微专题十一 切线的辅助线问题-20春浙教版九年级数学下册同步测试

微专题十一____切线的辅助线问题__[学生用书A66] 一　切线的判定 (教材P40作业题第4题) 已知：如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC.求证：DC是⊙O的切线． 图1　　 教材母题答图 证明：如答图，连结OD. ∵AD∥OC，∴∠COB＝∠A，∠ADO＝∠DOC. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO，∴∠COB＝∠DOC. 又∵OC＝OC，OD＝OB， ∴△CDO≌△CBO(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴DC是⊙O的切线． 【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果已知直线与圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线，证明直线到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”． 　如图2，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若BD＝OB＝4，求弦AE的长． 图2　　 变形1答图 解：(1)证明：如答图，连结OE. ∵CD与⊙O相切，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°， ∵OC∥BE，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB， ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠AOC＝∠COE， 在△AOC和△EOC中， ∴△AOC≌△EOC(SAS)， ∴∠CAO＝∠CEO＝90°，∴AC是⊙O的切线； (2)在Rt△DEO中，BD＝OB， ∴BE＝OD＝OB＝4，∵OB＝OE， ∴△BOE为等边三角形，∴∠ABE＝60°， ∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°， ∴AE＝BE·tan60°＝4. 　[2019·安顺]如图3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H. (1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)求证：点H为CE的中点； (3)若BC＝10，cosC＝，求AE的长． 图3　　 变形2答图 解：(1)DH与⊙O相切．理由如下： 连结OD，AD，如答图， ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC，∴BD＝CD， 而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线