专题08 因式分解（知识必备+5大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理因式分解的核心考点，涵盖概念、提公因式法、公式法等内容，分知识点构建知识体系，并用步骤图呈现综合分解的一般流程，清晰展现重难点间的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础判断到综合应用，如“友好数”问题结合平方差公式培养推理意识，换元法分解复杂多项式提升运算能力。典例配变式满足不同层次学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供支持。

专题08 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解概念 精准理解因式分解的概念内涵，明确其与整式乘法的逆向关系，能准确判断某一变形是否为因式分解。 常考点：以选择题或填空题形式考查，如判断给出的变形是否为因式分解，或考查因式分解与整式乘法的区别与联系。 提公因式法 能熟练运用提公因式法分解因式，准确找出多项式各项的公因式，并正确处理提取公因式后的符号问题。 基础点：题目多为直接提取公因式的简单多项式，或需要处理符号、提取多项式公因式的稍复杂题目。 公式法 能灵活运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能识别符合公式结构的多项式。 重点：题目常需要先判断多项式是否符合公式结构，部分题目需先变形。 综合分解 熟记因式分解的一般步骤：有公因式则优先提取公因式；再观察剩余部分的结构特征，判断能否运用平方差公式或完全平方公式继续分解；最终确保分解结果彻底。 难点：题目多为需要综合运用提公因式法和公式法的多步骤分解题，要求学生能准确判断分解顺序，确保分解彻底。 因式分解的应用 了解因式分解的简单综合应用场景，知晓其在简化计算、解决实际问题中的作用，建立因式分解与后续知识的初步关联。 难点：以解答题形式考查，如利用因式分解简化整式混合运算、求解代数式的值，或结合实际问题考查因式分解的实际运用。 知识点01 因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 2. 整式乘法与因式分解的关系 整式乘法 因式分解 区别 化积为和 化和为积 联系 知识点02 公因式 1. 定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式. 2. 确定公因式的步骤 步骤 举例(2a²b与4ab²) (1)定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 2(取2 和4 的最大公因数) (2)定字母(或多项式)：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式) a，b (3)定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数，取其中指数最低的 a指数最低为2，b指数最低为1 (4)写结果 公因式为2a²b 知识点03 用提公因式法分解因式 1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 知识点04 用平方差公式分解因式 1. 用平方差公式分解因式 符号表示 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 文字叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式 2. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面； 二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套：套用平方差公式进行分解； 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式. 知识点05 用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式：形如a²±2ab＋b²的式子叫作完全平方式. 完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”. 2. 用完全平方公式分解因式 符号表示 a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²，a²－2ab＋b²＝(a－b)² 文字叙述 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式 3. 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 知识点06 因式分解的一般方法 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法，其一般步骤如下： 题型一 因式分解的判断 【典例1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意； B、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，需满足的形式，据此依次判断即可； 【详解】解：A.： 首项和末项符号相反，且不是平方数，无法构成完全平方公式； B.： 首项为，中间项对应，但末项非正数且非平方数，不符合公式； C.： 首项和末项符号相反，且非平方数，无法构成完全平方公式； D.： 首项，中间项可写为，末项是，符合完全平方公式，即； 综上，只有满足完全平方公式的条件； 故选：D 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 【变式3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、展开右边得：，与左边不符，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、展开右边得：，与左边相比多出项，选项错误； 故选：C． 【变式4】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 题型二 提公因式法分解因式 【典例2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤．找到公因式，提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．熟悉公因式的结构特征是解题的关键． 利用提公因式将提取出来，分解因式即可． 【详解】解：． 【变式2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 直接提公因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提取公因式即可． 【详解】解：． 【变式4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式转化为，再利用提取公因式法分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型三 综合运用公式法分解因式 【典例3-1】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用公式法因式分解成为解题的关键． 直接运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 【典例3-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在实数范围内因式分解 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）分解因式：m16 – 1 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． (1)和这两个数是友好数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了整式的运算，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据友好数的定义，只需看能否把和写成两个连续偶数的平方差即可； （2）计算，整理即可得到结果． 【详解】（1）解： ， ，都是友好数． （2） 为非负整数， 是非负整数， 一定能被4整除， 由和构成的友好数是4的倍数． 【变式3】（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式…………（第一步） ……………………（第二步） …………………………（第三步） …………………（第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； (2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________ (3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解． ①； ②． 【答案】(1)公式法 (2)不彻底； (3)①；② 【分析】本题考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式，即可解答； （2）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （3）①设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． ②，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用平方差公式即得到答案． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 因为， 所以分解的最后结果为； （3）解：①设， 则 ． ②设 则 ． 【变式4】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 题型四 综合提公因式和公式法分解因式 【典例4-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；解题时先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：； 故答案为． 【典例4-2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查分解因式，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据完全平方公式，进行求解即可； （2）先提公因式，然后根据平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查提公因式法与公式法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式进行因式分解，再根据完全平方公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型五 因式分解的应用 【典例5-1】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 【典例5-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 【典例5-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 【典例5-4】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行适当的变形后再分解． 例1：因式分解：． 解：． 例2：因式分解：． 解：将看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 根据以上解法，解答下列问题： (1)请你利用例1的方法，因式分解：； (2)请你利用例2的方法，因式分解：； (3)拓展：已知的三边长分别是，，，均是正整数，且满足，求边长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式的变形运算，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿例1的方法，进行作答即可； （2）模仿例2的方法，进行作答即可； （3）先把原式整理得，再求出，运用三角形三边关系得，因为是正整数，故边长的最大值为，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解：∵ ∴ 则 ∴ ∵的三边长分别是，，， ∴ 即 ∵是正整数， ∴边长的最大值为． 【典例5-5】（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，整式的混合运算． （1）利用平方差公式，整式的混合运算计算； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：∵为任意有理数， ， ， ∴的值不可能为负数； （2）解： ， ∵是整数， ∴能被 24 整除． ∴是整数时，的值一定能被 24 整除． 【变式2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题． （1）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，多项式取得最小值为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)完全平方公式和提公因式，提公因式， (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的方法． （1）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （2）因式分解后，结合三角形三边长为正数及已知条件，推出a、b、c的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 ． （2）为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 即是直角三角形． 【变式4】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 【答案】(1)； (2)1；大； (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用因式分解进行解答． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将y进行因式分解，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行因式分解，得到三个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出三条边，然后求出周长． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是， 故答案为：；； （2） ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是， 故答案为：1；大；． （3）， 即， 即， 所以，，， 所以，，， ∴， 答：的周长是． 期末基础通关练（测试时间：5分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是几个整式乘积的形式，故该选项不符合题意； B. ，是因式分解，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，找到多项式中三个项的公因式即可得到答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，提取的公因式是， 故选C． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，先对式子进行变形，提取公因式，即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·广东广州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练运用提公因式法和公式法是正确解决本题的关键． 先提出公因式再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解∶ ； 故答案为：． 5．（23-24八年级上·吉林·期末） ，，则 ． 【答案】 【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握提公因式法分解因式． 三、解答题 6．（24-25八年级上·四川自贡·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法与公式法． 提公因式即可． 【详解】解：． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 8．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． （1）直接利用完全平方公式分解因式即可； （2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23八年级上·四川泸州·期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没有把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误； C、因式分解的对象是多项式，而是单项式，故C错误； D、是因式分解，故D正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，A选项直接利用平方差公式进行分解即可；B选项不能进行因式分解；C选项正确；D选项是和的形式，不属于因式分解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、不能进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，因式分解正确，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断每个选项是否符合平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个数的平方差，即）是解题的关键． 【详解】解：不是两个数的平方差形式．故A项错误． ，是完全平方公式，不是平方差公式．故B项错误． ，符合平方差公式形式．故C项正确． ，不是两个数的平方差形式．故D项错误． 故选：C． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键．根据完全平方公式的形式，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； B、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； C、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握．题型可以简单总结为以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简，该题属于①，将代数式化简再将已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2． 6．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了代数式求值，先利用因式分解得，进而求得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：66． 7．（22-23八年级上·山东青岛·期中）一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则的值为 ． 【答案】180 【分析】直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式，进而得出答案． 【详解】解：长与宽分别为，的长方形周长为12，面积为5， ，， ， 则原式． 故答案为：180． 8．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23八年级上·四川德阳·期中）若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为，再如，（，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若（其中）是“丰利数”，则 ． 【答案】 【分析】先把变形，然后根据是“丰利数”，得出是一个完全平方式，即可求解． 【详解】解： ， ∵是“丰利数”， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解和整体代换的思想． （1）对进行因式分解，可以直接套用完全平方公式； （2）观察到在式子中重复出现，考虑使用整体代换，设，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将m还原成即可． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得：， 故答案为：． （2）解：令， 则原式 ， 将m还原， 原式． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【答案】(1)， (2)①② 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式的几何应用，弄清阅读材料中的因式分解的结构特点是解本题的关键． （1）总面积还可以看成两边长分别为的大长方形的面积，根据面积相等求解即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【详解】（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 4．（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 5.（24-25八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)，；；； (2)． 【分析】本题考查了换元法因式分解，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握换元思想是解题的关键． （）设，然后代入通过因式分解即可求解； （）设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设， 原式 将代入， 得原式， 故答案为：，；；； （2）解：设， 原式 ， 将代入， 得原式 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解概念 精准理解因式分解的概念内涵，明确其与整式乘法的逆向关系，能准确判断某一变形是否为因式分解。 常考点：以选择题或填空题形式考查，如判断给出的变形是否为因式分解，或考查因式分解与整式乘法的区别与联系。 提公因式法 能熟练运用提公因式法分解因式，准确找出多项式各项的公因式，并正确处理提取公因式后的符号问题。 基础点：题目多为直接提取公因式的简单多项式，或需要处理符号、提取多项式公因式的稍复杂题目。 公式法 能灵活运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能识别符合公式结构的多项式。 重点：题目常需要先判断多项式是否符合公式结构，部分题目需先变形。 综合分解 熟记因式分解的一般步骤：有公因式则优先提取公因式；再观察剩余部分的结构特征，判断能否运用平方差公式或完全平方公式继续分解；最终确保分解结果彻底。 难点：题目多为需要综合运用提公因式法和公式法的多步骤分解题，要求学生能准确判断分解顺序，确保分解彻底。 因式分解的应用 了解因式分解的简单综合应用场景，知晓其在简化计算、解决实际问题中的作用，建立因式分解与后续知识的初步关联。 难点：以解答题形式考查，如利用因式分解简化整式混合运算、求解代数式的值，或结合实际问题考查因式分解的实际运用。 知识点01 因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 2. 整式乘法与因式分解的关系 整式乘法 因式分解 区别 化积为和 化和为积 联系 知识点02 公因式 1. 定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式. 2. 确定公因式的步骤 步骤 举例(2a²b与4ab²) (1)定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 2(取2 和4 的最大公因数) (2)定字母(或多项式)：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式) a，b (3)定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数，取其中指数最低的 a指数最低为2，b指数最低为1 (4)写结果 公因式为2a²b 知识点03 用提公因式法分解因式 1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 知识点04 用平方差公式分解因式 1. 用平方差公式分解因式 符号表示 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 文字叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式 2. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面； 二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套：套用平方差公式进行分解； 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式. 知识点05 用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式：形如a²±2ab＋b²的式子叫作完全平方式. 完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”. 2. 用完全平方公式分解因式 符号表示 a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²，a²－2ab＋b²＝(a－b)² 文字叙述 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式 3. 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 知识点06 因式分解的一般方法 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法，其一般步骤如下： 题型一 因式分解的判断 【典例1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 题型二 提公因式法分解因式 【典例2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）因式分解： ． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解： ． 【变式2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）因式分解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： 【变式4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）分解因式： ． 题型三 综合运用公式法分解因式 【典例3-1】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）分解因式：． 【典例3-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在实数范围内因式分解 ． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）分解因式：m16 – 1 【变式2】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． (1)和这两个数是友好数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 【变式3】（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式…………（第一步） ……………………（第二步） …………………………（第三步） …………………（第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； (2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________ (3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解． ①； ②． 【变式4】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 题型四 综合提公因式和公式法分解因式 【典例4-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）因式分解： ． 【典例4-2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）分解因式： 【变式1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）因式分解： (1) (2) 【变式2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）因式分解： (1) (2) (3) (4) 题型五 因式分解的应用 【典例5-1】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 【典例5-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【典例5-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【典例5-4】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行适当的变形后再分解． 例1：因式分解：． 解：． 例2：因式分解：． 解：将看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 根据以上解法，解答下列问题： (1)请你利用例1的方法，因式分解：； (2)请你利用例2的方法，因式分解：； (3)拓展：已知的三边长分别是，，，均是正整数，且满足，求边长的最大值． 【典例5-5】（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 【变式2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【变式4】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 期末基础通关练（测试时间：5分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）因式分解： ． 4．（22-23八年级上·广东广州·期末）分解因式： ． 5．（23-24八年级上·吉林·期末） ，，则 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·四川自贡·期末）分解因式：． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）分解因式： (1) (2) 8．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： (1)； (2). 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23八年级上·四川泸州·期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则 ． 6．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 7．（22-23八年级上·山东青岛·期中）一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23八年级上·四川德阳·期中）若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为，再如，（，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若（其中）是“丰利数”，则 ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 4．（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 5.（24-25八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $