27.2.2相似三角形的性质同步练习2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

相似三角形的性质 一、单选题 1．如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 3．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 7．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，相交于点E，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 10．如图，C、D是关于x的函数y＝（k≠0）图象上的两点，过C、D分别作 x，y轴的垂线，垂足分别为A、B．过D点的直线交坐标轴于E、F，且D点恰好为线段EF的中点，S△ABF＝1，S△DEG＝3，则k的值为（ ） A． B．2 C．4 D．5 二、填空题 11．如图，若，且，，．则 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A(0，1)，点B为直线y=x上的一个动点，∠ABC＝90°，BC=2AB，则OC的最小值为 ． 13．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 14．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 15．如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 16．如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则= ． 三、解答题 17．如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 18．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 19．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B A D D A C 1．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等．利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 2．B 【分析】根据，且，可得到两个三角形的相似比为，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 又∵的面积为12， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，解题的关键是掌握以上知识点． 3．A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 4．C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 6．A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 7．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方． 根据图形得出，结合相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 9．A 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 10．C 【分析】根据轴，D点为线段EF的中点，可得， 点为线段的中点，是的中线，则有 ,求得，设，则，即 的坐标是（0，），的坐标是（，0），有， ，把点，点的坐标代入，可得的坐标是（ ，），的坐标是（，），设直线 的解析式是，把，的坐标代入，可求得直线的解析式是 ，根据点在轴上，可求得的坐标是（，0），则有 ，利用，，即有 ，利用， ，可求出， 【详解】解：∵轴，D点为线段EF的中点， ∴， ∴点为线段的中点，是的中线， ∴, ∴，即：， 设，则， 即的坐标是（0，），的坐标是（，0）， ∴，， 把点的坐标代入，得：， 把点的坐标代入，得：， ∴的坐标是（，），的坐标是（， ）， 设直线的解析式是，把，的坐标代入， 得： ，解之得： ∴直线的解析式是， ∵点在轴上，∴ 把代入直线的解析式得：， 解得， ∴的坐标是（，0）， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 11． 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小． 【详解】连接OC，在△AOC中， OC<OA+AC或OC>AC-OA 故求OC最短，即求AC最短 由题意知：∠ABC=，BC=2AB且点A(0，1)， 设AB=m，BC=2m，AC= m 根据点到直线的距离可知，m最小= ． 此时AB⊥直线y=x，点C在直线上 ∴BC= 作BD⊥OA与点D， 在△ABD和△BOD中 ∴△DOB∽△OBA ∴ 又∵AB=m= ∴OB= ∴OC= 故答案为． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键． 13．或 【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解． 【详解】解：∵直线，即恒过点， 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， 即，， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴，即， ， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．秒或秒 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 15．/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 16． 【分析】根据题意，设，，由，分别得到，，进而得到，再由列式求出x的值，代入即可得到的值． 【详解】根据题意，设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或 ∴（由图可知） ∴当时， 当时，（舍） 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，熟练掌握相似的证明方法是解决本题的关键． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，进而可证； （2）根据相似三角形的性质得到，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ∵，， ， 解得， 20．(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形的性质 一、单选题 1．如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 3．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 7．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，相交于点E，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 10．如图，C、D是关于x的函数y＝（k≠0）图象上的两点，过C、D分别作 x，y轴的垂线，垂足分别为A、B．过D点的直线交坐标轴于E、F，且D点恰好为线段EF的中点，S△ABF＝1，S△DEG＝3，则k的值为（ ） A． B．2 C．4 D．5 二、填空题 11．如图，若，且，，．则 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A(0，1)，点B为直线y=x上的一个动点，∠ABC＝90°，BC=2AB，则OC的最小值为 ． 13．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 14．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 15．如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 16．如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则= ． 三、解答题 17．如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 18．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 19．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $