寒假作业02 数轴上的动点问题5大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 数轴上的动点问题 一、绝对值几何意义的拓展 1、已知数轴一定点A所表示的数是a，动点P所表示的数是x，则当点P在数轴上运动时，线段PA的长度可表述为。 2、已知数轴上定点A、B所表示的数是a，b，动点P所表示的数是x，则当点P在数轴上运动时，点P到点A，B的距离之和是 二、根据绝对值的意义进行分类讨论 已知数轴上定点A、B所表示的数是a，b（a＞b） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 动点规律运动探究 1．如图，在数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题： （1）将点B向右移动6个单位长度到点D，在数轴上画出点D； （2）在数轴上画出点E，使点E为BA的中点，在数轴上标出点E表示的数，CE的长为　7.5　 个单位长度； （3）O为原点，取OC的中点M，分OC分为两段，记为第一次操作：取这两段OM，CM的中点分别为N1，N2，将OC分为4段，记为第二次操作；再取这四段的中点，将OC分为8段，记为第三次操作；…，第六次操作后，OC（包含两个端点）之间共有　65　 个点，并且这些点所表示的数的和是　130　 ． 【解答】解：（1） ； （2） ∵E表示的数是﹣3.5，C表示的数是4，∴CE＝4+3.5＝7.5， 故答案为：7.5； （3） ∵每次操作后段数是2n ∵每次操作点数是2n+1， 因为第1次操作，有3个点个点，3＝21+1， 第2次操作．有5个点，5＝22+1 第3次操作，有9个点，9＝23+1 … 所以第6次操作后，OC之间共有26+1＝65个点． 因为65个点除去0以外有64个数， 共有32对对称点，中间一个是2，每对对称点的和是4， 所以这些点所表示的数的和为32×4+2＝130． 2．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣6和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则；两人先进行“石头，剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … （1）从如图所示的位置开始，第一局后甲、乙两人分别在数轴上代表的数为 　﹣5；8　 ． （2）从如图所示的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜，这五局结束后乙离原点距离为 　4　 ． （3）从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值． 【解答】解：（1）完成了1次移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动1个单位长度到﹣5， 乙向西移动1个单位长度到8； 故答案为：﹣5；8； （2）因为从前五局来看，甲一平两胜， ∴整个过程看：甲一平两赢两输，而乙一平两输两赢，（向东为正）， ∴根据规则五局之后甲对应的数为：﹣6+1+4+4﹣2﹣2＝﹣1， 根据规则五局之后甲对应的数为：9﹣1+2+2﹣4﹣4＝4， 故乙离原点4个单位， 故答案为：4； （3）k的值为6或9， 刚开始甲乙两人相距15个单位长度， ∵若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度， ∴若平局，移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度， ∴若甲赢，移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度， ∴若乙赢，移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∴甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位， ∵最终甲与乙的位置相距3个单位， ∴共需缩小12个单位或18个单位， ∵12÷2＝6，18÷2＝9， ∴k的值为6或9． 3．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣14和15的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． （1）从如图的位置开始，若完成了1次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距 　27　 个单位长度； （2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的式子表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； （3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出k的值． 【解答】解：（1）完成了1次移动游戏，结果为平局，则甲向东移动1个单位长度到﹣13，乙向西移动1个单位长度到14， ∴移动后甲、乙两人相距14﹣（﹣13）＝27个单位， 故答案为：27； （2）∵乙赢了n次， ∴乙输了（10﹣n）次． ∵乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度， ∴乙赢了n次后，乙停留的数字为：15﹣3n． ∵若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ∴乙输了（10﹣n）次后，乙停留的数字为：15﹣3n+（10﹣n）， 根据题意得：15﹣3n+（10﹣n）＝m， ∴m＝25﹣4n， ∵n为正整数， ∴当n＝6时，该位置距离原点O最近； （3）由题意可得刚开始两人的距离为29， ∵若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度， ∴若平局，移动后甲乙的距离缩小2个单位． ∵若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度， ∴若甲赢，移动后甲乙的距离缩小2个单位． ∵若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． ∴若乙赢，移动后甲乙的距离缩小2个单位． ∴甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位． ∵甲与乙的位置相距3个单位，共需缩小26个单位或32个单位． ∵26÷2＝13，32÷2＝16， ∴k的值为13或16． 4．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动．如图1，数轴上的点M，N所表示的数分别为0，12．将一枚棋子放置在点M处，让这枚棋子沿数轴在线段MN上往复运动（即棋子从点M出发沿数轴向右运动，当运动到点N处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M处，随即沿数轴向右运动，如此反复）．并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M开始运动t个单位长度至点Q1处；第2步，从点Q1继续运动2t个单位长度至点Q2处；第3步，从点Q2继续运动3t个单位长度至点Q3处…… 例如：当t＝3时，点Q1，Q2，Q3，的位置如图2所示． 解决如下问题： （1）如果t＝4，那么线段Q1Q3＝　4　 ； （2）如果t＜4，且点Q3表示的数为3，那么t＝　或　 ； （3）如果t≤2，且线段Q2Q4＝2，那么请你求出t的值． 【解答】解：（1）当t＝4时，Q1表示的数为4， Q1Q2＝4×2＝8，Q2表示的数为4+8＝12， Q2Q3＝4×3＝12，Q3所表示的数为0， ∴Q1Q3＝4， 故答案为：4． （2）①当Q3未到点N返回前，有t+2t+3t＝3，解得：t， ②当Q3点到达N返回再到表示3的位置，t+2t+3t+3＝12×2，解得：t， 故答案为：或； （3）①当Q4未到点N，有3t+4t＝2，解得：t； ②当Q4到达点N返回且在Q2的右侧时，有24﹣10t﹣3t＝2，解得：t； ③当Q4到达点N返回且在Q2的左侧时，有3t﹣（24﹣10t）＝2，解得：t＝2； 答：t的值为或或2． 5．已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点． （1）数轴上A、B两点的距离为　8　 ． （2）当P点满足PB＝2PA时，求P点表示的数． （3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4． ①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则ko的值是多少？ ②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是　3000　 （请直接写答案）． 【解答】解：（1）|+2﹣（﹣6）|＝8， 故答案为：8． （2）设点表示的数为x， ①当点P在点A的左侧时，有2（2﹣x）＝x﹣（﹣6） 解得，x， ②当点P在点A的右侧时，有x+6＝2（x﹣2）， 解得，x＝10 答：点P所表示的数为或10． （3）①设k0所表示的数为a，由题意得， a+2﹣4+6﹣8+10﹣12＝12， 解得，a＝18， 答：k0所表示的数为18． ②由题意的， a+2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+2002﹣2004＝1998， 解得，a＝3000， 故答案为：3000． 题型二 动点定值问题 6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　﹣4　 ，B　﹣1　 ，C　2　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意知，点A表示的数为0﹣4＝﹣4， 点C表示的数为﹣4+6＝2， 点B表示的数为， 故答案为：﹣4，﹣1，2； （2）①18秒后点P表示的数为：2﹣18×0.2＝﹣1.6， 点P与点B之间的距离为：|﹣1﹣（﹣1.6）|＝|﹣1+1.6|＝0.6； ②由题意知，运动时间为秒时，点P表示的数为2﹣0.2t， 点Q表示的数为﹣4﹣0.6t， 点M表示的数为﹣1﹣0.3t， 则QM＝|﹣1﹣0.3t﹣（﹣4﹣0.6t）|＝|3+0.3t|＝3+0.3t， MP＝|2﹣0.2t﹣（﹣1﹣0.3t）|＝|3+0.1t|＝3+0.1t， QM+mMP＝3+0.3t+m（3+0.1t）＝3m+3+（0.1m+0.3）t， 当0.1m+0.3＝0时， 解得m＝﹣3． QM+mMP＝3m+3＝﹣6，始终保持不变， 7．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　5　 表示的点重合； （2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； ②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12， 12÷2＝6， AB的中点表示的数为：9﹣6＝3， 3﹣1＝2，3+2＝5， 则点B与5表示的点重合； （2）①由题意可知， t 秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t， B点所在的数为：1﹣t， C点所在的数为：9﹣4t， （i）若B为AC中点， 则 ． ∴t＝1； （ii）若C为AB中点， 则 ， ∴t＝4； （iii）若A为BC中点， 则 ， ∴t＝16， ∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； ②假设存在． ∵C在B右侧，B在A右侧， ∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t， AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t， mBC﹣2AB ＝m（8﹣3t）﹣2（4+t） ＝8m﹣3mt﹣8﹣2t ＝8m﹣8﹣（3mt+2t） ＝8m﹣8﹣（3m+2）t， 当3m+2＝0即m时， mBC﹣2AB＝8×（）﹣8为定值， ∴存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值． 8．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的k倍，且k为正整数，（即PM＝kPN），则称点P是“[M，N]整k关联点”．如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为﹣2，4． （1）原点O　不是　 （填“是”或“不是”）“[A，B]整k关联点”； （2）若点C是“[A，B]整2关联点”，则点C所表示的数xC＝　2或10　 ； （3）点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“[A，Q]整2关联点”，记为A′，作“[Q，B]整3关联点”，记为B'；，且满足A'，B'分别在线段AQ和BQ上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子mQA'+nQB'为定值，直接写出m，n满足的数量关系 mn ． 【解答】解：（1）根据关联点定义应该是OA＝2OB不成立，故不是， 故答案为：不是； （2）∵点C是“[A，B]整2关联点”则CA＝2CB， CB，CA， 则2， ①﹣2﹣xC＝8﹣2xC，解得：xC＝10， ②﹣2﹣xC＝﹣8+2xC，解得：xC＝2， 综上，xC＝2或10 故答案为：2或10； （3）∵A'足[AQ]整2关联点，AA′＝2A′Q； ∵A′在线段AQ上， A′A+A′Q＝AQ则3A′Q＝AQAQ， 同理B′Q＝3B′B，B′Q+B′B＝BQ， 则4B′B＝BQ， ∴B′BBQ， ∴B′QBQ， ∴mQA′+nQB′mAQnBQ， 设点Q表示的数为xQ，Q在A，B之间运动， 则AQ＝xQ﹣（2）＝xQ+2，BQ＝4﹣xQ， ∴mQA′+nQB′m（xQ+2）n（4﹣xQ）＝（）xQ3n， ∵当Q运动时存在整数m、n，使上式为定值， ∴与xQ取值无天，即不存在含xQ的项，xQ系数为0， ∴0， ∴mn， 故答案为：n． 9．已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝b﹣a，请回答下列问题． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ，c＝　2　 ； （2）若a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请画出数轴并在数轴上表示出A，B，C三点； （3）在（2）的情况下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点C以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒6个单位长度的速度向右运动，已知点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．问：AB﹣BC的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说明理由；若不会，请求出AB﹣BC的值． 【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝b﹣a， ∴a＝﹣1，b＝1，c＝b﹣a＝1﹣（﹣1）＝2； 故答案为：﹣1；1；2； （2）画出数轴，在数轴上表示A、B、C如下： （3）AB﹣BC的值在B与C相遇前会改变，相遇后不会随着时间的变化而改变，理由如下． 经过t秒后，A点表示的数为﹣2t﹣1，C点表示的数2﹣2t，B点表示的数为6t+1， ①B与C相遇前， ∴AB＝（6t+1）﹣（8t﹣1）＝8t+2，BC＝（2﹣2t）﹣（6t+1）＝1﹣8t， 即AB﹣BC＝（8t+2）﹣（1﹣8t）＝16t+1， ∴AB﹣BC的值随着时间的变化而变化； ②B与C相遇后， ∴BC＝（6t+1）﹣（2﹣2t）＝8t﹣1AB＝（6t+1）﹣（8t﹣1）＝8t+2， 即AB﹣BC＝8t+2﹣（8t﹣1）＝8t+2﹣8t+1＝3， AB﹣BC的值随着时间的变化而没有变化， 综上所叙AB﹣BC的值在B与C相遇前会改变；相遇后不会随着时间的变化而改变，AB﹣BC的值为3． 10．阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　5　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为　﹣5或3　 ； （3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　﹣1+x ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒， 试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【解答】解：（1）如图所示： （2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）； 设D表示的数为a， ∵AD＝4cm， ∴|﹣1﹣a|＝4， 解得：a＝﹣5或3， ∴点D表示的数为﹣5或3； 故答案为：5，﹣5或3； （3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x； 故答案为：﹣1+x； （4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝（5+3t）cm，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝（2+3t）cm， ∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3（cm）， ∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化． 题型三 动点最值问题 11．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【解答】解：根据分析，可得 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： |（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3． （2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2， 则|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得x＝1或x＝﹣3． （3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和， ∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5， 即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4． 故答案为：5，﹣1≤x≤4． 12．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 　1　 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 　3　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝ 　1或﹣3　 ； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　12　 ，最小距离是 　2　 ． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ 　8　 ． （5）当a＝ 　1　 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 　9　 ． 【解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3； （2）|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， x＝1或x＝﹣3． （3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3， ∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5， 当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12， 当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2； （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间， |a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8． （5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3×4＝12 当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9 当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9 当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3×（﹣5）＝15 综上可得当a＝1时，式子的最小值为9 故答案为： （1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9． 13．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　﹣4或2　 ． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　6　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　12　 ． （4）当a＝　1　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　7　 ． 【解答】解：（1）|1﹣4|＝3， |﹣3﹣2|＝5， |a﹣（﹣1）|＝3， 所以，a+1＝3或a+1＝﹣3， 解得a＝﹣4或a＝2； （2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间， ∴a+4＞0，a﹣2＜0， ∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6； （3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， ﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12． 故这些点表示的数的和是12； （4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7． 故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7． 14．阅读下列材料，并回答问题．我们知道|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么|a﹣b|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑|5﹣（﹣6）|的几何意义，在数轴上分别标出表示﹣6和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而|5﹣（﹣6）|＝11，因此不难看出|5﹣（﹣6）|就是数轴上表示﹣6和5两点间的距离，|a﹣b|的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． （1）当|x|＝2时，求出x的值； （2）设Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； （3）设Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，当Q的值最小时，求整数x所有可能的值的和． 【解答】解：（1）当|x|＝2时， 则x±2， 解得：x或； （2）Q＝|x+6|﹣|x﹣5|存在最大值为11； 理由：分三种情况： 当x≤﹣6时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝﹣x﹣6+x﹣5＝﹣11； 当﹣6＜x≤5时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝x+6+x﹣5＝2x+1， 则﹣11＜2x+1≤11； 当x＞5时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝x+6﹣（x﹣5）＝11； ∴Q的最大值为11； （3）Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|， 当x＜﹣2024时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝﹣x﹣2023﹣2024﹣x+2（2026﹣x） ＝﹣4x+5＞8091 当﹣2024≤x＜﹣2023时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝﹣x﹣2023+2024+x+2（2026﹣x） ＝4053﹣2x， 而8099≤4053﹣2x＜8101， 当﹣2023≤x≤2026时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝x+2023+2024+x+2（2026﹣x） ＝8099， 当＞2026时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝x+2023+2024+x+2（x﹣2026） ＝4x﹣5＞8099， ∴Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|的值最小时为8099， 此时﹣2023≤x≤2026， ∴整数x所有可能的值的和为： ﹣2023﹣2022﹣2021﹣2020﹣...﹣2﹣1+0+1+2+...+2023+2024+2025+2026 ＝0+2024+2025+2026 ＝6075． 15．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5﹣（﹣2）|＝　7　 ； （2）x是所有符合|x+5|+|x﹣2|＝7成立条件的整数，则x＝　﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　 ； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 　3　 ； （4）当x为整数时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为 　2　 ； （5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|的最小值． 【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7． 故答案为：7； （2）∵|x+5|+|x﹣2|＝7表示的是在数轴上x所对应的点到﹣5，2两点之间的距离之和等于7， 又∵x为整数， ∴x＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （3）|x﹣3|+|x﹣6|表示的是在数轴上x所对应的点到3，6两点之间的距离之和， 当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值， ∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3． 故答案为：3； （4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取得最小值， ∴x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为2． 故答案为：2； （5）由（4）的结论可知：当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取得最小值， 最小值为2×（1+2+...+998）＝997002． 题型四 根据线段关系求时间 16．如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是　﹣10　 ，点C在数轴上表示的数是　14　 ，线段BC的长＝　24　 ； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？ 【解答】解：（1）∵AB＝2，点A在数轴上表示的数是﹣12， ∴点B在数轴上表示的数是﹣10； ∵CD＝1，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是14． ∴BC＝14﹣（﹣10）＝24． 故答案为：﹣10；14；24． （2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为t﹣10，点C在数轴上表示的数为14﹣2t， ∵B、C重合， ∴t﹣10＝14﹣2t， 解得：t＝8． 答：当B、C重合时，t的值为8，在数轴上表示的数为﹣2． （3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为﹣t﹣12，点B在数轴上表示的数为﹣t﹣10，点C在数轴上表示的数为14﹣2t，点D在数轴上表示的数为15﹣2t， ∵0＜t＜24， ∴点C一直在点B的右侧． ∵M为AC中点，N为BD中点， ∴点M在数轴上表示的数为，点N在数轴上表示的数为， ∴MN． 故答案为：． 17．（1）在数轴上标出数﹣4.5，﹣2，1，3.5所对应的点A，B，C，D； （2）C，D两点间距离＝　2.5　 ；B，C两点间距离＝　3　 ； （3）数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离＝　|a﹣b|　 ； （4）若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问： ①t为何值时P，Q两点重合？ ②t为何值时P，Q两点之间的距离为1？ 【解答】解：（1）如图所示： （2）CD＝3.5﹣1＝2.5， BC＝1﹣（﹣2）＝3； （3）MN＝|a﹣b|； （4）①依题意有2t﹣t＝3， 解得t＝3． 故t为3秒时P，Q两点重合； ②依题意有 2t﹣t＝3﹣1， 解得t＝2； 或2t﹣t＝3+1， 解得t＝4． 故t为2秒或4秒时P，Q两点之间的距离为1． 故答案为：2.5，3；|a﹣b|． 18．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，如图所示：设点A，B，C所对应的数的和是m． （1）若以B为原点，则点C所对应的数是　7　 ；若以C为原点，则m的值是　﹣17　 ． （2）若原点O在图中数轴上，且点C到原点O的距离为4，求m的值． （3）动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点C移动，动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当几秒后，P、Q两点间的距离为2？请直接写出答案． 【解答】解：（1）当B为原点时，点C对应的数是7；当以C为原点时，A、B对应的数分别为﹣7，﹣10，m＝﹣10+（﹣7）+0＝﹣17， 故答案为：7，﹣17； （2）当O在C的左边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为﹣6、﹣3、4， 则 m＝﹣6﹣3+4＝﹣5， 当O在C的右边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为﹣14、﹣11、﹣4， 则m＝﹣14﹣11﹣4＝﹣29， 综上所述：m＝﹣5或﹣29； （3）假如以C为原点，则A、B、C对应的数为﹣10，﹣7，0，Q对应的数是﹣（7﹣t），P对应的数是﹣（10﹣2t）， 当P在Q的左边时，[﹣（7﹣t）]﹣[﹣（10﹣2t）]＝2， 解得：t＝1 当P在Q的左边时，[﹣（10﹣2t）]﹣[﹣（7﹣t）]＝2， 解得：t＝5， 即当1秒或5秒后，P、Q两点间的距离为2． 19．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x． （1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝　﹣1　 ； （2）当x＝　﹣4或2　 时，点P到点A、点B的距离之和是6； （3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是　﹣3≤x≤1　 ； （4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|． 若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动　或2　 秒时，点P到点E，点F的距离相等． 【解答】解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|， 解得x＝﹣1； （2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6， ∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6， 解得x＝﹣4， 点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6， 解得x＝2， 综上所述，x＝﹣4或2； （3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小， 所以x的取值范围是﹣3≤x≤1； （4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t， ∵点P到点E，点F的距离相等， ∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|， ∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t， 解得t或t＝2． 故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2． 20．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝t ；PC＝　36﹣t ． （2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动． ①当t＝　21　 ，点P、Q相遇，此时点Q运动了　5　 秒． ②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长． 【解答】解：（1）PA＝t；PC＝36﹣t； 故答案为：t，36﹣t； （2）①有依题意有 t+3（t﹣16）﹣16＝20， 解得：t＝21， t﹣16＝21﹣16＝5． 故当t＝21，点P、Q相遇，此时点Q运动了5秒． 故答案为：21，5； ②当16≤t≤21时 PQ＝36﹣t﹣3（t﹣16）＝84﹣4t； 当21＜t≤28时 PQ＝3（t﹣16）+t﹣36＝4t﹣84． 题型五 定义型问题 21．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点． 例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点． 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5． （1）数 　3　 所表示的点是{M，N}的奇点；数 　﹣1　 所表示的点是{N，M}的奇点； （2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8， 8÷（3+1）＝2， 5﹣2＝3； ﹣3+2＝﹣1． 故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点． 故答案为：3；﹣1； （2）∵A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30， ∴AB＝30﹣（﹣50）＝80． 分2种情况： ①P是{A，B}的奇点，PA＝3PB，∴PB＝20，P点表示的数为10； ②P是{B，A}的奇点，PB＝3PA，∴PB＝60，P点表示的数为﹣30； 故P点运动到数轴上的10或﹣30的位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点． 22．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是﹣1和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点，且满足|MN|＝k|AB|（k为正整数），我们称A，B两点完成了一次“准相向运动”． （1）若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当k＝2时，M，N两点表示的数分别为 　5　 ，　﹣3　 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； （2）如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达M2，N2两点，若k不变，求M2，N2两点所表示的数（用含k的式子表示）； （3）若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达Mn，Nn两点，当k＝2时，是否存在点Mn，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点Nn所表示的数；如果不存在，说明理由． 【解答】解： （1）①由题意得： ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同 ∴AM＝BN． ∴AM﹣AB＝BN﹣AB． ∴AN＝BM． 又∵|MN|＝2|AB|，∴|MN|＝2×4＝8，|NA|＝|BM|＝（8﹣4）÷2＝2 ∴M点为5，N点为﹣3 故答案为：5，﹣3 ②∵由①得：M点和N点是关于AB的中点对称的， ∴当k为1时，|BM|为0； k为2时，|BM|为2； k为3时，|BM|为4； k为4时，|BM|为6； k为5时，|BM|为8； 以此类推：|BM|始终是（k﹣1）×2 ∴|AN|＝|BM|＝（k﹣1）×2 ∴M点为（k﹣1）×2+3，即2k+1 N点为﹣1﹣（k﹣1）×2，即1﹣2k （2）由（1）中②可得M点为（2k+1），N点为（1﹣2k），∴|MN|＝（2k+1）﹣（1﹣2k）＝4k． ∴|M2N2|＝k•4k＝4k2． ∴2k2． ∴M2为（1﹣2k2），N2为（1+2k2）． （3）∵k＝2，∴取多个n的值，过程如下： 当n为1时，根据（1）得：此时M1点为5，N1为﹣3 当n为2时，M2为﹣3﹣4＝﹣7，N2为5+4＝9 当n为3时，M3为5+4+8＝17，N3为﹣3﹣4﹣8＝﹣15 当n为4时，M4为﹣3﹣4﹣8﹣16＝﹣31，N4＝5+4++8+16＝33 以此类推发现n为奇数时，Mn为正数，而正数的规律是5+22+23+24+••••••+2n， 令22+23+24+•••••+2n＝S， ∴2S＝23+24+••••+2n+1， ∴2S﹣S＝S＝2n+1﹣22， ∴Mn＝2n+1﹣22+5＝2n+1+1． 令2n+1+1＝65，解之得：n＝5． 又∵M5和N5关于1对称， ∴N5为1×2﹣65＝﹣63． 答：存在次数n使得Mn为65，此时n为5，N5为﹣63． 23．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　19　 秒，动点Q从点C运动至点A需要 　23　 秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18， ∴OA＝10，BO＝10，BC＝8， ∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s）， 动点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷210÷1＝23（s）， 故答案为：19，23； （2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇， P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8）， ∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8）， 解得t， ∴M点表示的数是5； （3）存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下： ∵点A表示﹣10，点B表示10， ∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20， ①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上， 此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t， 由题意可得，28﹣3t＝20， 解得t； ②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在BC上， 此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t， 由题意可得，23﹣2t＝20， 解得t（舍）； ③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10， ∴此情况不符合题意； ④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上， 此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5﹣13+t＝20；t＝19（舍）； ⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上， 此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为2t﹣20﹣13+t＝3t﹣33， 由题意可得，3t﹣33＝20， 解得t； ⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上， 此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为（2t﹣20）﹣（13﹣t）＝3t﹣33， 由题意可得，3t﹣33＝20， 解得t（舍）； ⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意； 综上所述：t的值为或． 24．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： （1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为 　﹣1　 ； （2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为 　5　 ； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴． 操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示 　5　 的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示﹣2的点与表示 　6　 的点重合； ②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为 　﹣1.5　 ， 【解答】解：经验反馈： （1）点M表示的数1； 故答案为：﹣1； （2）点B表示的数＝1×2﹣（﹣3）＝5； 故答案为：5； 操作一：表示1的点与表示﹣1的点重合，即对折点所表示的数为0， 设这个数为a，则有0﹣（﹣5）＝a﹣0，解得，a＝5， 故答案为：5； 操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为2， ①设b与﹣2表示的点重合，则有2，解得，b＝6， 故答案为：6； ②设A点、B点所表示的数为x、y， 则有：， 解得，x＝﹣1.5，y＝5.5， 故答案为：﹣1.5． 1．已知A、B两地相距50米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣16． （1）求出B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ （3）若B地在原点的右侧，那么经过100次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少？ 【解答】解：（1）﹣16+50＝34，﹣16﹣50＝﹣66． 答：B地在数轴上表示的数是34或﹣66． （2）第七次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7＝4， 第八次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8＝﹣4， 因为点P、Q与A点的距离都是4米， 所以点P、点Q到A地的距离相等； （3）当n为100时，它在数轴上表示的数为： ﹣16+1﹣2+3﹣4+…+（100﹣1）﹣10066， 34﹣（﹣66）＝100（米）． 答：小乌龟到达的点与点B之间的距离是100米． 2．已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点． （1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； （2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点． ①若点M运动到原点O时，此时点M　不是　 【A，B】的好点（填是或者不是） ②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间 （3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【解答】解：（1）如图所示： （2）①AM＝2，BM＝7， 2×7＝14≠2， 故点M不是【A，B】的好点； ②当点M在点B的右侧时， 2（t+2）＝t﹣7， 解得t＝﹣11（舍去）； 当点M在点A与B之间时， 2（t+2）＝7﹣t， 解得t＝1； 当点M在点A的左侧时， 2（﹣2+t）＝7+t， 解得t＝11． 故点M的运动方向是向右，运动时间是1或点M的运动方向是向左，运动时间是11秒； （3）线段BM与AM的差即BM﹣AM的值发生变化，理由是： 设点M对应的数为c， 由BM＝|c﹣7|，AM＝|c+2|， 则分三种情况：当点M在点B的右侧时， BM﹣AM＝c﹣7﹣c﹣2＝﹣9； 当点M在点A与B之间时，BM﹣AM＝7﹣c﹣c﹣2＝5﹣2c， 当点M在点A的左侧时，BM﹣AM＝7﹣c+c+2＝9． 故答案为：不是． 3．如图数轴上三点A，B，C对应的数分别为﹣6，2，x．请回答问题： （1）若点A先沿着数轴向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度后所对应的数字是 　﹣3　 ； （2）若点C到点A、点B的距离相等，那么x对应的值是 　﹣2　 ； （3）若点C到点A、点B的距离之和是10，那么x对应的值是 　﹣7或3　 ； （4）如果点A以每秒4个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，点C从原点以每秒1个单位长度的速度向左运动，且三点同时出发．设运动时间为t秒，请问t为何值时点C到点A、点B的距离相等？ 【解答】解：（1）A表示的数是﹣6， 点A先沿着数轴向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度后所对应的数字是：﹣6+8﹣5＝﹣3， 故答案为：﹣3； （2）∵A，B对应的数分别为﹣6，2，点C到点A，点B的距离相等， ∴AB＝8，x的值是﹣2． 故答案为：﹣2； （3）根据题意得：|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|＝10， 解得：x＝﹣7或3； 故答案为：﹣7或3； （4）当点A、B重合时，﹣6+4t＝2﹣2t，解得t； 当点C为AB中点且点C在点A的右侧时，﹣t﹣（﹣6+4t）＝（2﹣2t）﹣（﹣t），解得t＝1； 当点C为AB中点且点C在点A的左侧时，（﹣6﹣4t）﹣（﹣t）＝（﹣t）﹣（2﹣2t），解得t＝﹣1（舍去）． 综上所述，当t或1，点C到点A、B 的距离相等． 4．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　5　 cm． （2）图中点A所表示的数是　10　 ，点B所表示的数是　15　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm）， 则此木棒长为5cm． （2）图中点A所表示的数是 10，点B所表示的数是 15． 故答案为：5，10，15． （3）如图： 借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB， 类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为﹣35． 小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为130． ∴可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55， 可知爷爷的年龄为130﹣55＝75． 5．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　﹣4π　 ； （2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8 ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π•2＝﹣4π； 故答案为：﹣4π； （2）①第1次滚动后，|﹣1|＝1，离原点距离为2π， 第2次滚动后，|﹣1+2|＝1，离原点距离为2π， 第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|＝3，离原点距离为6π， 第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，离原点距离为10π， 第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，离原点距离为4π， 第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，离原点距离为20π， 则第6次滚动后，大圆离原点最远； ②1+2+4+2+3+8＝20， 20×2π＝40π， ﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10， ∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有40π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是20π； （3）设时间为t秒， 分四种情况讨论： i）当两圆同向右滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt， 小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt， 2πt﹣πt＝9π， 2t﹣t＝9， t＝9， 2πt＝18π，πt＝9π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π． ii）当两圆同向左滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt， 小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt， ﹣πt+2πt＝9π， ﹣t+2t＝9， t＝9， ﹣2πt＝﹣18π，﹣πt＝﹣9π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣18π、﹣9π． iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时， 同理得：2πt﹣（﹣πt）＝9π， 3t＝9， t＝3， 2πt＝6π，﹣πt＝﹣3π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、﹣3π． iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时， 同理得：πt﹣（﹣2πt）＝9π， t＝3， πt＝3π，﹣2πt＝﹣6π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣6π、3π． 6．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数． （1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？ （3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【解答】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）2互为相反数， ∴|a+8|+（b﹣16）2＝0， ∴a+8＝0，b﹣16＝0， 解得a＝﹣8，b＝16． ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）＝24单位长度； （2）（24﹣8）÷（6+2） ＝16÷8 ＝2（秒）． 或（24+8）÷（6+2）＝4（秒） 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度； （3）∵PA+PB＝AB＝2， 当P在CD之间时，PC+PD是定值4， t＝4÷（6+2） ＝4÷8 ＝0.5（秒）， 此时PA+PC+PB+PD＝（PA+PB）+（PC+PD）＝2+4＝6（单位长度）． 故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 数轴上的动点问题 一、绝对值几何意义的拓展 1、已知数轴一定点A所表示的数是a，动点P所表示的数是x，则当点P在数轴上运动时，线段PA的长度可表述为。 2、已知数轴上定点A、B所表示的数是a，b，动点P所表示的数是x，则当点P在数轴上运动时，点P到点A，B的距离之和是 二、根据绝对值的意义进行分类讨论 已知数轴上定点A、B所表示的数是a，b（a＞b） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 动点规律运动探究 1．如图，在数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题： （1）将点B向右移动6个单位长度到点D，在数轴上画出点D； （2）在数轴上画出点E，使点E为BA的中点，在数轴上标出点E表示的数，CE的长为　　 个单位长度； （3）O为原点，取OC的中点M，分OC分为两段，记为第一次操作：取这两段OM，CM的中点分别为N1，N2，将OC分为4段，记为第二次操作；再取这四段的中点，将OC分为8段，记为第三次操作；…，第六次操作后，OC（包含两个端点）之间共有　　 个点，并且这些点所表示的数的和是　　 ． 2．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣6和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则；两人先进行“石头，剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … （1）从如图所示的位置开始，第一局后甲、乙两人分别在数轴上代表的数为 　　 ． （2）从如图所示的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜，这五局结束后乙离原点距离为 　　 ． （3）从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值． 3．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣14和15的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． （1）从如图的位置开始，若完成了1次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距 　　 个单位长度； （2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的式子表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； （3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出k的值． 4．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动．如图1，数轴上的点M，N所表示的数分别为0，12．将一枚棋子放置在点M处，让这枚棋子沿数轴在线段MN上往复运动（即棋子从点M出发沿数轴向右运动，当运动到点N处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M处，随即沿数轴向右运动，如此反复）．并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M开始运动t个单位长度至点Q1处；第2步，从点Q1继续运动2t个单位长度至点Q2处；第3步，从点Q2继续运动3t个单位长度至点Q3处…… 例如：当t＝3时，点Q1，Q2，Q3，的位置如图2所示． 解决如下问题： （1）如果t＝4，那么线段Q1Q3＝　　 ； （2）如果t＜4，且点Q3表示的数为3，那么t＝　　 ； （3）如果t≤2，且线段Q2Q4＝2，那么请你求出t的值． 5．已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点． （1）数轴上A、B两点的距离为　8　 ． （2）当P点满足PB＝2PA时，求P点表示的数． （3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4． ①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则ko的值是多少？ ②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是　　 （请直接写答案）． 题型二 动点定值问题 6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　　 ，B　　 ，C　　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 7．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　　 表示的点重合； （2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； ②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 8．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的k倍，且k为正整数，（即PM＝kPN），则称点P是“[M，N]整k关联点”．如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为﹣2，4． （1）原点O　　 （填“是”或“不是”）“[A，B]整k关联点”； （2）若点C是“[A，B]整2关联点”，则点C所表示的数xC＝　　 ； （3）点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“[A，Q]整2关联点”，记为A′，作“[Q，B]整3关联点”，记为B'；，且满足A'，B'分别在线段AQ和BQ上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子mQA'+nQB'为定值，直接写出m，n满足的数量关系 ． 9．已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝b﹣a，请回答下列问题． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ； （2）若a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请画出数轴并在数轴上表示出A，B，C三点； （3）在（2）的情况下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点C以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒6个单位长度的速度向右运动，已知点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．问：AB﹣BC的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说明理由；若不会，请求出AB﹣BC的值． 10．阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为　　 ； （3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　 ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒， 试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 题型三 动点最值问题 11．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 12．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 　　 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 　　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝ 　 ； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　　 ，最小距离是 　　 ． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ 　　 ． （5）当a＝ 　 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 　　 ． 13．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　　 ． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　　 ． （4）当a＝　　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　 ． 14．阅读下列材料，并回答问题．我们知道|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么|a﹣b|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑|5﹣（﹣6）|的几何意义，在数轴上分别标出表示﹣6和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而|5﹣（﹣6）|＝11，因此不难看出|5﹣（﹣6）|就是数轴上表示﹣6和5两点间的距离，|a﹣b|的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． （1）当|x|＝2时，求出x的值； （2）设Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； （3）设Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，当Q的值最小时，求整数x所有可能的值的和． 15．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5﹣（﹣2）|＝　　 ； （2）x是所有符合|x+5|+|x﹣2|＝7成立条件的整数，则x＝　 　 ； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 　　 ； （4）当x为整数时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为 　　 ； （5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|的最小值． 题型四 根据线段关系求时间 16．如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是　　 ，点C在数轴上表示的数是　　 ，线段BC的长＝　　 ； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？ 17．（1）在数轴上标出数﹣4.5，﹣2，1，3.5所对应的点A，B，C，D； （2）C，D两点间距离＝　　 ；B，C两点间距离＝　　 ； （3）数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离＝　　 ； （4）若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问： ①t为何值时P，Q两点重合？ ②t为何值时P，Q两点之间的距离为1？ 18．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，如图所示：设点A，B，C所对应的数的和是m． （1）若以B为原点，则点C所对应的数是　　 ；若以C为原点，则m的值是　　 ． （2）若原点O在图中数轴上，且点C到原点O的距离为4，求m的值． （3）动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点C移动，动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当几秒后，P、Q两点间的距离为2？请直接写出答案． 19．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x． （1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝　　 ； （2）当x＝　　 时，点P到点A、点B的距离之和是6； （3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是　　 ； （4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|． 若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动　　 秒时，点P到点E，点F的距离相等． 20．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝ ；PC＝　 ． （2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动． ①当t＝　　 ，点P、Q相遇，此时点Q运动了　　 秒． ②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长． 题型五 定义型问题 21．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点． 例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点． 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5． （1）数 　　 所表示的点是{M，N}的奇点；数 　　 所表示的点是{N，M}的奇点； （2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？ 22．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是﹣1和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点，且满足|MN|＝k|AB|（k为正整数），我们称A，B两点完成了一次“准相向运动”． （1）若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当k＝2时，M，N两点表示的数分别为 　　 ，　　 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； （2）如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达M2，N2两点，若k不变，求M2，N2两点所表示的数（用含k的式子表示）； （3）若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达Mn，Nn两点，当k＝2时，是否存在点Mn，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点Nn所表示的数；如果不存在，说明理由． 23．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　　 秒，动点Q从点C运动至点A需要 　　 秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 24．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： （1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为 　　 ； （2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为 　　 ； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴． 操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示 　　 的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示﹣2的点与表示 　 的点重合； ②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为 　　 ， 1．已知A、B两地相距50米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣16． （1）求出B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ （3）若B地在原点的右侧，那么经过100次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少？ 2．已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点． （1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； （2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点． ①若点M运动到原点O时，此时点M　　 【A，B】的好点（填是或者不是） ②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间 （3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 3．如图数轴上三点A，B，C对应的数分别为﹣6，2，x．请回答问题： （1）若点A先沿着数轴向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度后所对应的数字是 　　 ； （2）若点C到点A、点B的距离相等，那么x对应的值是 　　 ； （3）若点C到点A、点B的距离之和是10，那么x对应的值是 　　 ； （4）如果点A以每秒4个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，点C从原点以每秒1个单位长度的速度向左运动，且三点同时出发．设运动时间为t秒，请问t为何值时点C到点A、点B的距离相等？ 4．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　　 cm． （2）图中点A所表示的数是　　 ，点B所表示的数是　　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 5．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　　 ； （2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8 ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 6．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数． （1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？ （3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $