四川省绵阳南山中学实验学校2026届高三上学期数学二诊模拟试题（三）

绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（三） 数学 命题：李果 审题：赵杰 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.设复数二=(1+ai)(2-1),若：的实部与虚部相等，则实数a的值为 A.3 B.1 C.-1 D.-3 2.已知集合M={xr2-2x-3≤0，N={xy=血(x-4)},则(CRM0nN等于 A(-1,4 B.（-1,3] C.(3,+0) D.(4,+0) 3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=10,则f(g3)= A.-3 B.3 c写 n 4.在数列{a}中，4=1，若数列{a。·a+}是公比为2的等比数列，则4+4+4++a4,= A2048 B.2047 C.1024 D.1023 5已知双南线C二=1的两个焦点分别为片，￡，过右焦点R作直线人交右支于A.B两 点，以B为直径的圆过R,若B那-9A,则双曲线C的离心率的平方为 73 A. 87 123 129 c. 3 B. D. 13 26 26 6.在四边形ABCD中，AB=DC,AB=1,-V2),AD=4,2V2).若四边形ABCD的 面积为12√2，则实数2的值为 第1页 A.3 B.√5 D.3 3 3 7.在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为”的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于 某一顶点的3个面相切，另有一个半径为R的大球放在4个小球之上，与4个小球相切，并与 正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，5个球相切不松动，设小球半径”的最大值为M,大球 半径R的最小值为N,则1g(2MW)= A.2 B.1 C. D.5 8.设函数f(x)=(Wx-a)nx-b),若f(x)≥0恒成立，则a-b的最小值是 A.2-21h2 B.In2 C.1 D.3-21n2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分 若上<1<0，则下列不等式正确的是 9.若二< a b A.a B.a<b C.a+b>ab D.a2-a<b2-b 10.在直角坐标系xOy中，己知⊙O是以O为圆心的单位圆，点A的坐标为(1,0)，角日的始边 为射线OA,终边OB交圆O于点B,过点B作直线OA的垂线，垂足为C.若将点C到直线OB 的距离表示为B的函数h(0),则 B.h(8)的最小正周期为 4 3π 是h(8)的一个单调减区间 D.h(0)+h 不+6的最大值为 4 11.设正项数列{a}的前n项和为Sn,若4=1，且对任意的正整数n都有a+1≤Sn,∈N, 称{a}是“入-数列.下列结论正确的是 A.若{bn}是首项为1公差为2的等差数列，则{b}是“3一数列 B.若{b}是2-数列，则不可能存在正整数n≥2，满足b,>2·3-2 C若私，}是-数列，且6.=)21+5)则2的最小值是4 D任给1<p<g,若6.=(p+4)且1+元≥g,则，}是入-数列 共6页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(m+2n,2),b=(1,2),其中m>0.若a/b, 则n的最大值为_， 13.如图，已知点P是反比例函数y=3(x>0)图象上一动点，点 A(-1,I),则△AOP的面积的最小值为 4设晒数f)=nx-k加-b,xE0,引 其中k,b∈R.若k=2,b=0,则f(N)的 最小值为；若∫(x)≥0恒成立，则-k2+πk+b的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) 6 a+b+c 在△ABC中，角A,B,C所对的边为A,b,C,且 cos B cos4+cosB+cosC (1)求角B的大小： (2)若cosA= 27,求tan(2A-B)的值. 7 16.(15分) 在三棱锥S-ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°. (1)求证：AC⊥SB: (2)若AB=2,SC=2√2，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值. B 第2页 17.(15分) 已知函数gx)= x (1)求过点A(-4,2)且与曲线y=g(x)相切的直线方程； 2)今f()=二m,若四有两个极值点5,5，记过两点P(x,f:)》, g(x) Q寸八化)的直线率为k.是否存在实数Q,使得ka?若存在，求a的值：若不 在，试说明理由 18.(17分) 己知双自线c:答是-1a0b>0的离心*为V万，点（民，-)在双前线c上.过C的左 焦点F作直线I交C的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若M(-2,O),试问：是否存在直线l,使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由. (3)点P(-4,2),直线AP交直线x=-2于点2.设直线OA、OB的斜率分别k、k,,求证：k-k 为定值. 19.(17分) 设a,b是实数，函数f()=alnx-号b(x-l. (1)当b=2时， (1)讨论函数g(x)= f) 的单调性； x (ii)若f(x)≤0在(0，+o)上恒成立，求a的值. 2当a≥6>0时，正明：国数f)有两个极恤点名，名6<)且飞225。 共6页绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（三） 数学参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 A D A B A BD ACD ABC 11.【详解】对于A,若{bn}是首项为1公差为2的等差数列，则bn=2n-1, 所以3，=n2n-1+1) =m2,b1=2n+1,b1-3S。=2m+1-3m2=-(3n+(n-1≤0， 所以bn1≤3Sn,所以{bn}是“3一数列”，正确： 对于B,若{bn}是“2-数列”，则b1≤2Sn，所以b2≤2S,=2,b≤2S2≤6， b4≤2S3≤18，…，所以bn≤23m-2,假设n=k(k≥1)时，有b≤23-2， 则n=k+1时，S4=b+b2+…b6≤1+2+23+…23-2=3+(3--3=3-1， 所以b41≤2S≤2-3-2=23+-2，综上bn≤23”-2，正确； esn-g b1=22°+5） 若6，是2-数列，则6≤3，即2+5到≤2-+5-， 骑以-2+后-小s务≥0，=1时，1-2仔-小s0,不合题 a=2,n=1时，(2-2+行小5-子<0，不合题意， 2=3,n=1时，3-2+}-小5<0，不合题， 元之4时，-2+任-小5-子≥2-2+经-小5-公>0恒成立，成2的最小值是4，重痛 对于D,4p+g,心=，2-4=2-p+g),取1<p=2<g=3 入=2时，2-2+3)<0，不满足a≤5，恒成立，错误 第1页共6页 12.1/8 13.√ 140:元+1. 16 15(1)由正弦定理，因为 a+b+c cos B cos 4+cos B+cosC' 所以sinB_sinA+sinB+sinC cos B cos A+cos B+cosC sin Bcos A+sin B cos B+sin B cos C sin Acos B+sin B cos B+sin C cos B, 整理得sin Bcos A-sin Acos B=sin C cos B-sin Bcos C, 所以sinB-A=sinC-B),所以B-A=C-B+2kπ或B-A+C-B=π+2kπ，k∈Z, 所以A+C=2B+2kπ或C-A=π+2kπ（舍去），而A+C∈(0，π)，C-A∈(-π，π)， 所以B=π-(A+C)=π-2B,所以B= 3 (2)因为cosA= _27,所以nA=-osA=牙 7 7 所以tanA= √2i√ ,所以tan2A=,2tanA。 2√72 1-tan2 A 1- 3=4V5 4 所以tan(2A-B)= tan 24-tan B 43-3 33 1+tan 24tan B 1+43.3 13 16.(1)证明：取AC的中点为E,连结SE,BE, :AB=BC,·BE⊥AC,在△SCB和△SAB中，∠SAB=∠SCB=90°，AB=BC,SB=SB .△SCB兰△SAB,.SA=SC,:AC的中点为E,.SE⊥AC,:SE∩BE=E,.AC⊥面SBE, :SBC面SBE,.AC⊥SB ZA (2)过S作SD⊥面ABC,垂足为D,连接AD,CD,:SD⊥AB :AB⊥SA,AB⊥SD,SA∩AD=A,AB⊥平面SAD .AB⊥AD,同理，BC⊥CD :底面△ABC为等腰直角三角形，AB=2,SC=2√2， .四边形ABCD为正方形且边长为2 以D为原点，DA,DC,DS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-yz,则 A2,0,0),S(0,0,2),C(0,2,0,B2,2,0 S元=(0,2，-2)，AC=(-2,2,0),B元=(-2,0,0)' 第2页共6页 设平面S4C的法向量n=(x,,2),则i.S元=2y1-2Z1=0,解得x=y=:, i·AC=-2x1+2y1=0 取，=1，则片=1名=1，i=,1),设平面S8C的法向量苑=(x3y22)则 立·S元=2y2-222=0,解得 x=0 y=2’取⅓=1，则=0，=1，m=(0,11), i.B元=-2x2=0 t面s4与面C光为6，：c00=cos<成>=帚=高=号 故平面S4C与平面SBC夹角的余弦值为y6 171)设过点-4,2)且与曲线y=g)相切的宣线与)=8（切于点而元）》 1 由8小号得g小子所以=名，所以线方程为y z(x-xo), 即ys、1 2,该切线过点机42引，所以2=4+2，即-k-2=0, 2+ 解得x。=2或x=-1,所以y=-x+1或y=-X-2, 4 ②f=-1=-am2+,则f=3r-2ax+l. 1 △=4a2-12>0 a2>3 由题意3r-2ar+1=0有两个不等的实根x,与，所以x+无，= 2a 2a ,即x+x2= 3 1 xX3=3 x3=3 k=f出)-f=号-a+5--a-五_五-x+x+)-a(x3-x川x2+x)+x-x X2-X1 x2-X1 X2-x1 =x号+xx2+x2-a(x2+x)+1=(x2+x)}-xx2-ax2+x)+1 3女1号号 -a+1=0, 解得a=或a=3,又a2>3,所以a=3 第3页共6页 B心由双线C。,的离心率为2，且WB,-在双曲线C上 [91 a1 可得e=2,解得a8b=8，双曲线的方程为g尽力 a c2=a2+b2 (2)双曲线C的左焦点为F(-4,0), 当直线1的斜率为0时，此时直线为y=0,与双曲线C左支只有一个交点，舍去； 当直线l的斜率不为0时，设1：x=my-4, 联立方程组{ x=my-4 -y=8消x得(m-2-8my+8=0,易得△>0， 设(，小，8()，则男+片=8m 221=2<0,可得1<m1, :MA=(x+2,y）,MB=x2+2,y2), 则MA·MB=(x2+2)(x+2)+yy2=(my-2)(my2-2)+yy2 8m2+116m2 =(m2+1y2-2m(y+y2)+4= m2-1m2-+4=-4, 即MA.MB≠0，可得MA与MB不垂直， .不存在直线l,使得点M在以AB为直径的圆上. (3)由直线AP:y-2=kx+4),得Q(-2,2+2k), ,又-子 x+4 my :k-k,=当-2_五-2-2k-y-2m%,-2-my(02-2-2k) my my2-2 my (my2-2) =-=2m-2y+4+2my,+2mky my(my2-2) :=当2 kmy=y-2,且+y2=myy2, my 2my-=2(y-）=-2,即k-k为定值. k-6mm-2y+%29 190当b=2,g=四=anx-（+2 第4页共6页 则gx)=2-1+ 1-x2+ax+1 2 x2 对于开口向下的二次函数m(x)=-x2+ax+1, 因△>0，m0)=1>0,所以必有唯一正根=a+V。+4 因此当x∈(0，xo时，m(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈xo,+o)时，m(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减. 「2 综上：g(x)的单调增区间为 a+va2+4 atva+4 0. 单调减区间为 .+00 2 (i)f(x)≤0在(0，+o)上恒成立等价于g(x)≤0在(0，+o)上恒成立.注意到g(I)=0. 则当a=0时，x=1,由第()问的单调性知g(x)≤0在(0，+0)上恒成立. 当a>0时，x,>1,此时当1<x<x时，g(x)单调递增，g(x)>g(1)=0,矛盾； 当a<0时，0<x,<1,此时当x<x<1时，g(x)单调递减，g(x)>g(1)=0,矛盾. 综上所述，a的值为0. (2)f(x)=alnx+a-b(x-1). 令H(x刘=f"(x)=anx+a-b(x-,H'(x)=a-b=a-b 令H'(x)=0,得x= b 所以当x>公时，到<0f八国=国单消递减： 当0<x<号时，H'(>0,f(=(y单调遥增 注编0)=a>0,所以82f0>0.因为a≥6>0， 所以当0<x<1时，f'(x)<alnx+a+b≤alnx+2a=a(lnx+2), 故f'e2<0,从而存在xee2,1,有f(x)=0, 当x>1时，设p(x)=x-1-1nx,则p(x)=X>0恒成立， 则px在1，+o）上单调递增，则p(x>p1=0,即x-1-lnx>0, 第5页共6页 则lnx<x-1在(1，+o)恒成立.从而ln<V-l,lnx<2F-2. 所以f'(x)<a(2Wx-2)+a-bx+b=-bx+2aNx+b-a≤-bx+2aVx. 台0，风在台门 有f'(x2)=0. 当x∈(0，x)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈（x,x2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(x2,+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数f(x)有两个极值点x,x2x,<x2). 又e2<x<1<x2< 2a2 b 2a 所以x2 结论得证. 第6页共6页绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（三〉 数学参考答案 题号 6 8 9 10 11 答案 A D C D A B A BD ACD ABC 11.【详解】对于A,若{bn}是首项为1公差为2的等差数列，则bn=2n-1, 所以S.=2n1+=m,61=2n+1,b138.=2n+1-3=-(3n+10n-1)≤0， 2 所以bn+1≤3Sn,所以{bn}是3一数列”，正确： 对于B,若{b.}是2-数列，则b1≤2S,所以b,≤2S1=2,b≤2S,≤6， b,≤2S,≤18，，所以bn≤2·3-2，假设n=k(k≥1)时，有b≤23-2， 则n=k+1时，S=b+b2+b≤1+2+23+-23-2=3+(3-1-3)=3-1， 所以b1≤2S。≤2-3-2=23+2，综上，b≤23-2，正确： c8-2扣小 1-2+1-5 b1=5(2+5)） 若，}是1-数外，则6≤8，即2+5）2-1+5-， 南以(2-2+经-小5子0.=1时，-2+任-小5至0，不合数 A=2,n-1时，(2-12+日-小5-0，不合思整： A-3,n-1时(6)2+得-小550，不合题或 .a2〔经水子a2〔存小 >0恒成立，故2的最小值是4，正确： 对1D,4-p+g).8-元，28-4-Ap+9),取1<p-2<9-3. 1-2时，22（2+3)<0，不满足a1≤25，恒皮立，错误 第1页共6页 12.1/8 13.√5 14.0: +1 16 15(1)由正弦定理，因为 a+b+c cosB cos4+cos B+cosC 所以sinB-sinA+sinB+sinC cos B cos A+cos B+cosC sin B cos 4+sin B cos B+sin B cosC=sinAcos B+sin B cos B+sinC cos B, 整理得sin Bcos4-sinAcos B=sin Ccos B-sinBcosC, 所以sin(B-A=sin(C-B),所以B-A=C-B+2kπ或B-A+C-B=π+2kπ，k∈Z, 所以A+C=2B+2kπ或C-A=+2kπ（舍去），而A+C∈(0，π)，C-A∈(-π，π)， 所议B=7(41C)-元20，所以B-号 (2)因为cosA= ,所以sn4s互 2W7 7 所以tanA= 215 所以tam2A=,2tan4、V5 1-tan'A 1- 3 =4V3 272 4 tan 24-tan B 45-535 所以tan2A-B)=1+tan24tanB1+43.33 16.(1)证明：取AC的中点为E,连结SE,BE, ,AB=BC,∴.BE⊥AC,在△SCB和△SAB中，∠SAB=∠SCB=90°，AB=BC,SB=SB ∴.△SCB≡△SAB,∴.SA=SC,,AC的中点为E,.SE⊥AC,,SE∩BE=E,∴AC⊥面SBE, SBC面SBE,.AC⊥SB (2)过S作SD⊥面ABC,垂足为D,连接AD,CD,.SD⊥AB ,AB⊥SA,AB⊥SD,SA∩AD=A,ABL平面SAD AB⊥AD,同理，BC⊥CD D 底面△ABC为等腰直角三角形，AB=2,SC=2V2, ∴.四边形ABCD为正方形且边长为2. 以D为原点，DA,DC,DS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-x匹，则 A(2,0,0),S(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0) ·SC=(0,2,-2),AC=(-2,2,0),BC=(-2,0,0), 设平面4℃的法向量n=(5,,),则.C-21-2=0,解得=y=:, n·AC=-2x1+2y1=0 第2页共6页 取名=1，则y=l,-1i=1),设平面S8C的法向量元=2,2,2小则m-元二222：=0， 气m.BC=-2x2=0 解得 y=2取1，则=0=1，m=(0,11. X=0 利2 V6 段平面8AC与平面SBC夹角为8，∴c0s日=cos<m=mV3xV疙于 故平面4C与平面SBC夹角的余弦值为V 3 17.(1)设过点A(-4,2)且与曲线y=g(x)相切的直线与y=g(x)切于点 .1 由8()=士得8)=所以k=是 乏，所以切线方程为y一=一之(x一。)，■ 即v二】x+二，该切线过点“’以2三2+ 天+，即--20， 解得X=2或，=-1，所以y=- x+1或y=-x-2: 4 ae)-￡t1-2-m2+,则=3n-2x+1. x △=4a2-12>0 2>3 由题意3x2-2x+1=0有两个不等的实根x,飞，所以：+：= 2a 2a ,即x+x2= 3 3 1 x=3 x,=3 k=f()-fs_-a+5--a-5_(x,-x)(+西+)-a(玉-)(s,+5)+,-5 七2-水 x2-X 2一X =号+x2+x2-a(x+x)+1=(3+x)2-xx-a(x+x)+1 片受智 9-a+1=0, 解得a=3或a=3,又2>3，所以a=3 1R①由双前线C若多I的离率为万，且M3-)在双线C上， 第3页共6页 层京1 可得{e=C=反，解得=8b:=8,双曲线的方程为。兰=1. a 88 c2=a2+b2 (2)双曲线C的左焦点为F(4,0), 当直线1的斜率为0时，此时直线为y=0,与双曲线C左支只有一个交点，舍去； 当直线1的斜率不为0时，设：x=my-4, [x=y-4 联立方程组 x2-y2=8消x得(m-刂2-8w+8=0,易得△>0， 8 殴A5,⅓)，By:则y+yy,0,可得1< MA=(s+2,),ME=(x+2,y), 则MA·MB=(x2+2)(1+2+yy2=1-2)w2-2+yy2 =(m2+1)yy2-2m(+y2+4= 8m2+1）16m4=-4, m2-1m2-1 即MA.MB≠0，可得MA与MB不垂直， ∴.不存在直线l,使得点M在以AB为直径的圆上. (3)由直线AP:y-2=k(x+4),得2(-2,2+2k) 又居 x+4y1 k-k,=42.h-2-2%--2m,-2)-4,-2-2%) y1y2-2 y(y2-2) =-2m-2y+4+2m%+2k上 m4(w0y2-2) :后=2，k0y=y-2,且男+y=, ny, k-k=2m)28-2,即k-k为定值。 y(y2-2）4+y2-2y 1916当6=2时，8)=f@=aix-x+12）, 则gw至1m x2 第4页共6页 对于开口向下的二次函数(x)=-x2+ax+1, 因为△>0，m0)=1>0,所以必有唯-正根-+V厅+4 2 因此当x∈(0，x)时，(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x∈（x。,+oo)时，(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减， a+V2+4 综上：g(x)的单调增区间为 a+va2+4 0, 2 单调减区间为 2 (i)f(x)≤0在(0，+o)上恒成立等价于g()≤0在(0，+o)上恒成立.注意到g(1)=0. 则当a=0时，x。=1,由第(i)问的单调性知g(x)≤0在(0，十o)上恒成立. 当a>0时，x。>1,此时当1<x<时，g(x)单调递增，g(x)>g(I)=0,矛盾： 当a<0时，0<x。<1,此时当x。<x<1时，g(x)单调递减，g(x)>g(1)=0,矛盾. 综上所述，4的值为0. (2)f'(x)=alnx+a-b(x-1). 令（国-f()=axa-6r=,Hr()-b-a 令日-0，将x-分 所以当x>C时，H'(x)<0,∫(，)=H(x)单调递减： 当0<x<时，H(x)>0,f(x)=H()单调递增。 b 注意到f①)=a>0,所以f 8)10>0.因为a≥b>0, 所以当0<x<l时，f'(x)<alnx+a+b≤ax+2a=amx+2), 故f(e2)<0,从而存在x∈(e2,1),有f(x)=0, 当x>1时，设(x)=x-1-nx,则o(e=二1>0恒成立， 则p(x)在(1，+o)上单调递增，则p(x)>p(1)=0,即x-1-nx>0, 则nx<x-1在(1，+o)恒成立.从而n√x<√x-1,lnx<2x-2. 所以f'(w<a(2Wx-2)+a-bx+b=-bx+2aW+b-a≤-bx+2a√. 第5页共6页 故r《会0.从飞 有f3,)=0 当x∈(0，x)时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(x,x2)时，f(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(x2,+o)时，f(x)<0,f(x)单调递减.所以函数f(x)有两个极值点x,x2(x<x2) 又e2<x<1<x2< 2a b 所以x2 结论得证， 第6页共6页 绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（三） 数 学 命题：李果 审题：赵杰 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为 A. 3 B. 1 C. －1 D. －3 2. 已知集合，，则等于 A B. C. D. 3 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 A. －3 B. 3 C. D. 4. 在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则 A 2048 B. 2047 C. 1024 D. 1023 5.已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为 A． B． C． D． 6. 在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为 A. 3 B. C. D. 7. 在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的3个面相切，另有一个半径为的大球放在4个小球之上，与4个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，5个球相切不松动，设小球半径的最大值为，大球半径的最小值为，则 A. 2 B. 1 C. D. 5 8. 设函数，若恒成立，则的最小值是 A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 若，则下列不等式正确的是 A. B. C. D. 10. 在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则 A. B. 的最小正周期为 C. 是的一个单调减区间 D. 的最大值为 11. 设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，，称是“数列”．下列结论正确的是 A. 若是首项为1公差为2的等差数列，则是“3－数列” B. 若是“2－数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则最小值是4 D. 任给，若，且，则是“数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，其中．若，则的最大值为______． 13. 如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 14. 设函数，，其中，．若，，则的最小值为______；若恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 在中，角，，所对的边为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的值． 16. （15分） 在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，. （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. （15分） 已知函数． （1）求过点且与曲线相切直线方程； （2）令，若有两个极值点，，记过两点，的直线斜率为．是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 18. （17分） 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 19. （17分） 设，实数，函数． （1）当时， （ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若在上恒成立，求的值． （2）当时，证明：函数有两个极值点，且． 绵阳南山中学实验学校高23级高三（上）二诊模拟三 参考答案 1． 单选题 ADCD ACBA 2． 多选题 BD ACD ABC 11.【详解】对于A，若是首项为1公差为2的等差数列，则， 所以，，， 所以，所以是“3－数列”，正确； 对于B，若是“2－数列”，则，所以， ，所以，假设时，有， 则时，， 所以，综上，，正确； 对于C，因为，所以，， 若是“数列”，则，即， 所以，时，，不合题意； ，时，，不合题意； ，时，，不合题意； 时，恒成立， 所以的最小值是4，正确； 对于D，，，，取， 时，，不满足恒成立，错误. 3． 填空题 12. 1/8 13. 14. 0；. 四．解答题 15.【小问1详解】 由正弦定理，因为， 所以， 所以， 整理得， 所以，所以或， 所以或（舍去），而,， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以. 16.【小问1详解】证明：取的中点为E，连结， ∵，∴，在和中， ∴，∴，∵的中点为E，∴，∵，∴面， ∵面，∴ 【小问2详解】过S作面，垂足为D，连接，∴ ∵，平面 ∴，同理， ∵底面为等腰直角三角形，， ∴四边形为正方形且边长为2. 以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面的法向量，则，解得， 取，则，∴，设平面的法向量，则，解得，取，则，∴， 设平面与平面夹角为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17.【小问1详解】 设过点且与曲线相切的直线与切于点， 由得，所以，所以切线方程为， 即，该切线过点，所以，即， 解得或，所以或； 【小问2详解】 ，则， 由题意有两个不等的实根，， 所以，即， 则 ， 所以，解得或，又，所以. 18.【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值． 19.【小问1详解】（i）当时，， 则 对于开口向下的二次函数， 因，所以必有唯一正根． 因此当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上：的单调增区间为，单调减区间为． （ii）在上恒成立等价于在上恒成立．注意到． 则当时，，由第（i）问的单调性知在上恒成立． 当时，，此时当时，单调递增，，矛盾； 当时，，此时当时，单调递减，，矛盾． 综上所述，的值为0． 【小问2详解】． 令， 令，得． 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 注意到，所以．因为， 所以当时，， 故，从而存在，有， 当时，设，则恒成立， 则在上单调递增，则，即， 则在恒成立．从而． 所以． 故．从而存在，有． 当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，单调递减．所以函数有两个极值点． 又， 所以，即． 结论得证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $