专题09 整式乘法与因式分解中的拓展创新题（知识必备+6大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义通过表格梳理整式乘法与因式分解的核心考点、复习目标及考情规律，结合代数运算与几何图形证明推导公式，用思维导图呈现公式变形、十字相乘法等知识点的内在联系，突出逆向应用与综合应用重难点。 讲义亮点是拓展创新题型设计，如用图形面积验证公式的数形结合题培养几何直观，规律探索题引导归纳猜想发展推理意识。分层练习满足不同学生需求，配套答题思路总结，助力自主复习，为教师提供精准教学资源。

专题09 整式乘法与因式分解中的拓展创新题（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 公式变形与逆向应用类 熟练掌握整式乘法、乘法公式及因式分解的核心法则，能实现法则的正向应用与逆向迁移，解决拓展性的运算问题。 基础考点，重点考查平方差公式、完全平方公式的逆向应用与变形 规律探索类 要求学生掌握幂的运算规律、多项式展开规律、因式分解的结构规律等。 高频考点，通过给出一组整式运算或因式分解的实例观察规律、归纳猜想，进而推广应用。 跨模块综合类 学生需具备跨模块知识融合应用能力，如先分解因式再化简分式，通过整式运算求解几何图形的最值等问题。 高频考点，融合整式乘法与因式分解、分式化简、几何图形面积等知识，形成综合性解答题。 新定义运算类 要求学生快速理解新定义的本质，转化为熟悉的数学运算求解。 低频考点，通过定义新的运算规则，将新运算与整式乘法、因式分解结合，此类题考查信息迁移能力。 知识点01 平方差公式的推导 (1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝－ab＋ab－＝ － . (2)几何图形证明法：图16.3－1 ①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图16.3－1 ② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). 故(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 知识点02 完全平方公式的推导与常见变形 (1)代数运算证明法 (a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²； (a－b)²＝(a－b)(a－b)＝a²－ab－ab＋b²＝a²－2ab＋b² . (2)几何图形证明法(数形结合思想) 图16.3－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab； 图16.3－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)²＝a²－2ab＋b². 3. 完全平方公式的几种常见变形 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]. 知识点03 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点04 分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点05 因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 题型一 数形结合思想与整体思想的运用 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 2．（23-24八年级上·全国·期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，且，求的值． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若满足，求解的值过程如下：设，，则，，则． 请仿照上面的整体思想，结合所学乘法公式求解下面的问题： (1)若满足，求解的值时，设，，则，__________； (2)若满足，求的值； (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是30，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式：． (1)已知等式：，请仿照图构造相应的图形（画在答题纸指定位置）； (2)利用（1）中等式，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知，用等式表示之间的关系，并证明． 6．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式 图1：_______________，图2：_______________，图3：_______________； （2）用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系；并根据探索发现的结论，完成下列计算： ①已知，，求和的值； ②计算：． 【实际应用】 （3）哈尔滨文旅局计划在防洪纪念塔处用一块梯形区域开展科技节活动，如图5所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 8．（25-26八年级上·河南开封·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 请你解决下面的问题： (1)①已知，，求的值； ②已知，则的值为_______． (2)两个正方形，按如图所示的方式摆放，面积和为，．求图中阴影部分的面积． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论． （1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①______；②______；请你写出、、之间的等量关系______； （2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题． 【直接应用】若，，则的值是______； 【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为的长方形空地中（其中）划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求和的长． 10．（25-26八年级上·福建福州·期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得． (1)由图3可以解释的等式是_____； (2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； (3)用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系． 题型二 类比迁移问题 11．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】（2）若，，求的值． （3）若，，求的值． 13．（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 14．（25-26八年级上·山东日照·期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则 ； （2）若满足，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 15．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 16．（25-26八年级上·山东德州·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 题型三 规律探索问题 17．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列 写出第五个式子________，用含n的代数表示其规律并证明． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)可以发现一个速算法则，请填写： ①末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的________，再在末尾接着写上________； ②设一个两位数的十位数字是，个位数字是5，用含的代数式表示上述速算法则：________________________； (2)请你继续深入研究，回答下列问题： ①发现末位数字是5的三位数的平方也有类似的速算法则，请直接写出：________； ②设一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是5，用含，的代数式表示上述速算法则：________________________．请用所学的数学知识说明这个速算法则成立的理由． 19．（23-24八年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ； 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明． 20．（25-26八年级上·四川眉山·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． (4)直接写出的展开式中第三项的系数 ． (5)若，求的值． 题型四 新定义问题 21．（24-25八年级下·广东河源·期末）若一个关于的二次三项式能因式分解成（其中为实数，为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． 【问题理解】 （1）分解因式______，则关于______对称； 【知识应用】 （2）若关于对称，求的值； 【能力拓展】 （3）若，且关于对称，求的值． 22．阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵， ∴． 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_______； (2)求证：； (3)拓展运用：计算______． 23．（25-26八年级上·北京·期中）已知实数，，，，设，．定义如下运算： ①② ③④ 请尝试解决如下问题： (1)如果，，那么________，________； (2)求证： (3)已知，，，则的值为________． 24．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）； ①；②；③；④；⑤． (2)若关于，的代数式为对称式，则的值为______； (3)已知． ①若，，求对称式的值； ②若，且对称式，求代数式的值． 25．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 题型五 阅读理解问题 26．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由． 27．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 28．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，，所以，， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则_________________； （2）若满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，南宁市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出南宁“绿城”特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 29．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 题型六 最值问题 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 (1)根据小明的解答，将因式分解； (2)根据小丽的解答，求代数式的最小值． 31．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下面材料，完成问题： 如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，能出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法在数学中是一种非常重要的方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如：分解因式． 例如：求代数式的最小值． 原式 原式 ∵ ∴当时，有最小值，最小值为． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______________； (2)求代数式的最小值； (3)若和为三角形的两条边长，并且满足，则_________． 33．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知，，为的三边，满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 二、填空题 3．（24-25八年级下·重庆万州·期末）一个四位自然数，若满足，且，则称M为“友好数”．如：，，且，∴4245是“友好数”：又如，，但，∴3768不是“友好数”．那么2757 （填“是”或“不是”）“友好数”．对于“友好数”，记，若是整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差是 ． 4．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 三、解答题 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）（1）已知a，b，c是的三边，且满足，判定的形状； （2）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则______，______；若，则______，______． (2)两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）（1）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形CBF，已知，，的面积为9，设，，求与的面积之和． （2）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知，，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为多少？ 5．（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． (1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ．              ． ．       ． (2)利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期末）我们不仅可以用几何图形直观地解释多项式乘法，还可以用几何图形直观地将多项式因式分解． 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形如图②根据这个图形的面积关系你能得到的多项式乘法公式是______； (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片长方形的面积可以把多项式因式分解，其结果是______； (4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图把多项式因式分解，画出拼图的图形并写出因式分解的结果． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．小明同学在学习了因式分解后，对用图形拼接验证因式分解的方法非常感兴趣，他利用了此方法做了以下研究．    (1)如图1，大正方形的边长为a，小明将大正方形拆分为边长为b的小正方形A和两个长方形B，C，然后将长方形C拼接在了的位置，请写出小明验证的因式分解的公式是_____； (2)在经过了一些尝试后小明同学又利用图形的拆分和拼接方法验证了多项式：的因式分解；那么他是如何验证的呢？在下面的图2中画出他拆分和拼接的示意图；并借此因式分解：； (3)在对多项式因式分解后，小明还发现了它可以用于巧算这样的计算题：，小明是怎样巧算的这道题，请写出计算过程． 4．（25-26八年级上·吉林长春·月考）拓展探索： 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ _________________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：______________________ 方法2：______________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，，_______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______． (5)拓展提高：若拼一个长为宽为的长方形，需要边长为a，b的正方形和长为a宽为b的长方形各_______个，并画出拼图． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）现有边长为a的正方形，边长为b的正方形，长与宽分别为a、b的小长方形各若干个，用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形以及两个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形围成图2的图形，请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：____________；图2表示：____________； (2)若，求的值． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至T，使．延长至O，点O落在长方形内部，使，过点O、T作、的垂线，两垂线相交于点，记四边形的面积为，求的值． 7．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 8．（25-26八年级上·辽宁·期中）观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 整式乘法与因式分解中的拓展创新题（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 公式变形与逆向应用类 熟练掌握整式乘法、乘法公式及因式分解的核心法则，能实现法则的正向应用与逆向迁移，解决拓展性的运算问题。 基础考点，重点考查平方差公式、完全平方公式的逆向应用与变形 规律探索类 要求学生掌握幂的运算规律、多项式展开规律、因式分解的结构规律等。 高频考点，通过给出一组整式运算或因式分解的实例观察规律、归纳猜想，进而推广应用。 跨模块综合类 学生需具备跨模块知识融合应用能力，如先分解因式再化简分式，通过整式运算求解几何图形的最值等问题。 高频考点，融合整式乘法与因式分解、分式化简、几何图形面积等知识，形成综合性解答题。 新定义运算类 要求学生快速理解新定义的本质，转化为熟悉的数学运算求解。 低频考点，通过定义新的运算规则，将新运算与整式乘法、因式分解结合，此类题考查信息迁移能力。 知识点01 平方差公式的推导 (1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝－ab＋ab－＝ － . (2)几何图形证明法：图16.3－1 ①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图16.3－1 ② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). 故(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 知识点02 完全平方公式的推导与常见变形 (1)代数运算证明法 (a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²； (a－b)²＝(a－b)(a－b)＝a²－ab－ab＋b²＝a²－2ab＋b² . (2)几何图形证明法(数形结合思想) 图16.3－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab； 图16.3－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)²＝a²－2ab＋b². 3. 完全平方公式的几种常见变形 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]. 知识点03 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点04 分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点05 因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 题型一 数形结合思想与整体思想的运用 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【详解】（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 2．（23-24八年级上·全国·期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； 【详解】（1）解：图2的面积可表示为或， 图2中所表示的数学等式为 ； （2）∵，， ∴， ∵ ∴ ∴. 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，且，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 代数式中分子和分母同时除以，得，即， 把，代入得，即， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若满足，求解的值过程如下：设，，则，，则． 请仿照上面的整体思想，结合所学乘法公式求解下面的问题： (1)若满足，求解的值时，设，，则，__________； (2)若满足，求的值； (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是30，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）足，求的值 解：设， ∴，， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是30， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为11． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式：． (1)已知等式：，请仿照图构造相应的图形（画在答题纸指定位置）； (2)利用（1）中等式，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知，用等式表示之间的关系，并证明． 【详解】（1）解：以为边，构造一个正方形，如图所示， 可得； （2）解：①由（1）可得， ， 当时， 即， ； ②由，可得 令，则， ，即， ，即， ． 6．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【详解】解：（1）①由图1的面积可得：． ②由图2正方形的面积可得：． （2）设，， 则， ， ； （3）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为553． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式 图1：_______________，图2：_______________，图3：_______________； （2）用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系；并根据探索发现的结论，完成下列计算： ①已知，，求和的值； ②计算：． 【实际应用】 （3）哈尔滨文旅局计划在防洪纪念塔处用一块梯形区域开展科技节活动，如图5所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【详解】解：（1）图1：； 图2：； 图3：； （2）阴影部分正方形的面积； 故结论为：； ①∵，，且，， ∴，， ∴； ②； （3）设，由题意，可知：， ∵， ∴， ∴， ∴主舞台和观众区的面积和为． 8．（25-26八年级上·河南开封·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 请你解决下面的问题： (1)①已知，，求的值； ②已知，则的值为_______． (2)两个正方形，按如图所示的方式摆放，面积和为，．求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，， 则， ∴， ∵，即， ∴， 解得 ∵， ∴； 故答案为：； （2）设正方形的边长为，的边长为， 由题意知，，① ∴ 即：， ∴， ∴， ∵， ∴②， 联立①②，解得， 即 ∴， ， 故图中阴影部分的面积为. 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论． （1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①______；②______；请你写出、、之间的等量关系______； （2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题． 【直接应用】若，，则的值是______； 【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为的长方形空地中（其中）划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求和的长． 【详解】（1）解：图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积与四个空白长方形的面积差，即， 所以有 故答案为：①；②；； （2）[直接应用] 解：由（1）可得， 则，即， 故答案为：21； [拓展应用] 解：由题意得，、， 设、， 、 图中阴影部分的区域总周长为50m， ， 即， 长方形空地的面积为， ， 解得，， 当时，，当时，， 又，即， ，， 即，． 10．（25-26八年级上·福建福州·期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得． (1)由图3可以解释的等式是_____； (2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； (3)用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系． 【详解】（1）解：大长方形的面积为：，两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和为：， ∵面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解：张边长为的正方形纸片的面积为：，张长为、宽为的长方形纸片的面积为，张边长为的正方形纸片的面积为：， ∴拼成一个大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：， ∵，， ∴， ∴， ∴大正方形的边长为； （3）解：设的长为， ∴，， ∴， ∴； ∵无论取任何实数时，的结果始终保持不变， ∴中含项的系数为零， ∴，即． 题型二 类比迁移问题 11．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【详解】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】（2）若，，求的值． （3）若，，求的值． 【详解】（1）方法1：阴影部分是边长为的正方形，则其面积为； 方法2：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，则其面积为， ∵两种表示方法的面积相等，∴． 方法1：大正方体棱长为，∴其体积为， 方法2：大正方体体积是所有长方体和所有小正方体的体积和，即， ∴． 故答案为：；；；；；． （2）∵，，， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴． 13．（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【详解】（1） ∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为， ∴，，． ∴， 故答案为：． （2）图2大正方形面积为，也可表示为， ∴等式为． ∵，， ∴ ， ， ， 故答案依次为：；． 知识迁移：， 故答案为：． （3）解：，， ， ， 原式． 14．（25-26八年级上·山东日照·期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则 ； （2）若满足，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． （2）设，，则． ∵，且， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：． （3）设，． ∵， ∴，． 又，，共线， ∴． ，． 由，得，即． ∵， ∴， ， ， ． 一块直角三角板的面积为． 15．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【详解】（1）解：因为小正方形的边长为：， 所以第一次计算的面积为：， 第二次计算的面积为：， 所以：； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解：由图3可得：； 故答案为：； （4）解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山东德州·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：（ⅰ）根据题意，得长方形B的长为，宽为， 由长方形的周长是长方形周长的3倍， ， 解得：， （ⅱ）长方形的面积为：， 长方形已知边长的邻边长为。 题型三 规律探索问题 17．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列 写出第五个式子________，用含n的代数表示其规律并证明． 【详解】解：∵第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：， 第4个式子：， 第5个式子：， …， ∴第n个式子：， 证明：∵， ∴上面结论成立． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)可以发现一个速算法则，请填写： ①末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的________，再在末尾接着写上________； ②设一个两位数的十位数字是，个位数字是5，用含的代数式表示上述速算法则：________________________； (2)请你继续深入研究，回答下列问题： ①发现末位数字是5的三位数的平方也有类似的速算法则，请直接写出：________； ②设一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是5，用含，的代数式表示上述速算法则：________________________．请用所学的数学知识说明这个速算法则成立的理由． 【详解】（1）解：①末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾接着写上25； 故答案为：乘积，25． ②设一个两位数的十位数字是，个位数字是5，用含的代数式表示上述速算法则： 故答案为：，． （2）解：①； 故答案为：87025． ②， 证明： ． 故答案为：，． 19．（23-24八年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ； 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明． 【详解】解：任务1：多项式的， 多项式的； 根据题意可知多项式能分解因式，多项式不能分解因式， ； 任务2：设， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴s、t都为整数， ∵， ∴或或或， ∴所有整数p的值为，，7，5； 故答案为：，，7，5． 任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明如下： 设 ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c都是整数， ∴m、n都是整数， ∴是一个整数， ∴是一个完全平方数， ∴整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数． 20．（25-26八年级上·四川眉山·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． (4)直接写出的展开式中第三项的系数 ． (5)若，求的值． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ； （2）观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依次类推，的展开式的系数和为； （3）∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 题型四 新定义问题 21．（24-25八年级下·广东河源·期末）若一个关于的二次三项式能因式分解成（其中为实数，为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． 【问题理解】 （1）分解因式______，则关于______对称； 【知识应用】 （2）若关于对称，求的值； 【能力拓展】 （3）若，且关于对称，求的值． 【详解】解：（1）， ∴关于对称； （2）∵关于对称， 解得：， ， （或） 解得： 即t的值为4． （3） ∴该多项式关于对称 又∵M关于对称， ， 即， 根据题意可知，c均为正整数， ，． 22．阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵， ∴． 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_______； (2)求证：； (3)拓展运用：计算______． 【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：． 故答案为：． （2）解：设，则， ∴． ∴． ∴． （3）解：原式 ． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·北京·期中）已知实数，，，，设，．定义如下运算： ①② ③④ 请尝试解决如下问题： (1)如果，，那么________，________； (2)求证： (3)已知，，，则的值为________． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：，， ， 又， ， ； （3），， ，， ， ， ， ， ， 的值为， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）； ①；②；③；④；⑤． (2)若关于，的代数式为对称式，则的值为______； (3)已知． ①若，，求对称式的值； ②若，且对称式，求代数式的值． 【详解】（1）解：①， ①是对称式； ②， ②是对称式； ③， ③不是对称式； ④， ④不是对称式； ⑤， ⑤是对称式； 故答案为：①②⑤； （2）解：关于，的代数式为对称式， ， ， ，即， ，故答案为：； （3）解：①将展开，得， ， ，， 又， 把，代入，可得 ②，， ， 即，，， . 25．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 题型五 阅读理解问题 26．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 27．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 28．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，，所以，， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则_________________； （2）若满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，南宁市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出南宁“绿城”特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 【详解】解：（1）设，，则，， ． （2）设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：． ∴． （3）由题意得：， ∵的面积等于平方米， ∴， ∴，即， ∵正方形的面积为、正方形的面积为， ∴两个正方形和区域的面积和为， 设，则，， ∵ ∴． ∴． 答：两个正方形和区域的面积和为79． 29．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为， 由图可知，大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为平方米， ∴， ∴， ∴， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）解： ， ∵， ∴， （负值舍去） ∵， ∴， 即， ∴ ∵ ， ∴． 题型六 最值问题 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 (1)根据小明的解答，将因式分解； (2)根据小丽的解答，求代数式的最小值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为. 31．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，多项式取得最小值为． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下面材料，完成问题： 如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，能出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法在数学中是一种非常重要的方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如：分解因式． 例如：求代数式的最小值． 原式 原式 ∵ ∴当时，有最小值，最小值为． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______________； (2)求代数式的最小值； (3)若和为三角形的两条边长，并且满足，则_________． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵ ∴， 代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵和为三角形的两条边长， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【详解】（1） = = = （2） = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 （3）， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知，，为的三边，满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】解：因为，，为的三边， 所以，，， 因为， 所以 ， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以的形状是等腰三角形， 故选：． 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级下·重庆万州·期末）一个四位自然数，若满足，且，则称M为“友好数”．如：，，且，∴4245是“友好数”：又如，，但，∴3768不是“友好数”．那么2757 （填“是”或“不是”）“友好数”．对于“友好数”，记，若是整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 是 6267 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是“友好数”； ∵， ∴是偶数，是偶数， ∵， ∴是连续奇数或连续偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 当最大时，，， ∵， ∴， 又， ∴或， 当时，是整数，当时，不是整数，舍去， 所以，最大数为8469； 当最最小时，，， 此时，，且， 或， 当时，是整数，当时，不存在，舍去， 所以，最小数为2202； 所以，满足条件的M的最大值与最小值的差是， 故答案为：是；6267． 4．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【答案】 【详解】解：，， ∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字， ∴， ∴密码是． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 已知，把值代入上式： ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 ． （2）为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 即是直角三角形． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）（1）已知a，b，c是的三边，且满足，判定的形状； （2）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【详解】（1）∵ ∴， 故， 解得：， 故是等边三角形； （2）证明： ， 设， ， ∵为正整数， ∴也为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则______，______；若，则______，______． (2)两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由，得，即， ， 解得， 由，得， ， ， 联立 解得． （2）解：设正方形的边长为，的边长为． 由题意知，，① ， ． ， ．② 联立①②，解得， 即， ， ， 图中阴影部分的面积为6． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）（1）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形CBF，已知，，的面积为9，设，，求与的面积之和． （2）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知，，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为多少？ 【详解】解：（1）∵等腰直角三角形和， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴与的面积之和为： ． （2）设，，则，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形BMHN的面积为： 5．（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． (1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ．              ． ．       ． (2)利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，即； 阴影部分是一个边长为的正方形，所以阴影部分的面积又可以表示为， ∴得到等量关系为， 故选：； （2）解：①∵，， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵，的面积为， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， 答：阴影部分的面积为． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【详解】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得：(不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得：(不合题意，舍去)或(不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期末）我们不仅可以用几何图形直观地解释多项式乘法，还可以用几何图形直观地将多项式因式分解． 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形如图②根据这个图形的面积关系你能得到的多项式乘法公式是______； (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片长方形的面积可以把多项式因式分解，其结果是______； (4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图把多项式因式分解，画出拼图的图形并写出因式分解的结果． 【详解】（1）解：； （2）解：1号卡片的面积是， 2号卡片的面积是， 3号卡片的面积是ab， ， ， 所以需要2号卡片2张，3号卡片3张； （3）解：； 故答案为：； （4）解：如图： 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．小明同学在学习了因式分解后，对用图形拼接验证因式分解的方法非常感兴趣，他利用了此方法做了以下研究．    (1)如图1，大正方形的边长为a，小明将大正方形拆分为边长为b的小正方形A和两个长方形B，C，然后将长方形C拼接在了的位置，请写出小明验证的因式分解的公式是_____； (2)在经过了一些尝试后小明同学又利用图形的拆分和拼接方法验证了多项式：的因式分解；那么他是如何验证的呢？在下面的图2中画出他拆分和拼接的示意图；并借此因式分解：； (3)在对多项式因式分解后，小明还发现了它可以用于巧算这样的计算题：，小明是怎样巧算的这道题，请写出计算过程． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形面积减去正方形A的面积等于长方形B加上长方形的面积， ∴ （2）解：如图所示，    （3）解： ． 4．（25-26八年级上·吉林长春·月考）拓展探索： 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ _________________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：______________________ 方法2：______________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，，_______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______． (5)拓展提高：若拼一个长为宽为的长方形，需要边长为a，b的正方形和长为a宽为b的长方形各_______个，并画出拼图． 【详解】（1）解：由图可知阴影部分的正方形的边长； 故答案为：； （2）方法1：阴影部分的面积为； 方法2：阴影部分的面积为； （3）由（2）可知：； （4）由（3）可知： ∵，， ∴， ∴； （5）， 故需要边长为a的正方形1个，边长为b的正方形2个，长为a宽为b的长方形3个； 画图如下： 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． （3）解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）现有边长为a的正方形，边长为b的正方形，长与宽分别为a、b的小长方形各若干个，用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形以及两个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形围成图2的图形，请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：____________；图2表示：____________； (2)若，求的值． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至T，使．延长至O，点O落在长方形内部，使，过点O、T作、的垂线，两垂线相交于点，记四边形的面积为，求的值． 【详解】（1）解：图1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即为，也等于两个小正方形的面积之和，即为， 所以图1所验证的关系式是． 图2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为，也等于中间小正方形的面积，即为， 所以图2所验证的关系式是． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：∵长方形中，， ∴， ∵，， ∴，， 由长方形的性质得：， ∵， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵过点、作、的垂线，两垂线相交于点，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积 ， 答：的值为1856． 7．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 8．（25-26八年级上·辽宁·期中）观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； （2）解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 的最小值为， 有最小值，最小值为． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $