第2章 直线与圆的位置关系（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年浙教版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第2章 直线与圆的位置关系 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（24-25九年级下·北京·月考）如图，，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则的长为（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】根据切线的性质可得，证明得到，然后利用等腰三角形的三线合一证得，，从而利用勾股定理可求得，再根据相似三角形的判定与性质证明求解即可． 【规范解答】解：∵，切于A，B两点， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴即， 解得：， ∴． 故选：C． 【考点剖析】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 2．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．连接，求出,得到，由，解得（负值已舍去），即可得到答案． 【规范解答】解：连接， ∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴, ∴， ∵， ∴ 解得（负值已舍去） ∴， ∴ 故选：B 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和．利用切线的性质可得，进而得到，以及所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，， ，分别与相切于点 A， B， ， ， ， 所对圆心角为， 该圆半径是， 的长是， 故选：B． 4．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，正五边形外切于，点P，M，N分别是边的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，． 点P，M，N分别是边的切点， ，， ， ， ， ． 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【规范解答】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 6．（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形内接于是的直径，过点的切线与的延长线交于点．若 ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了切线的性质，圆周角、圆心角和弧的度数的关系，直径定理等内容，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 利用切线的性质得出的度数，求出所对弧的度数，再利用直径定理求出所对弧的度数，求出所对弧的度数即可求解． 【规范解答】解：如图所示， ∵与相切， ∴， ， ∴的度数为， ∵是的直径， ∴的度数为， ∴的度数为， 的度数为, 故选：C． 7．（2021·台湾·模拟预测）如图，为的内心，有一直线通过点且分别与、相交于点、点．若，，则点到的距离是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【思路引导】根据等腰三角形底边上的 高、底边上的中线、顶角平分线相互重合 (三线合一)，和勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可以求得的长；三角形的内心(三 条角平分线的交点)到三角形三边的距离相等，根据等面积法，即可得到的长，从而可以得到点到的距离． 【规范解答】解：连接，作于点，于点，于点，作于点，如图所示： ，，， ，， ， 设， ∵为的内心， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，勾股定理，知道三角形的内心是角平分线的交点是连接面积计算与距离求解的关键． 8．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，三个半径为R的圆两两外切，的三边分别与其中两个圆相切．若的面积为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，连接三个圆心，连接，连接，分别为两个圆与的切点，证明为等边三角形，再求得，解方程即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接三个圆心，连接，连接，分别为两个圆与的切点， 三个半径为R的圆两两外切， ， 为等边三角形， 点分别为两个圆与的切点， ， ， 四边形为矩形， ， 同理可得， ， 为等边三角形， 根据切线长定理可得， ， 同理可得， ， 如图，为等边三角形中边上的垂线段，设， 则， ， 故， ， 解得（负值舍去）， 故选：A． 9．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 【答案】D 【思路引导】本题考查圆的综合应用．作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，此时，最小，最小值为，根据轴对称的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值；若是的切线，则，在 中，勾股定理求出，根据，即可求出；根据，得出当的面积最小时，的面积最大，过点E作，得出，根据相似三角形的性质求出，根据当底边上的高最小时，的面积最小，求出面积的最小值为，即可求出的面积最大值为；设，则，根据 ，即可得出当时，的值最小，最小值为 34． 【规范解答】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示， 此时，最小，最小值为， ∵矩形中，，， ， ， ∴的最小值是：，故A正确； 若是的切线，则， 在 中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，故B项正确； ∵， ∴当的面积最小时，的面积最大， 在中，， 过点E作， 则， ∴， 即， 解得：， ∵底边为，故当底边上的高最小时，的面积最小， ∴当与重合时，的面积最小， 此时，， 即面积的最小值为， 则的面积最大值为，故C项正确； 设，则， 则 ， ∴当时，的值最小，最小值为 34，故D项错误． 故选：D． 【考点剖析】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值求解，勾股定理，矩形的性质，切线的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图，已知两条平行线，，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题重点考查的圆周角所对的弦是直径、切线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作的外接圆，圆心为点，由于点，得，所以是的直径，由，点是上的定点，于点，得，为定值，而，，可证明 ，得，，求得，因为当与相切时，最大，此时，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：作的外接圆，圆心为点， 于点， ， 是的直径， 是的中点， ，点是上的定点，于点， ，为定值， 点、分别是、上的动点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在上运动， 当与相切时，最大， ， ， ， 故选：A． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是通过角度之间的等量关系推导出线段相等，建立关于所求线段长度的方程求解． 连接，利用切线性质得；由及，通过等角的余角相等推得，进而判定；设，则、，在中利用勾股定理列方程求解x的值． 【规范解答】解：连接，如图， ∵与☉O相切于点A， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴．设，则， ∵， ∴， 解得，即的长为4． 12．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识．作射线，过点P作轴于H，可得，则，设射线交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最大，即可求解． 【规范解答】解：作射线，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设射线交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最大， ∵圆的半径为1， ∴， ∴的面积最大值为， 故答案为：． 13．（2025·山东潍坊·一模）如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切． 【答案】3或7 【思路引导】本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接，则，，由得到，求得向右移动了，即可求出时间．当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接，同理即可求解． 【规范解答】解：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接，    ∴， ∵， ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间为； 当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接，    ∴， ∵ ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间． 故答案为：3或7． 14．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）在平面直角坐标系中，有一抛物线，其中为实数，和一个以为圆心，2为半径的圆．则中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了切线的性质，二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，由题意可得抛物线的顶点坐标为，即抛物线的顶点坐标在直线上，求出与抛物线相切的直线为，从而可得抛物线扫过的面积均在上方，结合圆心的坐标可得圆心在直线上，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 设直线与抛物线相切， 联立可得：， 整理可得：， ∴， 解得：， ∴抛物线扫过的面积均在上方， ∵当时，， ∴圆心在直线上，如图所示： ∵的半径为， ∴中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积为， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列结论中：①的内切圆半径为r，的周长为L，则的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论p取何值，方程总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（填序号） ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查了三角形内切圆的性质，概率的基本计算，圆内接四边形与平行四边的性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上性质和计算公式是解决本题的关键． 根据三角形内切圆的性质，将三角形分割为多个小三角形来推导面积公式，由此可判断①；通过列举所有可能结果，根据概率公式求解，由此可判断②；根据圆内接四边形的性质由此可判断③；先将方程化简，再根据一元二次方程根的判别式判断④． 【规范解答】解：设的内切圆的圆心为O，连接，如图， 由三角形面积公式可知，（a为底，h为高）， 对于，为底，高为，即内切圆的半径r， ∴， 同理可得，， ∵， 整理可得， ∵的周长为L， ∴，故①正确； 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的可能结果为： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种情况， 而两枚硬币全部正面向上的情况只有1种， ∴由概率公式可得：两枚硬币全部正面向上的概率为，故②错误； 圆内接平行四边形，如图， 在平行四边形中，，， ∵平行四边形为圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴圆内接平行四边形是矩形，故③正确； 将方程化简：， 整理可得， ∴判别式， ∵无论p取何值，， ∴，即， ∴当时，方程总有两个不等的实数根，故④正确； ∴正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 16．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点C，且，连接．直线与的位置关系为 ． 【答案】相切 【思路引导】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【规范解答】解：， ∴在中，， 又∵为的半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 17．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）如图，是的直径，为延长线上一点，切于是弧的中点，连接交于．若，则，则 ， ． 【答案】 / 【思路引导】如图，连接，证明，，证明，可得，求解，连接，证明，可得，进一步可得答案. 【规范解答】解：如图，连接， ∵是的直径，为延长线上一点，切于是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【考点剖析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，是的直径，以为边长作正方形，连结交于点；以为圆心，为半径作弧交于点，连结并延长分别交、于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的结论有 （填正确答案的序号）． 【答案】②⑤ 【思路引导】连结并延长交于，连结；由于弧是以为圆心、为半径，所以，而都是的半径，即可证得，由此可证得，即与相切于点，然后根据这个条件来判断各选项是否正确． 【规范解答】解：连结并延长交于，连结． 以为圆心，为半径作弧交于点， ． ． ． 四边形是正方形， ，，． ，即与相切于点P． ①交于为的直径， ． 为等腰， （等腰三角形三线合一）． ①正确； ②， ． ． ． ． ， ． ． ． ． ． ②错误； ③证法一：在等腰和中，， ． ． 四边形中，， ，． ③正确； ④证法一：由③得． 在中，， ． ， ． ④正确． ④证法二：由①得，则． 连结并延长分别交于点， ． ． ， ． ． ， ，即． ④正确； ③证法二：由④得，则于点，即． ． ③正确； ⑤设⑤成立， ， ． ． 由①得， ，即． 在等腰和中，， ． 以为圆心，为半径作弧交于点， ，与矛盾． 假设不成立． ⑤错误． 综上所述，错误的结论有②⑤． 故答案为：②⑤． 【考点剖析】此题考查的知识点有：正方形的性质，圆的直径性质，线段垂直平分线的判断，多边形的内角和定理，圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形、全等三角形、圆的切线的判定和性质等知识的综合应用，能够判断出是的切线是解决此题的关键，用反证法解题是难点，难度较大． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（23-24九年级上·北京海淀·月考）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】本题主要考查切线的判定、勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定、勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意可设的半径，则，然后可得，，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴的半径为3． 20．（本题6分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了圆的切线的判定、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，正确作出辅助线构造矩形和直角三角形是解答本题的关键． （1）连接，若要证明为的切线，只要证明即可； （2）过点作于F，证明四边形是矩形，利用勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线. （2）解：过点作于F， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 设则， 在中，， ∴， 解得，， 即的半径为5． 21．（本题8分）（2013·四川自贡·模拟预测）如图，已知，锐角内接于，；点D是上的一点，过点D的切线交的延长线于点E，且；连结的垂线与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质定理，正确作出辅助线是关键． （1）连接，根据切线的性质可以得到，利用垂径定理以及圆周角定理可以证得: ，然后利用平行线的性质，即可证得，利用两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）易证为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式求解． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 即 ， ， 又， ∴为等腰直角三角形，， ． 22．（本题8分）（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【思路引导】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 【考点剖析】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 23．（本题8分）（2025·山东枣庄·模拟预测）如图是直径，A是上异于的一点，点B是延长线上一点，连、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)在(2)的条件下，作的平分线交于P，交于E，连、，若 ，求•的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了圆的切线判定定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关定理和性质，通过构建辅助线（如连接半径、寻找等角关系证明三角形相似，进而利用相似三角形的对应边成比例或勾股定理求解． （1）连接，利用直径所对圆周角为直角得；由得，结合已知，推导出，即；根据切线判定定理，为半径且，证得是切线． （2）由和公共角，判定；设半径为r，结合得、；在中用勾股定理求；利用相似三角形对应边成比例得，结合中，计算出． （3）由和（2）中，求出，进而得；在中，结合和勾股定理，求出、；由平分得，结合圆周角性质得，判定；利用相似三角形对应边成比例得，变形求出． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ， 设半径， ∵， ∴， 在中，， 在中，； （3）解：在（2）的条件下，， ， ， 在中， ， 即， 解得，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 24．（本题8分）（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②32 【思路引导】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D； （2）①证明即可；②证明，推出，由此可得结论． 【规范解答】（1）解：图形如图所示； （2）①证明：连接． ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线是的切线； ②在中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为32． 【考点剖析】本题考查作图—复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．（本题10分）（23-24九年级下·广东深圳·期中）任务一：如图，在边长为1的小正方形的网格中，的顶点、、均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） （1）如图①，点在格点上，在线段上找出所有符合条件的点，使和相似； （2）如图②，在上作一点，使以为圆心，为半径的与相切，并直接写出此时的半径为______． 任务二：如图，已知在中，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的与直角边相切于点，与相交于点．，，求的值． 【答案】任务一：（1）作图见解析；（2）】作图见解析， ；任务二： 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、切线等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 任务一（1）根据相似的性质，且在线段上，可知，分，两种情况作图即可； （2）由题意知为的角平分线与的交点，作的角平分线交于，以为圆心，为半径画圆即可完成作图，设⊙M与相切于点，连接，则，，设，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 任务二：连接、，过点O作于点F，证明，求出，证明四边形为矩形，得出，由求解． 【规范解答】（1）如图①，点Q或即为所求作． （2）解：如图②，即为所求作． 解：设与相切于点T，连接，则， ∵ , ∴， 设，在中，， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 任务二：如图，连接、，过点O作于点F， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴. 26．（本题10分）（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等； （2）利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系； （3）先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积． 【规范解答】（1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． （2）证明：连接，，并延长交于点． ， 垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，连接，，并延长交于点， 为的中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴≌， ， ， 设，则． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ，　　　 ， ， ． 【考点剖析】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数及三角形的面积等知识点，关键是灵活应用知识点解决问题． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙教版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第2章 直线与圆的位置关系 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（24-25九年级下·北京·月考）如图，，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则的长为（   ） A． B． C．8 D．10 2．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，正五边形外切于，点P，M，N分别是边的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 6．（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形内接于是的直径，过点的切线与的延长线交于点．若 ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2021·台湾·模拟预测）如图，为的内心，有一直线通过点且分别与、相交于点、点．若，，则点到的距离是（   ） A．3 B．2 C． D． 8．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，三个半径为R的圆两两外切，的三边分别与其中两个圆相切．若的面积为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 10．（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图，已知两条平行线，，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（    ）． A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 12．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为 ． 13．（2025·山东潍坊·一模）如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切． 14．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）在平面直角坐标系中，有一抛物线，其中为实数，和一个以为圆心，2为半径的圆．则中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积为 ． 15．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列结论中：①的内切圆半径为r，的周长为L，则的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论p取何值，方程总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（填序号） ． 16．（16-17九年级下·河南·课后作业）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点C，且，连接．直线与的位置关系为 ． 17．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）如图，是的直径，为延长线上一点，切于是弧的中点，连接交于．若，则，则 ， ． 18．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，是的直径，以为边长作正方形，连结交于点；以为圆心，为半径作弧交于点，连结并延长分别交、于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的结论有 （填正确答案的序号）． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（23-24九年级上·北京海淀·月考）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 20．（本题6分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21．（本题8分）如图，已知，锐角内接于，；点D是上的一点，过点D的切线交的延长线于点E，且；连结的垂线与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． 22．（本题8分）（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 23．（本题8分）（2025·山东枣庄·模拟预测）如图是直径，A是上异于的一点，点B是延长线上一点，连、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)在(2)的条件下，作的平分线交于P，交于E，连、，若 ，求•的值． 24．（本题8分）（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 25．（本题10分）（23-24九年级下·广东深圳·期中）任务一：如图，在边长为1的小正方形的网格中，的顶点、、均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） （1）如图①，点在格点上，在线段上找出所有符合条件的点，使和相似； （2）如图②，在上作一点，使以为圆心，为半径的与相切，并直接写出此时的半径为______． 任务二：如图，已知在中，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的与直角边相切于点，与相交于点．，，求的值． 26．（本题10分）（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $