专题01 勾股定理（必备知识+8大题型+分层训练）（期末复习课件）八年级数学上学期新教材北师大版

这是北师大版八年级数学上学期期末复习资料，以“分-记-破-过”为学习支架，涵盖期末考情分析、必备知识梳理、重难题型突破及分层验收，聚焦勾股定理及逆定理、实际应用等核心考点，配套典例与变式练习。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，通过网格问题培养几何直观，折叠问题提升推理能力，最短路径问题强化模型意识，如圆柱展开求路径体现空间观念，助力学生系统掌握知识，为教师教学提供清晰框架与实用资源。 八年级学生处于承上启下阶段，需巩固基础并提升综合应用能力，本资料通过分层设计和题型突破，帮助学生应对期末考，培养用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的能力。

专题01 勾股定理 八年级数学上学期 期末复习大串讲 北师大版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式（），并应用于直角三角形边长计算 基础必考点，在选择、填空、解答题中均有涉及，常结合实际场景或几何图形考查 勾股定理的逆定理 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断是否为直角三角形 高频考点，易与勾股定理结合考查，易错点在于对最长边的判断 勾股定理的实际应用 能将实际问题（如测量距离、高度，路径规划等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解 常以应用题形式出现，考查建模能力，需注意单位及实际意义的验证 勾股定理与网格、折叠、最短路径问题的综合 能结合网格特性、折叠性质、立体图形展开图，灵活运用勾股定理解决复杂几何问题 难点考点，综合性强，常出现在中档题或压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式（），并应用于直角三角形边长计算 基础必考点，在选择、填空、解答题中均有涉及，常结合实际场景或几何图形考查 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 知识点 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即（为直角边，为斜边）。 示例 若直角三角形两直角边为3和4，斜边c满足，即 ，解得c = 5。 易错点 混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式 （如错算为）。 勾股定理 知识点01 知识点 若三角形三边长满足，则该三角形为直角三角形，且为斜边所对的直角。 示例 三角形三边长为，因 ，故该三角形是直角三角形。 易错点 未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比 （如用比较，导致判断错误）。 勾股定理的逆定理 知识点02 知识点 将实际场景（如梯子靠墙、测距）转化为直角三角形模型，用定理求未知边长。 示例 建模时错判直角边与斜边（如将梯子底部距墙距离当作斜边）。 易错点 梯子长10米，底部距墙6米，设梯子顶端距地高为h，由 ，得h = 8米。 勾股定理的实际应用 知识点03 知识点 展开立体图形（圆柱、长方体）侧面为平面，用勾股定理求直角三角形斜边（即最短路径）。 示例 圆柱高8cm，底面半径3cm（周长18.84cm），展开侧面后直角 边为8cm和18.84cm，最短路径 易错点 展开方式错误（如圆柱未沿高展开），或误算底面周长。 最短路径问题（立体图形表面） 知识点04 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 判断勾股数 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 看奇偶性：勾股数中必有2个奇数1个偶数，或全为偶数（如3,4,5是“两奇一偶”，6,8,10是“全偶”），若不符合此规律，直接排除。 2. 用基本公式验证：对三个数，计算是否等于，这是最核心的判断标准，避免因“看着像”（如5,6,7）而误判。 判断勾股数 题型一 解｜题｜技｜巧 3. 找倍数关系：若一组数是某组基本勾股数（如3,4,5；5,12,13）的整数倍，那它也是勾股数（如3×2=6，4×2=8，5×2=10，6,8,10是勾股数）。 4. 排除常见错误组合：熟记非勾股数的“陷阱组合”，如7,8,9（）、9,10,11（），快速筛除错误选项。 【典例1】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 A、 是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、 是无理数，故1， ，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 解： C 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． D 解： A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式1-2】 （24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．， , 解： A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为, ，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． C 【变式1-3】 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 解： 选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． C 勾股定理解三角形 题型二 解｜题｜技｜巧 1. 明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过已知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形为直角三角形。 2. 锁定三边关系：牢记核心公式 a² + b² = c²（c为斜边），已知任意两边，直接代入公式求第三边；若遇平方差，可变形为 c² - a² = b² 计算。 勾股定理解三角形 题型二 解｜题｜技｜巧 3. 结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=ab=ch）联动求解。 4. 规范解题步骤：先标注直角、已知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股数），避免计算错误。 【典例2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为 ． 解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 15 【变式2-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ． 6 解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴．故答案为：6 【变式2-3】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D为中点，，交于点E， 交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求BE的长 （1）证明：延长到N，使，连接，， ∵D是中点， ∴， ∵在和中 ，∴ ∴，， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，即， 在中，，∴； 【变式2-3】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D为中点，，交于点E， 交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求BE的长 （2）解：设，则，,在中，， 在中，， 由（1）知，， ∴， ∴， 解得， ∴． 勾股定理与网格问题 题型三 解｜题｜技｜巧 1. 定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差”构成直角边。 2. 计算边长：设网格小正方形边长为1，水平/竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3. 解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“×直角边1×直角边2”；判断三角形形状，算三边长度后验证是否满足勾股定理。 【典例3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． C 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． B 解：如图：连接，∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． （1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接，根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【变式3-3】（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． （1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． A B B A C 勾股定理与折叠问题 题型四 解｜题｜技｜巧 1. 抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合，二者长度一致），标注在图中。 2. 设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x，结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段，尤其注意直角三角形的三边。 28 勾股定理与折叠问题 题型四 解｜题｜技｜巧 3. 构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理公式列方程，解方程即可求出x的值。 4. 验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合理数值。 29 【典例4】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 C 解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，,解得， 故选：A． 30 解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ，解得：， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【变式4-2】 （24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为AF，点E与点D恰好重合．则 ． 解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】 （24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线 段的值最小时，的长度为 ． 解： （1）在长方形中， ∵F为线段的中点，． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ．解得．．故答案为： 解：（2）连接， ， ∴当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 勾股定理的实际应用问题 题型五 解｜题｜技｜巧  1. 建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2. 提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量，设为。 勾股定理的实际应用问题 题型五 解｜题｜技｜巧 3. 套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入（或变形公式）列方程，求解未知量。 4. 结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知线段长度，避免逻辑矛盾。 【典例5】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A 、H、B在一条直线上），并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？ （结果保留两位小数） （1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 【变式5-1】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． （1）解：∵， ∴ 在中， ，， 由勾股定理得： 答：的长度为 【变式5-1】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． （2）解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； （1）解：∵，∴ 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，，， ∴，∴，即，∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 解｜题｜技｜巧 1. 化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2. 确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高；长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边是剩余棱长。 利用勾股定理求最短路径问题 题型六 解｜题｜技｜巧 3. 用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式 c = ，计算出的斜边长度即为最短路径。 4. 验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 利用勾股定理求最短路径问题 题型六 【典例6】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为 ． 解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长， 此时，， ∴， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 45 【变式6-1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米），米， 在中，（米）． 最短路径为17米． 故答案为：17． 【变式6-2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点出发，经过长方体的前面和右面到顶点的最短路程为 ． 解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行 大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面上面，由勾股定理得； （2）展开前面右面，由勾股定理得； （3）展开前面左面和上面，由勾股定理得； 最短路径的长为 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组， 在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设，则，则_______________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 解：（1）根据题意得：； 故答案为：；PD； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时PA+PD的值最小，且， 即PA+PD的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴PA+PD的最小值为，∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长AB=3，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时PA+PD的值最小，且， 即PA+PD的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴PA+PD的最小值为7， ∴的最小值为7． 勾股定理及逆定理的综合问题 题型七 解｜题｜技｜巧 1. 明确定理适用场景：先判断用勾股定理（已知直角三角形，求边长）还是逆定理（已知三边，判断是否为直角三角形），题干无直角时，优先用逆定理验证。 2. 双向联动分析：若先通过逆定理（验证a²+b²=c²）判定三角形为直角三角形，再用勾股定理求未知边；若已知直角，可先算边长，再用逆定理验证其他三角形是否为直角。 勾股定理及逆定理的综合问题 题型七 解｜题｜技｜巧 3. 标注关键条件：将已知边、角及由定理推出的等量关系（如直角、等长线段）标注在图中，理清多三角形间的关联（如公共边、互补角）。 4. 分步计算验证：复杂问题分两步，先判定直角（逆定理），再计算边长（勾股定理），每步结果代入下一步验证，避免逻辑漏洞。 【典例7】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴的长为． 【变式7-1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． （1）解：，理由如下： ，，， ， 【变式7-1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 【变式7-2】（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知AB=90米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． （1）解：， 理由如下：在中，AB=90米，米，米， ， 所以= ， ． 【变式7-2】（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知AB=90米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 【变式7-3】 （24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ （1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案， 理由如下：∵， ∴ ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 解｜题｜技｜巧 1. 验证技巧：常用“面积法”，通过割补图形（如赵爽弦图、总统证法），使直角三角形三边构成的正方形/多边形面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”，从而推导a²+b²=c²；验证时需明确图形分割后的全等关系。 2. 应用技巧：先建立直角三角形模型，确定已知边（直角边/斜边），未知量设为x；若遇非直角场景，先通过逆定理判定直角，再代入勾股定理公式计算；结果需结合实际（如长度为正），复杂问题可分步拆解图形关联。 勾股定理验证及应用问题 题型八 【典例8】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，，∴， ∵，，∴， 又∵，∴． ∴的长为． （1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ∴=13， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴，又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短. （2）作交的延长线于E．在中，∵DE=AB=160米，米，∴（米）．故答案为：200． 【变式8-2】（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为H，请求出的值． （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） D 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） B 解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确．故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． A 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一只无盖圆柱形水杯高为，底面周长为，在水杯下底面A处有一只蚂蚁，想吃到水杯内侧B处的食物，已知B处距下底，则蚂蚁爬行的最短路径长 ． 解：圆柱形水杯展开图如下，关于水杯上边沿的对称点为点，∵一只无盖圆柱形水杯高为，底面周长为， ∴，， ∵B处距下底， ∴，， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 6.25 解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、PQ，若，，则的最小值为 ． 解：在上取点E，使得，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、PQ，若，，则的最小值为 ． ， ∴ ∴， ∴， 过点C作于点H， ∴， ∵在中，，，∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 7．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． （1）解：由网格得：， 故答案为：； 7．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 解：（2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 解：A、∵， ∴1，1，可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； B、∵， ∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； D、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长度，故此选项符合题意； 故选：D． D 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（ ） A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有 B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，边、、的长分别是，，，则 D．在中，若，，，分别是，，的对边，则 解：A、无法确定、、哪条是斜边，故无法确定，此说法错误； B、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误； C、由，故是斜边，则，此说法错误； D、由，可得是斜边，故，此说法正确． 故选：D． D 3．（24-25八年级下·云南·期末）如图，从电线杆离地面8米（米）处向地面拉一条长为10米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边， ∴是直角三角形， 又∵米，米， ∴（米）， 故选：B． B 4．（24-25八年级下·青海玉树·期末）若的三边长分别为，则是 三角形．（填“直角”或“锐角”或“钝角”） 解：∵ ， (， ∴， 为直角三角形． 故答案为：直角． 直角 5．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ，∴DF=AB 阴影部分的面积， 故答案为：25． 25 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） （1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $