江苏省无锡市市北高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段检测数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡市市北高级中学高二（上）10月阶段检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知复数z=(1十)（为虚数单位），则复数z的虚部为() A.2 B.-2 C.2i D.-2i 2.已知复数z满足(z+3)i=3-i,则z=（) A.V10 B.4 C.5 D.2v6 3.空间四边形0ABC中，OA=d.0B=方，0C=。,点M在线段AC,且AM=2MC,点N是OB 的中点，则MN=(O B.2d-162 3a、 6+ 2 -C 3 2 3 4.已知空间向量a=(,1,2),b=(4,2,4,若a1b,则x=() A.1 B-号 D.3 5.若(d,石，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是《) Ad+B.a-B.d Bd-dd+dB cd+B.a-B.a Da+B.a-B.a+B+2 第1页共13页 6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AB=1,AD=1,AA1=1,∠BAD C =90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则线段AC的长为() B D B A.5 B.3 c.5 D.V3 7.已知空间内三点A(1,0,2),B(-1,2,0),C(0,3,1),则点A到直线BC的距离是() A.4v6 3 B台 C.v6 3 D.2V3 3 8已知=(-19,1，=(m,-3,2),=02,1),若(，，}不能构成空间的一个基底，则 m=() A.3 B.1 C.5 D.7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数z=一(2i+6)i,则() A.z+的模长为√29 B.在复平面内对应的点在第四象限 C.z一2为纯虚数 D.在复数范围内，z是方程x2一4x+40=0的一个解 10.已知复数z=a十√3(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且z=2,则下列结论正确的是() A.23=8 B.的虚部为√3 C.z的共轭复数为1+V3 D.z2=4 11.下列说法错误的是() A.若空间向量d/b,则存在唯一的实数入，使得b=入d 第2页共13页 B.4,B,C三点不共线，空间中任意点0，若O=是0A+日OB+日OC,则PA,B,C四点共面 ca=(,2,1),7=(4,-2+x,),d与b夹角为钝角，则x的取值范围是(-oo,) D.若{OA,OB,OC 是空间的一个基底，则O,A,B,C四点共面，但不共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线的方向向量为(2，m,1),平面a的法向量为(1， 分2)，且l/a,则m= 13.已知a,b是空间二向量，若a=3,|b=2,|a-b=√7，则a与b的夹角为 14.已知复数z满足z=1,则z+2+√5的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.已知z为复数，z+2i和。之-均为实数，其中i是虚数单位. 2-2 (I)求复数z和z: 若刻=五+n品~n72消对应点在第四象限，求m的范围 7 16.已知z= 告(a∈)为纯虚数 (1)求a; (2)求x1+2+3+..+22025的值 17.如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF,且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直 角梯形，BF/1CE,BC⊥CE,DC=CE=4,CB=BF=2. (1)求直线BE与平面ADE所成角的正弦值： (2)求点B到平面ADE的距离. C 18.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC =120°.求： (1)直线AD与直线BC所成角的大小： (2)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. B D 19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥ PB交PB于F. 第3页共13页 (1)证明：PA//平面BDE: (2)若PG:GC=2:1,在棱PB上求一点H使得AH/平面BDG. F ✉ B 第4页共13页 1.答案： 【答案】 z=(1+)2=2i,即复数x的虚部为2. 故选：A 解析 直接根据复数的乘法运算求解即可. 点评 本题考查了复数代数形式的乘法算，是基础题， 2.答案： 【答案】 因为(2+3)i=3-i,所以z+3=3=-1-36,得到z=-4-3, 所以z=V(-42+(-3)2=5. 故选：C 解析 根据条件，利用复数的运算，得到z=一4一3，即可求解. 点评 本题考查复数的除法运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 3.答案： 【答案】 空间四边形0ABC中，0A=d,OB=古，0d=己， → 点M在线段AC上，且AM=2MC,点N是OB的中点， 则MA=是cA=(oA-0d).0N=oB. 所以M=6+o0丽=+0+o成-专云+8- 故选：C 解析 由空间向量加法法则得到MN=MO+ON=MA十AO+ON,由此能求出结果 点评 本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题 4.答案： 【答案】 因为d=e,1,2,6-(4,2,4到，且d16,所以4红+2+8=0解得z=-号 故选：B 解析 由空间向量垂直的坐标表示即可求解 点评 本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题 5.答案： 【答案】 第5页共13页 因为{d,b,c构成空间的一个基底，所以d,b,c不共面 选项4，若向量d+古，启-方，古共面，存在实数红， 〉 d+b-x(d-b)+yd--zb+yd+-d. （-x=1 可得〈x=1,方程组无解 (y=0 所以d+6,d-6,c不共面 选项B,若向量a一c,a+c,b共面，存在实数x,y, → a-c=a(a+c)+yb=za+ac+yb, e=1 可得 x=-1,方程组无解， (y=0 所以d-。,d+仓，6不共面 选项c,因为向云-号(d-可+(d+, 所以d+6,d-6,d共面。 选项D,若向量d+方，合-方.8+方+英面，存在实数， 使d+6=(e+a+yc+g-)6, 7 -e+y=1 可得〈 x+y=1,方程组无解 y=0 所以d-6,d+6,d+6+不共面 故选：C 解析 对灯ABD、若向量关面。利用空间向量基本定理建立方程组，可得方程组无解对于C。根据。-号（众+）+ (d-可)判断 点评 本题考查的知识要点：共面向量，向量的基底，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题， 6.答案： 【答案】 →→〉 AC AB+BC+CC1, 又.在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AB=1,AD=1,AA1=1,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1 =60°， 2 → 222 →〉 .:AC1=（AB+BC+CC)2=AB+BC+CC+2AB·BC+2AB·CC+2CC1·BC =1+1+1+0+2x1x1×号+2x1×1x号=5， .|AC1|=v5 故选：C. 解析 第6页共13页 AC1=AB+BC+CC1,然后平方可算出答案， 点评 本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题 7.答案： 【答案】 因为BC=(1,1,1),BA=(2,-2,2), 所以cos∠ABC= BA●BC 1 |BAI‖BC 2V8xV3-3 所以sin∠ABC= 2W2 3 所以点A到直线BC的距离d=1AB·sin∠ABC=2V3×2y2=4y6 3 3 故选：A 解析 利用空间向量法求解即可. 点评 本题考查利用空间向量解决空间中的距离问题，是基础题 8.答案： 【答案】 →→→ 若{n1,2,3}不能构成空间的一个基底， 〉〉 则n1,n2,n3共面 存在入，u使得，n1=入n2+un3, λm+0=-1 (入=-1 故-3入+2μ=9，解得4=3， 2入+4=1 m=1 故选：B 解析 根据已知条件，结合空间向量基本定理，即可求解. 点评 本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题， 9.答案： 【答案】 复数z=-(2i+6)i=2-6i, 对于A,之+i=2+6i+i=2+7i,则2+7=√22+7严=√53，故A错误： 对于B,z在复平面内对应的点(2，一6)在第四象限，故B错误； 对于C,z-2=-6为纯虚数，故C正确： 对于D,(2-6)2-4(2-6)+40=-32-24i-8+24i+40=0, 故在复数范围内，z是方程x2一4x+40=0的一个解，故D正确. 故选：BCD 解析 先求出之，再结合复数的概念，复数模公式，复数的四则运算，即可求解 点评 第7页共13页 本题主要考查复数的概念，复数模公式，复数的四则运算，属于基础题 10.答案： 【答案】 由题意，Va2+3=2,解得a=士1， 又复数z=a+V3i(a∈R)在复平面内对应的点(a,√3)位于第二象限，所以a=-1,z=-1+√3i, 2=（-1+√3)2=-2-2V3i,3=2z=-2(1+V3)(-1+V3)=8,A正确，D错误： 的虚部为√，B正确： z的共轭复数为-1-√3i,C错误. 故选：AB 解析 根据复数的几何意义以及模长公式求出a,进而逐一检验选项即可. 点评 本题考查复数的运算，属于基础题 11.答案： 【答案】 对于A,比如，d=0,6≠0，则不存在实数入，故4错误 对于B,4,B,C三点不共线，空间中任意点0，若O2=是OA+员0B+日0C, 4 8 由于是+令+日-1，则P,A,B,C四点共面，枚B正确： 对于C,a=(a,2,1),b=(4,-2+,),d与b的夹角为钝角，则a.b<0,且d,b不共线， 由d.名<0，可得4红+2(-2+到+2<0，解得x<亭：由d,6共线可得d=X6,即有红=4以，2=入 口-2列，1=加，解得=-2，入=一号 所以的取值范围是云<号，且x≠-2，故C错误： 对于D, OA,OB,OC 是空间的一个基底，则O,A,B,C四点不共面，且不共线，故D错误 故选：ACD 解析 考虑。=0，b≠0，可判断A:由空间向量共面定理可判断B:由向量的夹角为钝角的等价条件可判断C:由 空间的一组基可判断D 点评 本题考查命题的真假判断，主要是空间向量的共线定理和共面定理的运用，考查转化思想和运算能力、推理能 力，属于基础题 12.答案： 【答案】 直线的方向向量成=(2，m,1),平面a的法向量元=(1，号，2)， 若l∥a,则m⊥n, 1 即m:7=2+专m+2=0. 解得：m=-8, 故答案为：-8. 第8页共13页 解析 由直线的方向向量和平面α的法向量，若l∥α，则两向量垂直，即两向量的数量积为0，进而得到答案 点评 本题考查的知识点是直线的方向向量，平面的法向量，用向量法研究线面关系，向量的数量积，难度中档. 13.答案： 【答案】 .a-b|=√7， a2-2a.6+62=7 sa6-3 31 a x b 3x2=2 <d,6>∈0,180时] .a与b的夹角为60°. 故答案为：60° 解析 把ā一b=√7两边平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量 积和两个向革的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果 点评 本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的表示式 14.答案： 【答案】 由之=1，可知复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的单位圆上， 而z+2+√5(=z-(-2-V5)川的几何意义为单位圆上的动点到定点P(-2,-V5)的距离， 如图： B .0P=W(-2)2+(-V5)2=3, .z+2+√5的最小值为3-1=2，最大值为3+1=4. .z+2+√5的取值范围为[2,4纠. 故答案为：[2,4纠 解析 由题意画出图形，数形结合得答案 点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合思想，是基础题， 15.答案： 【答案】 第9页共13页 (I)设z=a+bi(a,b∈R),则由z+2i=a十(b+2)i为实数，∴.b+2=0,∴.b=-2. 迪2名=2+b2+2a-+a+现为实数，0+项0，b=20三 5 5 5 ∴.z=4-2,∴.1a=V/42+(-2)2=2V5.(6分) 1 Da=2士m-1m子24土m+2m十24m-322,义2第四象跟 m-11 4m-3 >0 m-1 m>1或m< 3 2m-3 -2<m<2 3,.一2<m<号或1<m< 41 m+2 解析 (I)设z=a十bi(a,b∈R),由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质求得a、b的值， 可得复数z和z (Ⅱ)化简ǎ=z+ 1 m十2，再根据它对应点在第四象限，求得m的范围， 7 m-1- 点评 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，复数的 模的定义，属于基础题 16.答案： 【答案】 (a+)(1+)a(1+)+i(1+) (1)分子分母同时乘以1十i,得到：z= =a+ai+i+2_a-1+(a+1)i (1-)(1+) 1-22 2 2 因为是纯虚数，可得0-1=0 解得a=1,符合纯虚数的条件. 0a+1≠01 ②)知a=1,则z=1+=元 1-i 由等比数列求和公式可得z+2+23+…十2025= i(1-i2025) 1-元 其中2025==i,代入上式可得： (1-) 1-2 即z+z2+3+…+z2025=i: 解析 (1)根据复数的运算法则，分子分母同时乘以1十，计算出复数z,然后由复数为纯虚数可得答案： (2)利用等比数列求和公式计算可得. 点评 本题考查复数的四则运算，考查利用等比数列求和问题，属于基础题. 17.答案： 【答案】 (1)证明：.四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形， ..BC⊥CE,BC⊥CD, 又：.平面ABCD⊥平面BCEF,且平面ABCDO平面BCEF=BC, ..DC⊥平面BCEF, ∴.DC⊥CE, 以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 第10页共13页