如图，即为所作； （2）解：由关于轴对称的点的坐标特征可知： ； （3）解：． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 【变式4-2】 （24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，. (1)求出的面积； (2)在图中作出关于轴的对称图形； (3)写出点的坐标． （1）解： （2）解：如图，为所作； （3）根据坐标系可得： 平面直角坐标系中的面积问题 题型五 解｜题｜技｜巧 1. “补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形。 2. “分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形（三角形、矩形），分别用公式（如三角形面积=底×高÷2）计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算。 3. 利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为纵坐标差的绝对值。非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度。 【典例5】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的 速度沿y轴正方向平移运动，设运动 时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？ （1）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴，， （2）即：，； 解：由题意得：，， 由（1）得，， ∴轴，即， 则三角形的面积， ∵的面积是12平方单位， ∴，解得， 即当秒时，的面积是12平方单位 【变式5-1】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求、的长； (2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E， 在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？ 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （1）解： 即， ，， ，， ，， 点，点， ，； （2）解：连接，t秒后，，， ； （3）解：存在． ∵， ∴， ∴，，， ， 只要，即可求证， 或， 或． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段交于第一象限的点B，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，点A，C均在x轴上，C点坐标为，线段． (1)A点坐标为______，B点坐标为______； (2)若线段上存在一点D，使 （O为原点），求D点纵坐标； (3)点是坐标平面内的动点，若满足 ，求a的取值范围． （1）解：∵点A，C均在x轴上，C点坐标为，∴， ∵线段， ∴， 又∵点A在x轴负半轴上， ∴， ∵点B在第一象限，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4， ∴． 故答案为：，； （2）∵， 又∵， ∴，即，解得， ∵点D在第一象限， ∴，即点D的纵坐标为2； （3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N， 则，，，，， ∵，即， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，令， ∵，即， ∴， ∴，解得或， ∵，∴， 当点与点重合，即时，点在同一直线上，无法构成三角形， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 解｜题｜技｜巧 1. 精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则（如“新距离”“特殊点”），将抽象描述转化为数学关系（如坐标公式、位置条件），避免理解偏差。 2. 结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念。 3. 用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误。 平面直角坐标系中新定义型问题 题型六 【典例6】 （24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． （1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得，∴， ∴点的坐标为，∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 41 【变式6-1】 （25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． （1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为 (0,2)， 故答案为：(0,2)； （3）解：∵点在轴的正半轴上， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为 ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为， ∴，即， ∴． 平面直角坐标系中规律探究问题 题型七 解｜题｜技｜巧  1. “列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号（1、2、3…），列出“序号-横坐标-纵坐标”表格，观察横、纵坐标随序号变化的规律（如倍数、加减、循环），例如序号n对应横坐标为n，纵坐标为2n。 2. 结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现（如绕原点旋转、在象限间移动），记录点所在象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标。 3. 用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反向检查是否满足坐标系中的位置特征（如对称、象限分布），确保规律正确。 【典例7】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． ． 解：由题意可知， ∴第四象限中的点为， ∵， ∴的坐标是，即． 故选：D 【变式7-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D. 解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴最左边的点的坐标为， 故选B． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）点在第（   ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：点的横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征， 因此点在第四象限． 故选D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） D 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． A 解：∵点N在y轴上：点N的坐标为． ∴，解得：． ∵点M在x轴上，点M的坐标为， ， 把代入得， 解得： 将和代入，得． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·期末）已知点P位于x轴上方，到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则点P的坐标为（　         　） A． B． C．或 D．或 解：根据题意，到x轴的距离为2，得到，到y轴的距离为5，得到，点P位于x轴上方，得到，得，， 故点P的坐标为或， 故选：D． D 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）与关于x轴对称的点的坐标为 ． 解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 5． （24-25八年级下·四川成都·期末）已知点向左平移4个单位后，到y轴的距离为2，则a的值为 ． 2或6 解：点向左平移4个单位后的对应点的坐标为：， ∵点到轴的距离为2， ∴， 解得：或． 故答案为：2或6． 53 6． （24-25七年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线l上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标为 ． 解：如图所示， 过点B作直线l的垂线，垂足为M， 根据垂线段最短可知， 当点C在点M处时，线段长度最小， 此时点C的坐标为． 故答案为：． 7． （24-25七年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第四象限，且点到轴的距离是1，求点的坐标． （1）解：点在轴上， ， 得，∴， ∴点的坐标为． （2）解：点在第四象限，且点到轴的距离是1， ， 解得， ， ∴点的坐标为． 8． （23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图．在边长为1的正方形网格中，三角形（点均在格点上），已知，点，点． (1)请根据图中B，C两点的坐标，画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标_____， (2)的面积为___________； (3)已知点是平面直角坐标系内一动点，若的面积为8，求的值． （1）解：∵点，点，∴平面直角坐标系如图所示： 则点A的坐标为． 故答案为：； （2）解：， ∴ 的面积为10．故答案为：10； （3）解：点在直线上， 根据题意，得， 解得或． 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．5 B． C． D．3 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离公式为， 将点代入公式，得：， 故选：B． B 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 解：∵点N在y轴上：点N的坐标为． ， 解得：． ∵点M在x轴上，点M的坐标为， ， 把代入得， 解得： 将和代入，得． 故选：A． A 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）下列说法：①若，则点在原点处；②点一定在第二象限；③若点，，且，则直线轴；④若点，则线段．其中正确是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 解：①：若，则或，此时点在坐标轴上，但不一定在原点，故①错误； ②：点的横坐标为负，纵坐标，满足第二象限的条件，故②正确； ③：点与的横坐标相同，且纵坐标不为0，因此直线PQ平行于轴，故③正确； ④：点与的纵坐标相同，线段的长度为横坐标之差的绝对值：，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：A． A 4．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长为， 设运动时间为t，∴，解得， ∴当时，点P、Q第一次相遇，则点P路程为，即在x的正半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第二次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第三次相遇，则点P路程为，即到达点D， ∴点； 当时，点P、Q第四次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第五次相遇，则路程为，即到达点A， ∴点； 当时，点P、Q第六次相遇，则路程为，即在x的正半轴上， ∴点； ∴五次相遇一循环，∴，∴点，故选：C． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）若点与点关于x轴对称，则的值为 ． 解：点与点关于x轴对称， ， ， ∴． 故答案为：． -2 6．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 解：设点P的坐标为，∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴，解得，∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵，∴ ，解得，∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·天津南开·期末）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为 ，此时点C的坐标为 ． 解：如图， 当时，线段最短， ∵点，若轴， ∴最小值为， ∴此时， 故答案为：，． 3 （-1，-1） 8．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ． 解：（1）由题知， 因为点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴，所以，解得， 则， 所以点P的坐标为 故答案为： （2）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， 所以，解得， 所以 故答案为：2024 （5，-1） 2024 9．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． （1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4，∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为，∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得： 或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $