专题04 轴对称（知识必备+8大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学轴对称专题复习讲义通过表格对比、分层框架系统构建知识体系，梳理轴对称概念辨析、性质应用、线段垂直平分线、等腰（等边）三角形等核心知识点，清晰呈现折叠问题、最短路径问题等重难点的内在逻辑与考情规律。 讲义以“典例+变式”分层设计练习，聚焦折叠问题“找对应边-得等量关系-结合性质求解”三步法和“将军饮马”模型转化，培养几何直观与推理意识。分层练习覆盖基础、重难、综合，助力不同学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供实用支持。

专题04 轴对称（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称的概念辨析与性质应用 准确区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的概念，明确对称轴、对称点等相关概念，牢记“对称轴是直线”的核心特征。熟练掌握轴对称的基本性质，能运用这些性质解决线段相等、角相等的证明与计算问题。 基础考点，常以选择题、填空题形式出现 线段垂直平分线的性质与判定 探索并证明线段垂直平分线的性质定理与逆定理，能运用定理判断点是否在线段垂直平分线上、证明线段相等。 简单应用于线段相等的证明或点的位置判定 等腰（等边）三角形的性质与判定 深入理解并掌握等腰三角形的性质与判定方法；熟练运用等边三角形的性质与判定定理；牢记含30°角直角三角形的特殊性质，并能解决相关计算问题。 高频考点，常结合角度计算、线段相等证明考查。 折叠问题 牢记“折叠即对称”，提炼折叠问题的解题步骤：①找对应边、对应角；②利用轴对称性质得出等量关系；③结合三角形内角和、全等、等腰三角形性质求解。 高频考点，常结合三角形内角和、全等、等腰三角形性质考查角度或线段长度计算。 最短路径问题 熟练掌握“将军饮马”基本模型的转化逻辑，总结“和最小”“差最大”的不同转化方法，通过变式训练（如两直线、三动点）提升迁移能力。 高频压轴，利用轴对称将折线转化为直线，解决“将军饮马”及变式问题。 知识点01 轴对称及其性质 1.轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 2. 常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 等边三角形 3 各边上的高(或各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 对边中点的连线所在的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 3.成轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 4. 成轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 成轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条对称轴 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 5. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 6. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线 知识点02 线段的垂直平分线 1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 2. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 4.互逆命题和互逆定理 定义 关系 互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 (1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题； (2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 5.尺规作图——作线段的垂直平分线 1）作线段的垂直平分线 (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线. 2）经过直线外一点作这条直线的垂线 (1)以C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； (3)作直线CF，CF就是所求作的垂线． 6.作对称轴 1）作对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 2）作对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对称点； (2)连：连接这对对称点； (3)作：作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到对称轴. 知识点03 画轴对称图形 1.画轴对称图形 （1）方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （2）步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画三连”. 找 —在原图形上找特殊点； 画 —画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连 —依次连接各对称点. 2. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 3. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 4.在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 知识点04等腰三角形 1.等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. ①∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； ②∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； ③∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 2.等腰三角形的判定方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC 3.等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质(等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等 这两边所对的角也相等 证明角相等 判定(等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等 这两个角所对的边也相等 证明线段相等 4. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 (1)作线段AB=a； (2)作线段AB 的垂直平分线MN，交AB 于点D； (3)在MN 上取一点C，使DC=h； (4)连接AC，BC，则△ ABC 就是求作的等腰三角形． 知识点05等边三角形 1.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 2. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 3.含30°角的直角三角形的性质 （1）性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . （2）作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 题型一 轴对称及其性质 【典例1-1】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“美丽临夏”四个字的篆书，这四个字中，能看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【典例1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与点关于直线l对称， 线段被直线l垂直平分， 故选：B 【变式1-1】（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，与关于直线对称，则的度数为 度． 【答案】 【详解】解： 与关于直线对称， ， ， ， 的度数为， 故答案为：． 题型二 线段的垂直平分线 【典例2-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 【答案】A 【详解】解：对于A选项，一般的等腰三角形只有一条对称轴，故符合题意； 对于B选项，等边三角形有三条对称轴，故不符合题意； 对于C选项，正方形有四条对称轴，故不符合题意； 对于D选项，圆有无数条对称轴，故不符合题意； 故选：A． 【典例2-2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 【典例2-3】（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 【典例2-4】（24-25八年级上·广东珠海·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 【变式2-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ） A．图1 B．图1与图2 C．图2与图3 D．图1与图3 【答案】D 【详解】解：由图1可得，平分，符合题意； 由图2可得，点是的中点，所以是中线，不一定平分，不符合题意； 在图3中， 由作图可得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴平分，符合题意； ∴综上所述，能判断射线平分的是图1与图3． 故选：D． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：连接． ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上．    ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． 题型三 用坐标表示轴对称 【典例3-1】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点和关于轴对称， ，， ， ． 故选：D． 【典例3-2】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）若点的坐标是，点的坐标是，则与满足（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．轴 D．轴 【答案】A 【详解】解：点的坐标是，点的坐标是， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 这两个点关于轴对称， 故选：． 【典例3-3】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【详解】（1）解：轴及原点O，如图， ； （2）解：如图， 为所求作； ，，． 【变式3-1】（22-23八年级上·广东湛江·期末）已知点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：6． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将一只蕴含着轴对称变换的蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点、点、点、则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵、点， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴设点的坐标为， ∴，即：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式3-3】（22-23八年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． (1)请在图中画出，并写出点的坐标； (2)若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 【详解】（1）解：如图所示. 点E，F，G的坐标分别为； （2）解：由题意得，，即， 解得 ． 题型四 等腰三角形 【典例4-1】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：若的角为顶角，则顶角的度数为； 若的角为底角，则顶角的度数为， 顶角的度数为或． 故选：． 【典例4-2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 【典例4-3】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 故答案为：． 【典例4-4】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，．是边上的中线，点E在边上，且．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是边上的中线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【详解】解：设经过秒后，使△与△全等， ，，点为的中点， 厘米， ， ， 要使△与△全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点的速度为：； 时，，故点的速度为：； 即点的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 【变式4-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-4】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为的中点，点分别在上，且，． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴是等腰直角三角形， 则， 又∵，，点为的中点， ∴，， 在和中， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下， 由题意可知是等腰直角三角形， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 又由（1）可知， ∴是等腰直角三角形． 题型五 含30°角的直角三角形的性质 【典例5】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，则的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：中， ，，， ． 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，，，， ∴， 即底边上的高是， 故选：A． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，， 为 的角平分线，， 于点E．若，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 题型六 等边三角形 【典例6】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【详解】解： 为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 【变式6-1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式6-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． (1)填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； (2)如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； (3)当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 【详解】（1）解：是等边三角形，点为中点， 、、， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 是等边三角形，， ， ， 为等边三角形， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的长为10或2，理由如下： 当点在线段的延长线上时，作交于点，如图： 同（2）知，为等边三角形， 、， 点为中点， 、， ， ， ， 、， 、， 在和中， ， ， ； 当点在线段的上时，作交于点，如图： 同理可证明、， ， 综上所述，的长为10或2． 题型七 折叠问题 【典例7】（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 【答案】9 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ，， ， 故答案为： 【变式7-2】（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【详解】（1）①由题可知， ， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ． 题型八 最短路径问题 【典例8-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 【典例8-2】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 【典例8-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从 出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【典例8-4】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线l与点A右侧2个单位竖直方向的网格线重合． (1)画线段，使与关于直线l对称； (2)在l上找一点C，使得最小． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，连接交直线l于点C，连接， 此时，为最小值， 则点C即为所求． 【变式8-1】（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式8-3】（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 【变式8-4】（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，是轴上一点． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)若最小，请在图中找到符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹）． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，． （2）解：如图所示，点即为所求． ∵点B与点关于x轴对称， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，得最小，最小值等于的长． 【变式8-5】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）画出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹，不写做法）． 【详解】（1）如图即为 （2） （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，该点为点， 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南信阳·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合 假 【详解】解：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等的逆命题是： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合， 该逆命题是假命题. 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合；假 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)若点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解： ，，， 关于x轴对称的点为，，， 如图所示， （2）解：过点作关于轴的对称点，连接与轴交于点，如图所示， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则 ． 【答案】60 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， 故答案为：60． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 【详解】（1）解：是等腰三角形． ∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【详解】（1）解：如下图四边形即为所求；：；：． 故答案为： ． （2）解：如下图，点P即为所求． （3）解：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在边长为6的等边三角形中，F是边的中点，D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边三角形，连接，，．有下列说法：①；②；③；④周长的最小值为9；⑤当的周长最小时，；⑥的大小随着点D的移动而变化．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：∵是等边三角形，F是边的中点， ∴．故①正确； ∴是线段的垂直平分线，即． ∵是等边三角形， ∴． ∴，即．故②③正确； ∵点D在线段上， ∴当，点D与点F重合时，的长最小，即此时的周长最小． ∵等边三角形的边长为6，F 是的中点， ∴，即的长的最小值为， 此时的周长最小值为．故④正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，． ∴，即． ∴． ∴．又F是的中点， ∴平分，即．故⑥错误； ∴，即点E在射线(射线)上运动． 如图，作点A关于直线的对称点M，连接，，，交直线于点 ，连接，∴． ∴的周长为． ∴当E，F，M三点共线，即点E与点重合时，最小．此时的周长最小． ∵点A与点M关于直线对称， ∴，，即． ∴是等边三角形．又F是边的中点，∴，即，故⑤错误． 综上，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【详解】（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：是等边三角形，是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 4．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论： ．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 【详解】解：（1），； （2）， ， ， ，， ， ， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ， ， ，， △，△，△，△，△是等腰三角形，共5个， ； 故答案为：5； [综合运用]， 理由如下：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， △和△是等腰三角形， ， ； （3）平分，平分，， ，， ， ，， ，， ，， △和△是等腰三角形，共2个， ， ， 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设， 由（1）可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∴， （3）解：如图，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，连接， 由（2）可知 ∴ 由（1）可知 ∴ ∴， ∵， ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称的概念辨析与性质应用 准确区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的概念，明确对称轴、对称点等相关概念，牢记“对称轴是直线”的核心特征。熟练掌握轴对称的基本性质，能运用这些性质解决线段相等、角相等的证明与计算问题。 基础考点，常以选择题、填空题形式出现 线段垂直平分线的性质与判定 探索并证明线段垂直平分线的性质定理与逆定理，能运用定理判断点是否在线段垂直平分线上、证明线段相等。 简单应用于线段相等的证明或点的位置判定 等腰（等边）三角形的性质与判定 深入理解并掌握等腰三角形的性质与判定方法；熟练运用等边三角形的性质与判定定理；牢记含30°角直角三角形的特殊性质，并能解决相关计算问题。 高频考点，常结合角度计算、线段相等证明考查。 折叠问题 牢记“折叠即对称”，提炼折叠问题的解题步骤：①找对应边、对应角；②利用轴对称性质得出等量关系；③结合三角形内角和、全等、等腰三角形性质求解。 高频考点，常结合三角形内角和、全等、等腰三角形性质考查角度或线段长度计算。 最短路径问题 熟练掌握“将军饮马”基本模型的转化逻辑，总结“和最小”“差最大”的不同转化方法，通过变式训练（如两直线、三动点）提升迁移能力。 高频压轴，利用轴对称将折线转化为直线，解决“将军饮马”及变式问题。 知识点01 轴对称及其性质 1.轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 2. 常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 等边三角形 3 各边上的高(或各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 对边中点的连线所在的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 3.成轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 4. 成轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 成轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条对称轴 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 5. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 6. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线 知识点02 线段的垂直平分线 1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 2. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 4.互逆命题和互逆定理 定义 关系 互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 (1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题； (2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 5.尺规作图——作线段的垂直平分线 1）作线段的垂直平分线 (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线. 2）经过直线外一点作这条直线的垂线 (1)以C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； (3)作直线CF，CF就是所求作的垂线． 6.作对称轴 1）作对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 2）作对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对称点； (2)连：连接这对对称点； (3)作：作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到对称轴. 知识点03 画轴对称图形 1.画轴对称图形 （1）方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （2）步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画三连”. 找 —在原图形上找特殊点； 画 —画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连 —依次连接各对称点. 2. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 3. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 4.在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 知识点04等腰三角形 1.等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. ①∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； ②∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； ③∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 2.等腰三角形的判定方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC 3.等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质(等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等 这两边所对的角也相等 证明角相等 判定(等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等 这两个角所对的边也相等 证明线段相等 4. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 (1)作线段AB=a； (2)作线段AB 的垂直平分线MN，交AB 于点D； (3)在MN 上取一点C，使DC=h； (4)连接AC，BC，则△ ABC 就是求作的等腰三角形． 知识点05等边三角形 1.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 2. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 3.含30°角的直角三角形的性质 （1）性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . （2）作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 题型一 轴对称及其性质 【典例1-1】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“美丽临夏”四个字的篆书，这四个字中，能看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，与关于直线对称，则的度数为 度． 题型二 线段的垂直平分线 【典例2-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 【典例2-2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【典例2-4】（24-25八年级上·广东珠海·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ） A．图1 B．图1与图2 C．图2与图3 D．图1与图3 【变式2-3】（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 【变式2-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型三 用坐标表示轴对称 【典例3-1】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）若点的坐标是，点的坐标是，则与满足（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．轴 D．轴 【典例3-3】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【变式3-1】（22-23八年级上·广东湛江·期末）已知点与点关于y轴对称，则 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将一只蕴含着轴对称变换的蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点、点、点、则点的坐标为 ． 【变式3-3】（22-23八年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． (1)请在图中画出，并写出点的坐标； (2)若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 题型四 等腰三角形 【典例4-1】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数为（    ） A． B． C． D．或 【典例4-2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【典例4-3】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【典例4-4】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【变式4-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，．是边上的中线，点E在边上，且．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【变式4-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 【变式4-4】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为的中点，点分别在上，且，． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； 题型五 含30°角的直角三角形的性质 【典例5】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，则的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【变式5-1】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，， 为 的角平分线，， 于点E．若，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型六 等边三角形 【典例6】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【变式6-1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形． 【变式6-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． (1)填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； (2)如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； (3)当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 题型七 折叠问题 【典例7】（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 【变式7-2】（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 题型八 最短路径问题 【典例8-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例8-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从 出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【典例8-4】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线l与点A右侧2个单位竖直方向的网格线重合． (1)画线段，使与关于直线l对称； (2)在l上找一点C，使得最小． 【变式8-1】（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【变式8-4】（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，是轴上一点． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)若最小，请在图中找到符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式8-5】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）画出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹，不写做法）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南信阳·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)若点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出点的坐标． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则 ． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含α的代数式表示） 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在边长为6的等边三角形中，F是边的中点，D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边三角形，连接，，．有下列说法：①；②；③；④周长的最小值为9；⑤当的周长最小时，；⑥的大小随着点D的移动而变化．其中正确的是 ．（填序号） 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 4．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论： ．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $